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Asignatura grado en matemáticas

Curso 2025/2026 Código Asignatura: 6102401-
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Código Asignatura: 6102401-

NOMBRE DE LA ASIGNATURA
INTEGRAL DE LEBESGUE
CÓDIGO
6102401-
CURSO ACADÉMICO
2025/2026
DEPARTAMENTO
MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES
TÍTULO EN QUE SE IMPARTE
GRADO EN MATEMÁTICAS
  • CUARTO CURSO
  • SEMESTRE 1
  • OPTATIVAS
Nº ECTS
5
HORAS
125
IDIOMAS EN QUE SE IMPARTE
CASTELLANO

La asignatura Integral de Lebesgue tiene como objetivo general presentar las nociones fundamentales de esta teoría de integración, subrayando sus conexiones con otras ramas de las Matemáticas y sus aplicaciones en contextos científicos diversos.

En el plan de estudios del Grado en Matemáticas, esta asignatura figura como optativa del primer semestre del cuarto curso y tiene una asignación de 5 créditos ECTS.

El concepto de integral es fácilmente comprensible para funciones reales positivas y continuas definidas en un intervalo cerrado [a, b]. En tales casos, la integral puede interpretarse como el área bajo la curva. Sin embargo, esta interpretación deja de ser inmediata cuando consideramos funciones más generales, con discontinuidades o comportamientos irregulares. ¿Qué significa integrar funciones “exóticas”? ¿Qué condiciones debe cumplir una función para que tenga sentido hablar de “área bajo su gráfica”? Estas cuestiones han motivado históricamente el desarrollo de diversas teorías de la integración.

Durante el siglo XIX, y como parte del esfuerzo por formalizar el análisis, se propusieron diferentes definiciones rigurosas de integral. La integral de Riemann, formulada por Bernhard Riemann (1826–1866), proporciona una construcción sencilla y eficaz basada en sumas de áreas rectangulares. Su éxito radica en que ofrece respuestas adecuadas para muchas funciones de interés matemático.

No obstante, la integración de Riemann presenta limitaciones. Por ejemplo, no permite integrar funciones con discontinuidades “densas” ni se comporta bien bajo el paso al límite de sucesiones de funciones, lo cual es crucial en el estudio de fenómenos como las series y transformadas de Fourier. Para abordar estas carencias, Henri Lebesgue (1875–1941) propuso una teoría de integración más general, basada en una nueva noción de medida.

La integral de Lebesgue permite integrar funciones mucho más generales que las admitidas por Riemann y extiende el dominio de integración a conjuntos más amplios. Un ejemplo emblemático es la función de Dirichlet, que vale 1 en los racionales y 0 en los irracionales: no es integrable en el sentido de Riemann, pero sí en el de Lebesgue.

La construcción de esta integral comienza por extender, en la recta real, la noción de longitud de un segmento, y en plano real, la de área de un rectángulo. Se define la medida de Lebesgue como la menor suma (posiblemente infinita) de longitudes o áreas que recubren un conjunto dado. A continuación, se introducen las funciones medibles, y se extiende la asignación de medida a estas funciones, obteniendo así la integral de Lebesgue.

Esta construcción es muy poderosa y general. La integral así definida hereda propiedades clave de la medida, especialmente los teoremas clásicos de convergencia (monótona, dominada, etc.). Además, permite definir e interpretar integrales en espacios producto —como el plano real con la medida producto—, lo cual lleva naturalmente a los teoremas de Tonelli y Fubini. Por tanto, esta teoría constituye una puerta de entrada esencial a la Teoría de la Medida.

En este contexto, la asignatura tiene como finalidad que el alumno comprenda la definición y las propiedades fundamentales de la integral de Lebesgue, así como su importancia estructural en el Análisis Real y en áreas afines. Si bien existen otras teorías de integración más generales, su estudio excede el alcance de esta asignatura.

Finalmente, esta materia tiene una continuación natural en el nivel de posgrado a través de la asignatura Teoría de la Medida, incluida en el Máster Universitario en Matemáticas Avanzadas, donde se profundiza en aspectos técnicos y generales de la teoría de medidas y su papel en la matemática moderna.
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