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| NOMBRE DE LA ASIGNATURA |
| NOMBRE DE LA ASIGNATURA |
GEOMETRÍA BÁSICA |
| CÓDIGO |
| CÓDIGO |
61021105 |
| CURSO ACADÉMICO |
| CURSO ACADÉMICO |
2024/2025 |
| DEPARTAMENTO |
| DEPARTAMENTO |
MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES
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| TÍTULO EN QUE SE IMPARTE |
| TÍTULO EN QUE SE IMPARTE |
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GRADO EN MATEMÁTICAS
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| CURSO |
| CURSO |
PRIMER
CURSO
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| PERIODO |
SEMESTRE 2
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| TIPO |
FORMACIÓN BÁSICA |
| Nº ECTS |
| Nº ECTS |
6 |
| HORAS |
| HORAS |
150 |
| IDIOMAS EN QUE SE IMPARTE |
| IDIOMAS EN QUE SE IMPARTE |
CASTELLANO |
La geometría es una de las ramas fundamentales de las matemáticas.
En esta asignatura se presentan las nociones básicas de geometría. Se estudia "geometría sintética", es decir, sin coordenadas, con el propósito de conocer y ejercitarse en la intuición y el razonamiento geométricos.
Datos de la asignatura:
Créditos ECTS: 6. Asignatura cuatrimestral. Segundo cuatrimestre del primer curso.
Presentación
"El concepto de espacio se deriva del orden de las cosas exteriores en la representación dada a la mente por los sentidos. La geometría estudia este concepto, ya formado en la mente del geómetra, sin plantearse el problema (psicológico y no matemático) de su génesis. Son, pues, objeto de estudio en la geometría las relaciones existentes entre sus elementos (puntos, líneas, superficies, rectas, planos, etc) que constituyen el complejo concepto de espacio ..." Federigo Enriques (geómetra italiano 1871-1946).
Esta asignatura está dentro de la materia geometría. Es una disciplina central dentro de las matemáticas. Si en la academia de Platón, hace 2000 años, nadie podía ingresar sin saber geometría, en nuestros días nadie debería llamarse matemático sin poseer los conocimientos básicos de geometría.
Los conocimientos básicos de geometría son muy importantes para conocer el origen de muchos problemas que han dado lugar a teorías y técnicas matemáticas. Estos conocimientos también son esenciales para los profesionales de la enseñanza, pues la geometría elemental está recuperando su puesto preeminente por su capacidad formativa.
Contextualización dentro del grado en matemáticas:
Esta asignatura forma parte de la materia: Geometría y Topología.
Asignaturas más próximas: Geometrías Lineales (donde se continúa la formación geométrica con el uso de coordenadas: geometría analítica o cartesiana). Geometría Diferencial de Curvas y Superficies, donde además se incorporan las técnicas del Cálculo Infinitesimal a la geometría. Por último a nivel más avanzado: Geometría Diferencial , Topología y Ampliación de Topología. Además en todas las asignaturas de la carrera, la geometría está presente de uno u otro modo.
Terminología y lenguaje matemático elemental, nociones de teoría de conjuntos y de sistemas de numeración, concretamente sobre números reales y racionales. Todos estos prerrequisitos se suponen adquiridos en Bachillerato, Educación Secundaria o el Curso de Acceso.
Aunque no es estrictamente necesario, es recomendable haber cursado la asignatura del Grado de Matemáticas:
- Lenguaje matemático, conjuntos y números
El horario de atención al estudiante es: Martes lectivos de 10:30 a 13:30 y de 15:00 a 16:00 horas.
Correo electrónico: acosta@mat.uned.es
Número de teléfono: 91 3987224
Dirección postal: Despacho 1.91 de la Facultad de Psicología de la UNED. Departamento de Matemáticas Funcamentales. Facultad de Ciencias. Calle Juan del Rosal 10, 28040 Madrid.
La tutorización y seguimiento se llevará a cabo sobre todo en los foros del curso virtual de la asignatura. Así las preguntas y respuestas serán visibles a todos los compañeros, se da la oportunidad de intercambiar ideas y que todos participen en los debates.
Competencias Generales:
CG1 Iniciativa y motivación
CG2 Planificación y organización
CG3 Manejo adecuado del tiempo
CG4 Análisis y Síntesis
CG5 Aplicación de los conocimientos a la práctica
CG6 Razonamiento crítico
CG7 Toma de decisiones
CG8 Seguimiento, monitorización y evaluación del trabajo propio o de otros
CG9 Motivación por la calidad
CG10 Comunicación y expresión escrita
CG13 Comunicación y expresión matemática, científica y tecnológica
CG14 Competencia en el uso de las TIC
CG15 Competencia en la búsqueda de información relevante
CG16 Competencia en la gestión y organización de la información
CG18 Habilidad para coordinarse con el trabajo de otros
CG19 Compromiso ético (por ejemplo en la realización de trabajos sin plagios, etc.)
Competencias específicas:
CED1 Comprensión de los conceptos básicos y familiaridad con los elementos fundamentales para el estudio de las Matemáticas superiores
CED2 Destreza en el razonamiento cuantitativo, basado en los conocimientos adquiridos
CEP2 Habilidad para formular problemas de optimización, que permitan la toma de decisiones, así como la construcción de modelos matemáticos a partir de situaciones reales
CEP4 Resolución de problemas
CEA1 Destreza en el razonamiento y capacidad para utilizar sus distintos tipos, fundamentalmente por deducción, inducción y analogía
CEA2 Capacidad para tratar problemas matemáticos desde diferentes planteamientos y su formulación correcta en lenguaje matemático, de manera que faciliten su análisis y resolución. Se incluye en esta competencia la representación gráfica y la aproximación geométrica
CEA3 Habilidad para crear y desarrollar argumentos lógicos, con clara identificación de las hipótesis y las conclusiones
CEA4 Habilidad para detectar inconsistencias de razonamiento ya sea de forma teórica o práctica mediante la búsqueda de contraejemplos
CEA6 Habilidad para extraer información cualitativa a partir de información cuantitativa
CEA7 Habilidad para presentar el razonamiento matemático y sus conclusiones de manera clara y precisa, de forma apropiada a la audiencia a la que se dirige, tanto en la forma oral como escrita
CE1 Razonamiento crítico, capacidad de evaluar trabajos propios y ajenos
Resultados de aprendizaje de la memoria de verificación del título:
· Estudio de fenómenos del mundo real referidos al espacio
· Utilizar la geometría como paradigma de materia científica donde se aplica el método inductivo y se puede experimentar
· Utilizar las matemáticas para representar figuras y objetos en el espacio
· Resolver problemas referidos a objetos y situaciones en el espacio
· Utilizar espacios geométricos para modelizar fenómenos o problemas procedentes de otros ámbitos de las matemáticas o de la realidad
· Situar los problemas geométricos dentro de la historia de la ciencia y de las matemáticas
· Visión espacial y en espacios multidimensionales y abstractos
· Utilizar y relacionar diversos campos de las matemáticas para resolver problemas del mundo real
· Manejar las herramientas matemáticas básicas para el diseño asistido por computador
· Estudio de estructuras geométricas y topológicas definidas a partir de conjuntos
· Estudio de propiedades de figuras geométricas a través de su representación gráfica y del razonamiento geométrico.
Ampliación y precisión de los resultados de aprendizaje:
Conocimientos:
- Conocimiento de la geometría euclidiana axiomática, sin coordenadas, tanto plana como espacial.
- Conocimientos básicos sobre geometría hiperbólica.
Otros resultados son:
- Interpretación y resolución de problemas geométricos del plano y del espacio
- Visualización e intuición geométrica plana y espacial
- Modelización de la realidad
- Capacidad de razonamiento inductivo y deductivo
- Detección de errores lógicos
- Detección de consistencia de sistemas axiomáticos
- Cultura histórica de problemas matemáticos
1. Espacios métricos
La palabra Geometría viene de medir y los espacios métricos son la estructura que se usa en matemáticas para este fin.
Este es un capítulo preliminar. La noción de medida y la estructura matemática donde se mide, los espacios métricos, nos acompañarán a lo largo de todo el curso.
2. Axiomas para la geometría euclidiana plana
Tema fundamental: se introduce la geometría euclidiana por medio de axiomas, como ya lo hizo Euclides en sus Elementos hace 2000 años.
Se estudia la geometría plana siguiendo el método axiomático que es usual en matemáticas. En este capítulo se introducen los axiomas y se establecen las primeras propiedades geométricas.
3. Isometrías del plano
Son las transformaciones del plano que conservan la distancia. Nos permiten mover objetos y figuras.
Las isometrías del plano se estudian clasificándose en cinco tipos: identidad, reflexiones, traslaciones, rotaciones y reflexiones con deslizamiento.
4. Ángulos
El concepto de ángulo es fundamental en geometría. Se establecen algunas de las propiedades esenciales, por ejemplo que la suma de los ángulos de un triángulo es un ángulo llano (que es un teorema que depende esencialmente del axioma de las paralelas).
5. El teorema de Tales
El teorema de Tales es uno de los más importantes de la geometría euclidiana y sirve de fundamento para poder definir las razones trigonométricas de los ángulos.
6. El teorema de Pitágoras
No es necesario decir nada sobre la importancia del teorema de Pitágoras. En este capítulo se utilizará para obtener las fórmulas fundamentales para estudiar triángulos. Se introduce la geometría analítica plana.
7. Semejanzas
Las semejanzas son un tipo de transformaciones que permiten ampliar o reducir el tamaño de las figuras pero manteniendo otras propiedades geométricas invariantes (por ejemplo la medida de los ángulos). Son de gran utilidad y se presentan algunas aplicaciones como la demostración de algunos teoremas clásicos sobre triángulos.
8. Circunferencias
Las circunferencias son, con los triángulos y polígonos, unas de las figuras más importantes de la geometría euclidiana plana. Definiremos, usando las circunferencias, una nueva transformación del plano: la inversión.
9. Introducción a la geometría hiperbólica
La geometría hiperbólica es una geometría que se puede construir dentro de la geometría euclidiana y que verifica todos los axiomas de la geometría euclidiana salvo el axioma de las paralelas. De esta forma se prueba que tal axioma es independiente del resto, que era el problema abierto más famoso sobre la fundamentación de la geometría.
10. Polígonos. Construcciones con regla y compás
Los polígonos son las figuras que generalizan los triángulos. Se estudia la problemática sobre la construcción de figuras con regla y compás. La posibilidad de construcción de polígonos regulares usando regla y compás generó un importante problema geométrico que los matemáticos han reducido a una cuestión sobre teoría de números.
11. Axiomas para la geometría euclidiana espacial
En este capítulo se introducen axiomas para la geometría espacial que modela la geometría del espacio que nos rodea. Se muestra la dificultad de los argumentos axiomáticos en este modelo. Se ofrece una introducción a la geometría analítica del espacio y a cómo construir la geometría en otras dimensiones usando la geometría analítica. La geometría analítica se estudiará con más profundidad en la asignatura Geometrías Lineales de segundo curso.
12. Isometrías del espacio
Se da la clasificación de las isometrías del espacio, de forma análoga a como se hizo en el plano, pero con las características propias del espacio tridimensional.
13. Poliedros
Los poliedros son unas de las figuras más importantes del espacio. Los poliedros regulares o sólidos platónicos son, por su belleza e importancia, objetos que no pueden dejar de ser estudiados en un curso de geometría básica.
El plan estudio se referirá al texto base "Geometría Básica". En él se fijan los contenidos del estudio.
Gran parte de la formación recae sobre el trabajo personal del alumno con el texto base, con sus ejercicios y material del curso virtual, siempre con la ayuda del profesor de la sede central de la UNED, los profesores tutores y las tecnologías de ayuda de la UNED.
Los contactos con el profesor pueden ser: por teléfono, e-mail, correo postal, presenciales en la sede central (bajo cita) y en el curso virtual.
En el curso virtual destacamos también las siguientes herramientas:
· El foro de consultas generales donde se plantearán preferentemente cuestiones de caracter metodológico, de gestión o de procedimientos de evaluación.
· Los foros por lecciones: donde se pueden preguntar dudas concretas de cada una de las lecciones del curso.
El estudio de cada capítulo se debe llevar a cabo del siguiente modo:
- Estudio de la teoría del texto base
- Planteamiento de dudas en los foros del curso virtual
- Realización de los ejercicios del texto base
- En el curso virtual de la asignatura se encuentran numerosos materiales complementarios de apoyo: vídeos, construcciones con GeoGebra, enlaces a sitios de Internet, ...
TIPO DE PRUEBA PRESENCIAL
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| Tipo de examen |
| Tipo de examen |
Examen de desarrollo |
| Preguntas desarrollo |
| Preguntas desarrollo |
3 |
| Duración |
| Duración |
120 (minutos) |
| Material permitido en el examen |
| Material permitido en el examen |
Instrumentos de dibujo (reglas, compás) |
| Criterios de evaluación |
| Criterios de evaluación |
Se valorará principalmente la corrección matemática. También se puntuará la redacción y presentación. Todas las respuestas deben ir justificadas. Se penalizarán los errores graves. Cada pregunta contará entre 3 y 4 puntos (esto se indica en el enunciado del examen) |
| % del examen sobre la nota final |
| % del examen sobre la nota final |
90 |
| Nota mínima del examen para aprobar sin PEC |
| Nota mínima del examen para aprobar sin PEC |
5 |
| Nota máxima que aporta el examen a la calificación final sin PEC |
| Nota máxima que aporta el examen a la calificación final sin PEC |
10 |
| Nota mínima en el examen para sumar la PEC |
| Nota mínima en el examen para sumar la PEC |
4 |
| Comentarios y observaciones |
| Comentarios y observaciones |
Pese a haber señalado que el valor del examen sobre la nota final es del 90%, en realidad depende de si se realiza o no la PEC, ver final: ¿Cómo se obtiene la nota final? Obsérvese que realizando únicamente el examen (Prueba Presencial) se puede alcanzar la máxima calificación 10 y MH. |
PRUEBAS DE EVALUACIÓN CONTINUA (PEC)
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| ¿Hay PEC? |
| ¿Hay PEC? |
Si |
| Descripción |
| Descripción |
La prueba consistirá en la resolución de uno o dos ejercicios prácticos y será depositada por el alumno en el curso virtual. La fecha de realización se anunciará en el curso virtual. |
| Criterios de evaluación |
| Criterios de evaluación |
Se valorará principalmente la corrección matemática. También se valorará la redacción y presentación. Todas las respuestas deben ir justificadas. |
| Ponderación de la PEC en la nota final |
| Ponderación de la PEC en la nota final |
Hasta el 10%, ver apartado final: ¿Cómo se obtiene la nota final? |
| Fecha aproximada de entrega |
| Fecha aproximada de entrega |
En el mes de abril |
| Comentarios y observaciones |
| Comentarios y observaciones |
Se anunciará la fecha precisa en el curso virtual. La nota de la PEC sumará también en la convocatoria de septiembre. |
OTRAS ACTIVIDADES EVALUABLES
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| ¿Hay otra/s actividad/es evaluable/s? |
| ¿Hay otra/s actividad/es evaluable/s? |
No |
| Descripción |
| Descripción |
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| Criterios de evaluación |
| Criterios de evaluación |
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| Ponderación en la nota final |
| Ponderación en la nota final |
0 |
| Fecha aproximada de entrega |
| Fecha aproximada de entrega |
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| Comentarios y observaciones |
| Comentarios y observaciones |
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¿Cómo se obtiene la nota final?
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1. Si el estudiante realiza la PEC: a. Si obtiene en la Prueba Presencial o en la PEC una calificación inferior a 4: Nota final = Nota Prueba Presencial b. Si obtiene en la Prueba Presencial y en la PEC una calificación superior o igual a 4: Nota final = min (Nota Prueba Presencial + Nota PEC×0,1, 10) 2. Si el estudiante no realiza la PEC: Nota final = Nota Prueba Presencial |
Es conveniente adquirir la última impresión-edición del texto, pues todos los años se corrigen las erratas detectadas.
El curso también se puede seguir usando el texto base antiguo:
Buser, Peter; Costa, Antonio F.: Curso de Geometría Básica, Sanz y Torres (a ser posible edición de 2014 o posterior). Hay que cambiar de orden del estudio del último tema, corregir las erratas que están en las listas de erratas en la virtualización.
Libros de un nivel parecido a la bibliografía básica:
- R. Fenn, Geometry, Springer, London 2001.
- P. Gothen, A. Guedes de Oliveira, Geometria Euclidiana, con construçoes interativas, Coleçao Trasversal, U. Porto Press, Oporto 2021.
- D. W. Henderson and D. Taimina, Experiencing geometry, Euclidean and non-Euclidean with history, Pearson-Prentice Hall, Upper Saddle River, 2005.
- G. E. Martin, Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer, New York, 1998.
- A. Reventós, Geometría axiomática, Institut d'estudis catalans, Barcelona 1993.
- J. R. Silvester, Geometry, ancient and modern, Oxford University Press, Oxford, 2001.
- S. Stahl, Geometry, form Euclid to knots, Prentice Hall, Upper Saddle River, 2003.
- J. Stillwell, The four pillars of geometry, Springer, New York 2005
- P. Ventura Araújo, Curso de geometría, Gradiva, Lisboa 1998.
Libros clásicos:
- G. D. Birkhoff, R. Beatley, Basic Geometry, Chelsea, New York, 1959.
- H. S. M. Coxeter, Fundamentos de Geometría, Limusa-Wiley, México, 1971.
- H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer, Geometry revisited, New Mathematical Library, Mathematical of America, 1967. Hay una traducción es español de DSL Euler Editores, Madrid 1993.
- N. Efimov, Geometría Superior, MIR, Moscú 1984.
- H. Eves, Survey of Geometry in 2 vols, Allyn and Bacon, Boston, 1972.
- J. Hadamard, Leçons de géométrie élementaire, Editions Jacques Gabay, Sceaux, Reprint 1988.
- R. Hartshorne, Geometry: Euclid and beyond, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York 2005.
- D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and imagination, Chelsea, New York, 1990.
- E. E. Moise, Elementary geometry from an advanced standpoint, Addison-Wesley, Reading, 1990
- P. Puig Adam, Curso de Geometría Métrica, Tomo I, Fundamentos, Editorial Euler, Madrid, 1986.
- A. Pogorelov, Geometry, Mir, Moscú, 1987.
Libros históricos:
- Euclides, Euclid’s Elements (translator and editor T.L. Heath), Dover, New York, 1956.
- D. Hilbert, Fundamentos de la Geometría, CSIC, Madrid, Reprint 1996.
- Frère Gabriel-Marie, Exercices de Géométrie, Editions Jacques Gabay, Sceaux, Reprint 1991.
Otros libros de lectura de ampliación de alguno de los temas tratados:
- A.F. Costa, Una introducción a la simetría, UNED, Madrid, 2009.
- H.S.M. Coxeter, Regular Politopes, Dover, New York, 1973.
- P.R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge 1997.
- G. Guillén, El mundo de los poliedros, Ed. Síntesis, Madrid 1997.
- A. Reventós, Geometría inversiva, La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, vol. 6. 2003.
