Asignaturas - Master 215201

El objeto de estudio central de esta asignatura es el fibrado principal diferenciable y su geometría asociada a través de la teoría de conexiones de Yang-Mills. En términos sencillos, un fibrado principal es la estructura matemática que describe cómo un grupo de simetría actúa de manera consistente sobre una variedad base, proporcionando un marco riguroso para entender la transición de la información local a la topología global.

Aunque los orígenes de la noción de fibrado principal se encuentran en la topología diferencial de bajas dimensiones, el concepto de fibrado principal se ha consolidado como un pilar fundamental en la ciencia y la ingeniería modernas. En ingeniería, por ejemplo, estas estructuras son relevantes para la robótica avanzada, el procesamiento de señales en espacios curvos y la visión artificial, en las que los datos locales deben ensamblarse de manera coherente. En el ámbito de la física teórica, los fibrados principales constituyen el lenguaje geométrico con el que se formula y comprende matemáticamente la teoría de Yang-Mills. Esta es una teoría de enorme relevancia en la física moderna, ya que describe todas las interacciones conocidas, excepto la gravedad. 

La génesis de esta teoría es uno de los episodios más reveladores de la historia de la ciencia:

• Los fibrados surgieron originalmente en la literatura matemática de mediados del siglo XX como una herramienta para descifrar la topología global de las variedades. Estructuras como el fibrado de referencias permitieron a los geómetras definir clases características, como las de Chern o de Pontryagin, que actúan como datos algebraicos asociados a variedades diferenciales y contienen información crucial sobre su topología.

• De forma casi simultánea y sin contacto previo alguno con estos avances geométricos, Chen Ning Yang y Robert Mills propusieron en la literatura física la teoría que hoy en día lleva sus nombres para explicar las interacciones nucleares. Esta teoría estaba formulada como una generalización no abeliana del electromagnetismo que extiende el potencial gauge de la teoría de Maxwell a un objeto más complejo que toma valores en un álgebra de matrices. Estaban usando una formulación que parecía pertenecer exclusivamente al laboratorio y a la mecánica cuántica de campos, sin relación alguna con la geometría de los fibrados principales.

Posteriormente se comprendió que las variables básicas de la teoría de Yang-Mills, que los físicos denominan potenciales de gauge, eran, en realidad, formas de conexión en fibrados principales, y que la intensidad de campo era la forma de curvatura asociada. Esta correspondencia permitió reinterpretar las transformaciones de gauge locales como automorfismos verticales del fibrado, logrando una unificación profunda entre la simetría interna de la física y la estructura global de la geometría diferencial.

La formalización matemática definitiva de las teorías de Yang-Mills desencadenó un huracán de actividad científica mediante el estudio de una clase de soluciones especiales de las ecuaciones de Yang-Mills, los llamados  instantones, lo que permitió a matemáticos como Simon Donaldson desarrollar invariantes topológicos revolucionarios para variedades cuatro-dimensionales. Este descubrimiento demostró que la física no solo usaba las matemáticas como lenguaje, sino que la propia dinámica de una teoría física concebida al margen de las matemáticas podía resolver problemas matemáticos que habían permanecido intratables durante décadas.

Esta asignatura invita al estudiante a sumergirse en la profunda unión entre la geometría y la física teórica de altas energías que estableció la teoría de Yang-Mills, ofreciendo un recorrido estructurado y matemáticamente riguroso. El programa comenzará estableciendo las bases de la teoría de fibrados principales diferenciables, para luego profundizar en el análisis de sus conexiones, curvatura y holonomía, así como en las técnicas de reducción del grupo de estructura. Con este sólido andamiaje formal, nos adentraremos en los aspectos geométricos y analíticos de las ecuaciones de Yang-Mills, incluida su formulación variacional. Finalmente, y como culminación del curso, exploraremos la topología del espacio de instantones en una variedad cuatro-dimensional Riemanniana compacta, lo que nos proporcionará las claves para comprender la teoría de Donaldson e invariantes de variedades.

El requisito fundamental de la asignatura consiste en haber superado un curso de variedades diferenciales de nivel equivalente al de grado en el sistema educativo español. Esto se debe a que el lenguaje de la geometría diferencial es el andamiaje sobre el que se construyen los fibrados principales y sus conexiones. Adicionalmente, se considera un requisito deseable, aunque no estrictamente indispensable, haber cursado un curso avanzado de grado en ecuaciones diferenciales parciales, lo cual puede proporcionar una base analítica muy valiosa para el estudio de las ecuaciones de Yang-Mills y sus soluciones clásicas.

El horario de consulta al profesor de la asignatura será los martes de 15:00h a 19:00h. La dirección física de consulta es:

Profesor Carlos Shabazi Alonso 
Teléfono: 91 398 8110
Despacho 2.93
C/ Juan del Rosal 10
Facultad de Psicología
UNED
Madrid 28040

La UNED asignará un tutor  a cada alumno. El profesor de la asignatura atenderá a las preguntas, dudas o cuestiones referentes a los contenidos científicos de la misma, preferentemente a través de los foros de la asignatura en el campus virtual de la UNED, o de su email institucional cshahbazi@mat.uned.es. Asimismo, a través de este email será posible concertar una videollamada para quienes así lo requieran. El alumno también podrá trasladar sus preguntas, dudas o cuestiones referentes a los contenidos científicos, al tutor de la asignatura. 

Véase la sección de Resultados de Aprendizaje. 

Conocimientos

CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación
CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios
CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades
CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster.
 
CE2 - Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos, las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, y las demostraciones rigurosas de los resultados relevantes.
 CE1 - Saber abstraer las propiedades estructurales de los objetos matemáticos, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales. Ser capaz de utilizar un objeto matemático en diferentes contextos.

Destrezas y habilidades.

CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio
CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.
CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.

CE3 - Adquirir la capacidad de enfrentarse con la literatura científica a distintos niveles, desde libros de texto con contenidos avanzados hasta artículos de investigación matemática publicados en revistas especializadas.
CE4 - Saber analizar y construir demostraciones matemáticas, así como transmitir conocimientos matemáticos avanzados en entornos especializados.

Competencias:
CG1 Adquirir conocimientos generales avanzados en alguna de las áreas de las matemáticas
CG3 - Adquirir la metodología de la investigación en matemáticas.

La metodología de esta asignatura se articula en torno al modelo de enseñanza a distancia propio de la UNED, potenciado mediante una virtualización intensiva que permite un aprendizaje tanto autónomo como colaborativo. El desarrollo pedagógico se fundamentará en los siguientes pilares:

Estudio del Material de Referencia

• El eje central del curso será el estudio coordinado y exhaustivo del segundo volumen de la obra Differential Geometry and Mathematical Physics: Fibre Bundles, Topology and Gauge Fields, de Gerd Rudolph y Matthias Schmidt.

• La asignatura se concentrará específicamente en el análisis riguroso de los capítulos dedicados a los fundamentos de fibrados y conexiones, la teoría homotópica y clasificación, la cohomología de fibrados y clases características, y la formulación geométrica de las ecuaciones de Yang-Mills.

Interacción y Seguimiento

• Debate conceptual: Se organizarán sesiones regulares para discutir y profundizar en los conceptos matemáticos más complejos del programa.

• Orientación académica: El equipo docente proporcionará una guía constante para facilitar la transición de la abstracción geométrica de la noción de fibrado principal a sus aplicaciones en el análisis geométrico y en la topología diferencial.

• Progreso individualizado: Se establecerá un camino de desarrollo académico personalizado para cada estudiante, permitiendo que la profundización en ciertos temas se alinee con sus intereses específicos, ya sean estos orientados a la topología pura, la física de altas energías o la geometría diferencial avanzada.

Adicionalmente, se hace constar que, para el estudio avanzado de los invariantes de Donaldson y de la estructura técnica de los espacios de módulos de conexiones autoduales, el curso recurrirá a bibliografía matemática especializada. Debido a que ciertos resultados profundos de la geometría algebraica y el análisis no lineal trascienden el alcance de los manuales generales, se proporcionarán referencias específicas para el bloque final del curso. A continuación, se detalla la bibliografía especializada recomendada para este bloque:

• S. K. Donaldson y P. B. Kronheimer: The Geometry of Four-Manifolds.

• D. S. Freed y K. K. Uhlenbeck: Instantons and Four-Manifolds.

• J. W. Morgan: The Seiberg-Witten Equations and Applications to the Topology of Smooth Four-Manifolds.

• H. B. Lawson: The Theory of Gauge Fields.

• Yu. I. Manin: Gauge Field Theory and Complex Geometry.

• C. H. Taubes: The Geometry of the Infinite-Dimensional Moduli Spaces of Self-Dual Connections.

Gerd Rudolph and Matthias Schmidt: Differential Geometry and Mathematical Physics. Part II. Fibre Bundles, Topology and Gauge Fields.

• S. K. Donaldson y P. B. Kronheimer: The Geometry of Four-Manifolds.

• D. S. Freed y K. K. Uhlenbeck: Instantons and Four-Manifolds.

• J. W. Morgan: The Seiberg-Witten Equations and Applications to the Topology of Smooth Four-Manifolds.

• H. B. Lawson: The Theory of Gauge Fields.
• Yu. I. Manin: Gauge Field Theory and Complex Geometry.

• C. H. Taubes: The Geometry of the Infinite-Dimensional Moduli Spaces of Self-Dual Connections.

Durante el curso se debatirán y se propondrán los recursos audiovisuales adecuados para su avance.