Asignaturas - Master 215201

En esta asignatura nos metemos de lleno en la Geometría Diferencial, el lenguaje que se usa para estudiar con precisión espacios “curvos” y, en general, variedades diferenciables (que puedes pensar como la versión moderna y generalizada de curvas y superficies). A partir de ahí, trabajaremos con las herramientas básicas que aportan coherencia a la teoría: el espacio tangente, los campos vectoriales, las formas diferenciales, la diferencial exterior, la integración de formas y, más adelante, métricas riemannianas.

La idea es recordar cómo conceptos conocidos de análisis y álgebra (derivadas, cambios de coordenadas, integrales, etc.) y ver cómo encajan cuando el “espacio donde vives” no es simplemente el espacio euclídeo, sino algo más general. En ese sentido, el curso está pensado como una continuación natural de lo que se ve en el grado, pero dando un salto de calidad: aquí se busca que puedas manejar el formalismo con soltura y, sobre todo, que ganes intuición geométrica para no quedarte solo en definiciones.

Además, el curso abre la puerta a temas que aparecen una y otra vez en matemáticas modernas: desde geometría riemanniana y topología diferencial hasta áreas más especializadas como geometría diferencial compleja, geometría algebraica, análisis geométrico o incluso aplicaciones en física matemática.

Como requisitos necesarios para el estudio de la asignatura se supone que el alumno conoce correctamente las asignaturas no optativas del grado de matemáticas de la UNED.

Martes lectivos de 10:30 a 13:30 y de 15:00 a 16:00 horas.

La tutorización y seguimiento se llevará a cabo esencialmente en el foro de la asignatura del curso virtual. Así las preguntas y respuestas serán visibles a todos los compañeros y se da la oportunidad a que todos los estudiantes participen en los debates. El correo personal solo debe usarse para atender situaciones excepcionales. 

Ver sección de Resultados de Aprendizaje.

Conocimientos

CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación.
CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.
CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades.
CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster.
 
CE2 - Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos, las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, y las demostraciones rigurosas de los resultados relevantes.
 CE1 - Saber abstraer las propiedades estructurales de los objetos matemáticos, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales. Ser capaz de utilizar un objeto matemático en diferentes contextos.

Destrezas y habilidades.

CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.
CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.
CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.

CE3 - Adquirir la capacidad de enfrentarse con la literatura científica a distintos niveles, desde libros de texto con contenidos avanzados hasta artículos de investigación matemática publicados en revistas especializadas.
CE4 - Saber analizar y construir demostraciones matemáticas, así como transmitir conocimientos matemáticos avanzados en entornos especializados.

Competencias:
CG1 - Adquirir conocimientos generales avanzados en alguna de las áreas de las matemáticas
CG3 - Adquirir la metodología de la investigación en matemáticas.

Enseñanza a distancia con la metodología de la UNED.

Cursos virtuales (Enseñanza virtualizada).

Resolución de problemas y ejercicios por parte del alumno (Voluntario)

El material básico del curso se asienta en las notas

“Variedades diferenciales”

de Ángel Montesinos (Universitat de valència), que se pueden descargar gratuitamente de la URL httpss://www.uv.es/montesin/Apuntes/VarDifMain.pdf, y las notas

"Differentiable Manifolds"

de Nigel Hitchn (Oxford university), disponibles en la URL https://people.maths.ox.ac.uk/~joyce/Nairobi2019/Hitchin-DifferentiableManifolds.pdf

Se recomienda, de manera opcional, el libro de "Integración en variedades (2ª)" (bibliografía complementaria) como apoyo para todos los temas de la asignatura, con excepción del flujo de campos de vectores y métrica riemanniana.