La asignatura de Física Matemática del Máster Universitario en Física Médica es una asignatura obligatoria, de 6 créditos ECTS, impartida en el segundo semestre del primer curso del máster.
El contenido de esta asignatura es de tipo teórico y está organizado en cuatro temas

• Tema 1. Señales, imágenes y repaso de herramientas matemáticas básicas
• Tema 2. Transformadas integrales, series de Fourier, transformadas de Fourier
• Tema 3. Transformada wavelet
• Tema 4. Transformada de Radon

El objetivo fundamental de la asignatura es comprender los conceptos y el funcionamiento de las técnicas de análisis funcional básicas empleadas en el análisis y manipulación de imágenes digitales. El Análisis de Fourier, incluyendo los desarrollos en serie de Fourier, las transformadas de Fourier y sus propiedades, es el principal tema del curso. El motivo es que estas técnicas son las más empleadas no solo para la manipulación (filtrado, mejora) de imágenes, sino también para su almacenamiento y transmisión. Además, desde el punto de vista conceptual el Análisis de Fourier es el ejemplo arquetípico de este tipo de herramienta matemática, de modo que la comprensión de los conceptos matemáticos que intervienen en este tipo de análisis garantizan la rápida asimilación en el futuro de otros tipos de desarrollos similares, basados en otros conjuntos de funciones ortogonales, como p. ej. wavelets. El objetivo del primer tema del curso es asegurar cierto nivel básico de conocimientos matemáticos elementales, que resultan indispensables para acometer con éxito el estudio del Análisis de Fourier. El tercer tema del curso se propone como una extensión del Análisis de Fourier, empleando otro tipo de funciones ortogonales. Más que en los detalles de la implementación y uso de desarrollos basados en wavelets para el análisis de imágenes concretas, esta parte del curso se centra en los conceptos fundamentales que hacen posible esta técnica y, sobre todo, el análisis de sus ventajas e inconvenientes en comparación con el Análisis de Fourier. El cuarto y último tema del curso se centra en el problema de la reconstrucción de imágenes tomográficas, es decir, en la inversión de la transformada de Radon. Este tema es importante ya que la posibilidad de realizar esta reconstrucción 3D es lo que de verdad ha revolucionado el método de imágenes digitales como técnica diagnóstica no invasiva en medicina. El problema de la reconstrucción aparece también, por medio del Teorema del Corte Central, como una aplicación adicional del Análisis de Fourier.

Breve presentación del Equipo Docente:

Manuel Arias Zugasti

Profesor Titular de Universidad con 4 sexesenios de investigación en Física Aplicada. Ha participado en 18 proyectos de investigación y ha publicado 35 artículos en revistas de investigación internacionales incluidas en el JCR.

Su trabajo de investigación se centra en el desarrollo de métodos matemáticos para el estudio de procesos de transporte en fluidos multifásicos reactivos. En este sentido ha trabajado en el estudio de la combustión de gotas y burbujas, en la descripción de procesos de coagulación en aerosoles y en la descripción de la termodinámica de mezclas complejas, en colaboración con el HTCRE Laboratory del Chemical Engineering Department de la Universidad de Yale.

José Carlos Antoranz Callejo

Catedrático de universidad, con 6 sexenios de investigación en temas de física aplicada, particularmente a la medicina (área en la que ha obtenido su último sexenio). Ha dirigido 12 proyectos de investigación (de más de 40 en los que ha participado) así como 6 tesis doctorales. Es autor de más de 160 artículos publicados en revistas internacionales incluidas en el JCR.

Actualmente se dedica a la investigación experimental de hemodinámica cardíaca, en colaboración con la Unidad de Medicina Experimental de HGUGM, y a la investigación matemática de protocolos de tratamiento del cáncer.

Las imágenes en medicina

El temario de la asignatura de Física Matemática impartida en el Máster en Física Médica está orientado a conocer las herramientas matemáticas empleadas habitualmente en el análisis de todo tipo de imágenes digitales de uso común en las distintas especialidades médicas.

En general, la interacción de la energía (ya sea en forma de onda electromagnética o mecánica) con la materia (en particular con la materia viva) genera una respuesta, también en forma de energía, que es recogida en un sensor y convertida en una serie de valores, es decir, una serie de números proporcionales a la intensidad de la señal registrada por el sensor. Posteriormente, por medioo de un proceso de reconstrucción este conjunto de valores generamos lo que se denomina la imagen médica.

La manipulación y correcta interpretación de los datos que conforman la imagen médica se realiza mediante ciertas operaciones matemáticas, basadas en el Análisis de Fourier. Este curso está dedicado a dar los rudimentos básicos sobre la manipulación de imágenes digitales, ya que el análisis de imágenes digitales se ha convertido, en multitud de campos y especialmente en medicina, en una de las herramientas no invasivas más usadas para obtener información.

El análisis de imágenes nos permite ver el entorno a distintas escalas espaciales, estudiar su evolución con distintas escalas temporales, y también nos permite concentrarnos en distintos aspectos empleando distintos rangos espectrales y utilizando diferentes energías de excitación. Por todo ello es difícil imaginar una herramienta de medida más versátil que las medidas basadas en imágenes digitales. En el campo de la medicina esta técnica tiene además la ventaja de ser, en muchos casos, no invasiva, lo cual es una gran ventaja respecto de otras técnicas tradicionales.

Para cursas esta asignatura es imprescindible contar con conocimientos básicos de álgebra lineal y análisis matemático.

También se requiere un cierto nivel de inglés, dado que buena parte de la bibliografía básica del curso está escrita en lengua inglesa.

Aclaración sobre el primer tema del curso

El análisis de imágenes digitales se basa en conceptos matemáticos ciertamente avanzados, relacionados principalmente con análisis funcional. En este curso nos centraremos principalmente en dos herramientas básicas, el análisis de Fourier y el análisis de wavelets (ondículas u ondiñas), y posteriormente veremos una introducción a la transformada de Radon y el problema de la reconstrucción.

Para la aplicación, incluso a nivel meramente práctico, de estas herramientas matemáticas es necesario conocer y saber utilizar con soltura las técnicas de cálculo que suelen impartirse en los cursos básicos de álgebra y análisis matemático (funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, límites, series, derivadas, integrales, análisis de funciones de varias variables) e incluso algunos de los conceptos que se estudian en los cursos de variable compleja (especialmente álgebra básica de números complejos, funciones de variable compleja, ...). El objetivo del primer tema del curso es hacer énfasis en la importancia de estos conceptos matemáticos básicos.

En principio este máster de física médica está orientado a titulados en carreras de ciencias, especialmente Física, Química, Matemáticas e Ingeniería por un lado y ciencias de la salud como p. ej. Medicina o Biología por otro. En general, los alumnos que se incorporan a este máster desde una licenciatura en Física, Química, Matemáticas o cualquiera de las especialidades de Ingeniería ya cuentan con la base matemática necesaria para cursar esta asignatura. Sin embargo, los estudiantes que acceden a estos estudios desde una licenciatura en ciencias de la salud (como Medicina o Biología) generalmente necesitan complementar su formación matemática. Para los alumnos que acceden a este máster desde estudios de ciencias de la salud el máster incluye una asignatura de matemáticas específica que responde a este fin. Para ambos perfiles de alumnos el objeto del primer tema del curso es garantizar el conocimiento de las mencionadas herramientas y conocimientos básicos de matemáticas, necesarios para el estudio del resto de la asignatura.

Para resolver dudas y/o consultas pueden ponerse en contacto con cualquiera de los profesores de la asignatura, bien por correo electrónico, por FAX (91 398 7628) o telefónicamente (en este caso preferentemente los lunes de 4 a 8 de la tarde). También pueden dejar un mensaje en el contestador automático del departamento (91 398 7130).

Manuel Arias Zugasti

E-mail: maz@dfmf.uned.es

Teléfono: 91 398 7127

Horario: principalmente Lunes: 16-20 h

Carlos Antoranz Callejo

E-mail: jcantoranz@dfmf.uned.es

Teléfono: 91 398 7121

Horario: principalmente Lunes: 16-20 h

COMPETENCIAS BÁSICAS

CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación

CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio

CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios

CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades

CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

COMPETENCIAS GENERALES

CG01 - Adquirir la capacidad de comprensión de conocimientos y aplicación en la resolución de problemas

CG02 - Desarrollar capacidad crítica, de evaluación, creativa y de investigación

CG03 - Adquirir capacidad de estudio, de autoaprendizaje, de organización y de decisión

CG04 - Dominar las habilidades y métodos de investigación relacionados con el campo de estudio

CG05 - Adquirir la capacidad de detectar carencias en el estado actual de la ciencia y tecnología

CG06 - Desarrollar la capacidad para proponer soluciones a las carencias detectadas

CG07 - Desarrollar la capacidad para proponer y llevar a cabo experimentos con la metodología adecuada, así como para extraer conclusiones y determinar nuevas líneas de investigación

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

CE04 - Conocer los fundamentos matemáticos y físicos necesarios para poder entender las nuevas técnicas de medida y adquisición de señales e imágenes biomédicas, así como su posterior postprocesado y extracción de la información relevante, que se introduzcan en los próximos años

Conocer las Transformadas Integrales más habitualmente empleadas en el Análisis de Imágenes Digitales, concretamente análisis de Fourier, transformada wavelet y transformada de Radon (definiciones, propiedades, etc.).

Aplicar estos conceptos a casos prácticos en los que se emplean imágenes digitales para realizar medidas (SPECT, CT, PET y RMI).

Estudio de la teoría, realización de problemas de aplicación de los conceptos estudiados.

Los principales libros de estudio son:

[1]\tM. R. Spiegel, Cálculo Superior,McGraw-Hill, 1993, ISBN: 970100065

[2]\tE. Oran Brigham, Fast Fourier Transform and Its Applications, Prentice Hall, 1988, ISBN-10: 0-13-307505-2

[3]\tR. C. Gonzalez and R. E. Woods, Digital. Image Processing,Prentice Hall, 2008 3rd Ed., ISBN: 9780131687288

\tEl libro de Gonzalez y Woods es el principal libro de esta asignatura. Es una buena inversión a largo plazo, ya que también será de utilidad en las dos asignaturas sobre tratamiento de imágenes digitales del segundo curso del master.

\tEn inglés existen 3 ediciones del libro y en castellano una, que es traducción de la primera edición inglesa. De todas estas ediciones el texto que recomendamos como bibliografía básica del curso es la tercera edición, este detalle es importante ya que hay diferencias sustanciales.

[4]\tS. R. Deans, The Radon Transform and Some of Its Applications, Dover 2007, ISBN: 0486462412

[5]\tKak and Slaney , Principles of Computerized Tomographic Imaging

       http://www.slaney.org/pct/pct-toc.html

[6]\tForero, Procesamiento digital de imágenes. Disponible en la página web de la asignatura dentro de la plataforma alf.

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Enlaces externos

\tSeries y transformadas de Fourier en la universidad de Stanford:

\t       http://see.stanford.edu/see/courseinfo.aspx?coll=84d174c2-d74f-493d-92ae-c3f45c0ee091

\tPágina web del libro del Gonzalez y Woods, con abundante material adicional:

\tDigital Image Processing, 3rd Ed., Gonzalez and Wood:

       \thttp://www.imageprocessingplace.com/

\tEn la página web de la asignatura, dentro de la plataforma alf, hay diverso material de apoyo para la asignatura, como problemas propuestos, notas adicionales para los conceptos matemáticos más abstractos relativos a desarrollos en serie de Fourier y wavelets y diversas presentaciones comentadas por los profesores de la asignatura.