Asignatura grado en matemáticas
Curso 2025/2026 Código Asignatura: 61022027
Código Asignatura: 61022027
| NOMBRE DE LA ASIGNATURA |
|---|
| FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES II |
| CÓDIGO |
| 61022027 |
| CURSO ACADÉMICO |
| 2025/2026 |
| DEPARTAMENTO |
| MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES |
| TÍTULO EN QUE SE IMPARTE |
| GRADO EN MATEMÁTICAS |
|
| Nº ECTS |
| 6 |
| HORAS |
| 150 |
| IDIOMAS EN QUE SE IMPARTE |
| CASTELLANO |
El objetivo de este curso es continuar el estudio iniciado en Funciones de Varias Variables I, abordando con mayor profundidad tanto la diferenciación como la integración en espacios de dimensión superior. Además de desarrollar técnicas de cálculo, se busca promover una comprensión sólida de los fundamentos teóricos que las sustentan. A continuación se detallan los bloques temáticos principales:
1. Teoremas de la Función Inversa y de la Función Implícita
Uno de los resultados más importantes en el análisis multivariable es el Teorema de la Función Inversa, que garantiza la existencia de una inversa localmente diferenciable de una función si su diferencial en un punto dado es un isomorfismo. Este teorema permite resolver sistemas no lineales de ecuaciones alrededor de soluciones conocidas y entender la estructura local de aplicaciones diferenciables.
En paralelo, el Teorema de la Función Implícita generaliza esta idea a situaciones en las que una relación entre variables define implícitamente una o varias de ellas como funciones de las restantes. Su utilidad es clave en geometría, física matemática y teoría de ecuaciones diferenciales, entre otros contextos.
2. Extremos Relativos y Condicionados. Método de los Multiplicadores de Lagrange
La búsqueda de máximos y mínimos de funciones multivariables constituye un problema central en optimización. Cuando la función está definida sobre un conjunto abierto, los extremos relativos pueden encontrarse estudiando los puntos críticos (donde el gradiente se anula). Pero si la función está sujeta a restricciones (por ejemplo, definida en una superficie o curva), los métodos clásicos no son aplicables directamente.
Aquí entra el método de los multiplicadores de Lagrange, que permite hallar los puntos extremos bajo restricciones de tipo igualitario. Este método se basa en estudiar el sistema de ecuaciones que surge al igualar los gradientes de la función objetivo y de las funciones que describen las restricciones, permitiendo así la formulación de problemas de optimización en geometrías más generales.
3. Construcción de la Integral de Riemann en \mathbb{R}^n
Extender la noción de integral a funciones de varias variables requiere reformular cuidadosamente las ideas utilizadas en una dimensión. La integral de Riemann en \mathbb{R}^n se construye dividiendo el dominio en bloques rectangulares (paralelotopos) y aproximando la función mediante valores en puntos representativos de cada subdominio.
Este proceso lleva a la noción de suma de Riemann múltiple, y bajo ciertas condiciones de continuidad o acotamiento, se demuestra la existencia del límite de tales sumas. Se estudian también propiedades básicas de la integral así definida, como linealidad, monotonía y aditividad respecto al dominio.
4. Teorema de Fubini y Cambio de Orden de Integración
El Teorema de Fubini establece condiciones bajo las cuales una integral múltiple puede descomponerse como una sucesión de integrales iteradas, en distintos órdenes. Esto es fundamental tanto desde el punto de vista teórico (conexión entre integración en productos de espacios y medida producto) como práctico (facilita enormemente el cálculo explícito de integrales).
Gracias a este teorema, podemos resolver integrales dobles o triples eligiendo el orden más conveniente de integración, e incluso deducir la existencia de la integral múltiple a partir de la existencia de las iteradas.
5. Teorema del Cambio de Variable
Este resultado es la generalización multivariable del cambio de variable en una dimensión. Permite transformar una integral definida sobre un dominio complicado en otra sobre un dominio más sencillo, a través de aplicaciones diferenciables biyectivas con determinante jacobiano no nulo.
El jacobiano de la transformación mide cómo cambian las áreas, volúmenes u n-medidas bajo dicha transformación. El teorema establece que la integral de una función compuesta con el cambio de variable se puede calcular como la integral sobre el nuevo dominio de dicha función multiplicada por el valor absoluto del jacobiano.
Este teorema es esencial en el cálculo de integrales en coordenadas polares, cilíndricas, esféricas, o más en general en cualquier sistema de coordenadas adaptado a la simetría del problema.
6. Cálculo de Áreas y Volúmenes
Uno de los usos clásicos de las integrales múltiples es el cálculo de áreas y volúmenes de regiones en el plano y el espacio. Para regiones planas, las integrales dobles permiten calcular el área encerrada bajo superficies; para regiones en \mathbb{R}^3, las integrales triples se emplean para hallar el volumen de cuerpos tridimensionales.
Este bloque incluye la determinación de regiones de integración y el uso estratégico de los teoremas anteriores (Fubini y cambio de variable) para simplificar el cálculo. También se exploran aplicaciones geométricas y físicas, como el cálculo de masas, centros de gravedad y momentos de inercia.
Enfoque del curso
Además de aprender a resolver problemas de cálculo, se fomenta el desarrollo de una comprensión profunda de los conceptos fundamentales, enfatizando el razonamiento matemático detrás de cada herramienta. El estudiante deberá ser capaz no solo de aplicar fórmulas, sino también de entender cuándo y por qué dichas herramientas son válidas y útiles.