Asignaturas - Master 215201

La teoría de orbifolds surge al estudiar simetrías de variedades. Se definen como una extensión natural de variedad: mientras que una variedad es un espacio que localmente "se parece" a una bola abierta del espacio euclidiano, un orbifold es un espacio que localmente se parece al cociente de una bola abierta por la acción de un grupo finito de isometrías. Esta modificación permite incorporar de manera sistemática singularidades muy controladas, como las que aparecen al cocientar una variedad por sus simetrías.

El curso se centrará especialmente en los orbifolds de dimensión baja, donde la teoría combina de forma muy clara intuición geométrica, topología algebraica y teoría de grupos. En dimensión dos, los ejemplos básicos incluyen superficies con puntos cónicos, espejos y esquinas. Los órbifolds buenos se pueden dotar de geometría y resultan ser cocientes de la esfera, el plano euclídeo o el plano hiperbólico por grupos discretos de isometrías. Esta perspectiva conecta directamente con la utilización de la geometría en el estudio de las variedades de dimensión tres siguiendo las ideas de W. Thurston (que es el responsable del término orbifold y muchos de sus desarrollos teóricos).

Se estudiarán dos invariantes topológicos específicos para orbifolds. El  grupo fundamental orbifold, que refina el grupo fundamental ordinario incorporando la información de las singularidades. El segundo invariante es la característica de Euler orbifold, que modifica la característica de Euler usual ponderando los puntos singulares según sus grupos estabilizadores. En dimensión dos, este invariante permite distinguir de manera muy eficaz entre orbifolds esféricos, euclidianos e hiperbólicos, y proporciona una vía accesible hacia la clasificación geométrica.

Además de su interés intrínseco dentro de la topología y la geometría, los orbifolds aparecen en numerosas áreas. En matemáticas, intervienen en el estudio de acciones de grupos en variedades, recubrimientos ramificados, superficies de Riemann con automorfismos, grupos Fuchsianos y cristalográficos, geometría hiperbólica, espacios de moduli, cohomología y K-teoría equivariante. También proporcionan un puente conceptual entre objetos geométricos aparentemente distintos: cocientes de variedades, grupos cristalográficos, espacios con singularidades y estructuras geométricas en variedades de dimensión baja.

Fuera de las matemáticas puras, los orbifolds aparecen de forma natural en cristalografía, donde los grupos puntuales, grupos planos y grupos espaciales pueden interpretarse y clasificarse mediante orbifolds. También aparecen en física matemática, especialmente en teoría conforme de campos y teoría de cuerdas. Más recientemente, el lenguaje de orbifolds y de grupos cristalográficos se ha usado también para describir simetrías de estructuras periódicas, como textiles, redes poliméricas y metamateriales.

Es recomendable haber cursado algún curso, al menos introductorio de Topología Algebraica, como la asignatura Ampliación de Topología en el grado de matemáticas de la UNED. También es bueno haber cursado alguna asignatura de Geometría Diferencial (por ejemplo Geometría Diferencial optativa del grado de matemáticas de la UNED).

El horario de atención al estudiante es: Martes lectivos de 10:30 a 13:30 y de 15:00 a 16:00 horas.

Correo electrónico: acosta@mat.uned.es

Número de teléfono: 91 3987224

La tutorización y seguimiento se llevará a cabo preferentemente en los foros del curso virtual de la asignatura.

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Conocimientos

CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación
CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios
CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades
CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster.
CE2 - Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos, las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, y las demostraciones rigurosas de los resultados relevantes.
CE1 - Saber abstraer las propiedades estructurales de los objetos matemáticos, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales. Ser capaz de utilizar un objeto matemático en diferentes contextos.

Destrezas y habilidades.

CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio
CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.
CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.

CE3 - Adquirir la capacidad de enfrentarse con la literatura científica a distintos niveles, desde libros de texto con contenidos avanzados hasta artículos de investigación matemática publicados en revistas especializadas.
CE4 - Saber analizar y construir demostraciones matemáticas, así como transmitir conocimientos matemáticos avanzados en entornos especializados.

Competencias:
CG1 Adquirir conocimientos generales avanzados en alguna de las áreas de las matemáticas
CG3 - Adquirir la metodología de la investigación en matemáticas.

Estudio de material escrito proporcionado por el equipo docente en el curso virtual.

La evaluación se llevará a cabo en examen presencial de dos horas de duración que consistirá en la resolución de un ejercicio y la respuesta a una pregunta teórica.

Notas proporcionadas por el equipo docente en el curso virtual.

M. Boileau, S. Maillot, and J. Porti, Three-dimensional Orbifolds and Their Geometric
Structures, Panoramas et Synthèses 15, Société Mathématique de France, Paris,
2003.

J. H. Conway, H. Burgiel, and C. Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, A
K Peters, Wellesley, MA, 2008.

J. M. Montesinos-Amilibia, Classical Tessellations and Three-Manifolds, Universitext,
Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg, 1987.

W. P. Thurston, The Geometry and Topology of Three-Manifolds, Princeton University
lecture notes, 1979, Chapter 13.