
asignatura master 2025
TEORÍA DE LA MEDIDA
Curso 2024/2025 Código Asignatura: 21152256
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Guía de la Asignatura Curso 2024/2025
- Primeros Pasos
- Presentación y contextualización
- Requisitos y/o recomendaciones para cursar esta asignatura
- Equipo docente
- Horario de atención al estudiante
- Competencias que adquiere el estudiante
- Resultados de aprendizaje
- Contenidos
- Metodología
- Sistema de evaluación
- Bibliografía básica
- Bibliografía complementaria
- Recursos de apoyo y webgrafía
TEORÍA DE LA MEDIDA
Código Asignatura: 21152256
PRESENTACIÓN Y CONTEXTUALIZACIÓN
La guía de la asignatura ha sido actualizada con los cambios que aquí se mencionan.
NOMBRE DE LA ASIGNATURA | TEORÍA DE LA MEDIDA |
CÓDIGO | 21152256 |
CURSO ACADÉMICO | 2024/2025 |
TÍTULOS DE MASTER EN QUE SE IMPARTE |
MÁSTER UNIVERSITARIO EN MATEMÁTICAS AVANZADAS
MICROMÁSTER EN MATEMÁTICAS AVANZADAS |
TIPO | CONTENIDOS |
Nº ECTS | 7,5 |
HORAS | 187,5 |
PERIODO | SEMESTRE 1 |
IDIOMAS EN QUE SE IMPARTE | CASTELLANO |
La teoría de la medida enlaza con un antiquísimo problema histórico: el de medir longitudes, áreas y volúmenes. Se trata de introducir los conceptos abstractos detrás de esas ideas geométricas: las medidas y la integración de funciones contra ellas. Se trabajarán álgebras de conjuntos (objetos a medir), construcciones de medidas (como las medidas producto), medidas con signo, comparaciones entre medidas, descomposiciones y derivadas, funciones medibles e integrables, espacios de funciones medibles, medidas como funcionales, y para finalizar, la existencia de medidas invariantes en una gran cantidad de grupos topológicos (medidas de Haar), y una introducción a las transformaciones que preservan medida y ergodicidad.
En general, conocimientos correspondientes al anterior primer ciclo de la licenciatura, o al Grado actual de la UNED (especialmente las asignaturas optativas de Espacios Normados, de 4º, y de Integral de Lebesgue, también de 4º.
Nombre y apellidos | CARLOS ESCUDERO LIEBANA |
Correo electrónico | cescudero@mat.uned.es |
Teléfono | 91398-7238 |
Facultad | FACULTAD DE CIENCIAS |
Departamento | MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES |
Nombre y apellidos | JOSE IGNACIO TELLO DEL CASTILLO |
Correo electrónico | jtello@mat.uned.es |
Teléfono | 91398-7350 |
Facultad | FACULTAD DE CIENCIAS |
Departamento | MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES |
Nombre y apellidos | JORGE LOPEZ ABAD (Coordinador de Asignatura) |
Correo electrónico | abad@mat.uned.es |
Teléfono | 91398-7234 |
Facultad | FACULTAD DE CIENCIAS |
Departamento | MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES |
Se llevará principalmente por la virtualización de la asignatura. El equipo docente y los tutores intercampus (si los hay) atenderán las consultas generales y de contenidos a través de los distintos foros del curso virtual.
Extraordinariamente también se puede utilizar el teléfono: 913987238 o el correo electrónico: cescudero@mat.uned.es. El horario de atención es: martes lectivos de 10:00 a 14:00 horas.
COMPETENCIAS BÁSICAS
CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación
CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio
CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios
CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades
CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.
COMPETENCIAS GENERALES
CG1 - Adquirir conocimientos generales avanzados en tres de las principales áreas de las matemáticas.
CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster.
CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
CE1 - Saber abstraer las propiedades estructurales de los objetos matemáticos, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales. Ser capaz de utilizar un objeto matemático en diferentes contextos.
CE2 - Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos, las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, y las demostraciones rigurosas de los resultados relevantes.
CE4 - Saber analizar y construir demostraciones matemáticas, así como transmitir conocimientos matemáticos avanzados en entornos especializados.
El objetivo principal que se pretende es facilitar el acceso a herramientas relacionadas con la medida e integración, que resultan esenciales en el estudio de diversas ramas del Análisis Matemático tales como el Análisis Funcional, las Ecuaciones Diferenciales, el Análisis de Fourier y la Teoría de la Probabilidad. Se procurará proporcionar así mismo una serie de destrezas relacionadas con el cálculo práctico para los espacios de medida más habituales y para funciones concretas, y también para saber aplicar teoremas fundamentales de convergencia y otros. Finalmente, se intentará trasladar hábitos, métodos e ideas útiles para una futura actividad investigadora.
Conocimientos.
- Conocer y comprender ciertas clases de conjuntos (anillos, álgebras, σ-anillos, σ-álgebras, clases monótonas, etc.), y sus propiedades.
- Conocer bien las medidas aditiva, completamente aditiva (o σ-aditiva), y exterior.
- Conocer las funciones medibles e integrables, y sus propiedades.
- Conocer los teoremas de convergencia, en relación con la integración; incluido el teorema de convergencia dominada de Lebesgue.
- Entender y saber demostrar los teoremas de Fubini y de Hobson-Tonelli.
- Conocer la compleción de una medida y, en particular, de un producto de medidas.
- Conocer las medidas con signo y sus propiedades. Interpretar las integrales como medidas con signo.
- Conocer la derivación de medidas de Radon, para dimensión finita, y la derivación de integrales.
- Conocer los principales conceptos relacionados con la derivación en la recta real.
Destrezas y habilidades.
- Saber dar diferentes ejemplos de clases fundamentales de conjuntos.
- Poder demostrar con detalle el teorema de extensión de Hahn, y los resultados principales sobre extensiones de medidas.
- Saber aplicar la medida de Lebesgue-Stieltjes en R, y sus propiedades.
- Saber demostrar los Teoremas de Egoroff y de Lusin.
- Manejar con soltura distintos tipos de integrales.
- Familiarizarse con los productos de espacios medibles y de espacios de medidas; y con los productos tensoriales de medidas.
- Saber demostrar los teoremas de Hahn y de Jordan, y el teorema de recubrimiento de Vitali.
- Manejar los espacios normales, completamente regulares, y localmente compactos.
Competencias.
- Poder construir con detalle la medida de Lebesgue.
- Utilizar, en distintas situaciones, las medidas de Radon, y los teoremas de Lusin y de representación de Riesz, y sus respectivas demostraciones.
- Relacionar conceptos topológicos con las medidas de Borel regulares, las medidas de Baire, y sus aplicaciones.
- Poder desarrollar y aplicar los principales resultados relativos a los espacios de Lebesgue.
MEDIDAS, CONJUNTOS MEDIBLES, FUNCIONES MEDIBLES E INTEGRABLES
- Medidas y conjuntos medibles.
- Funciones medibles.
- Integración de funciones no negativas.
- Integración de funciones arbitrarias.
- La derivada de Radon-Nikodym.
- Introducción a los espacios Lp .
- El Teorema de Riesz de representación de los duales de Lp con 1≤ p< ∞.
CONSTRUCCIONES DE MEDIDAS
- Medida exterior y medida de Carathéodory.
- Construcción de medidas exteriores.
- El Teorema de Carathéodory-Hahn: la extensión de una premedida a una medida.
- Construcciones de medidas particulares:
- Medidas producto: Los Teoremas de Fubini y Tonelli.
- Medida de Lebesgue en Rn.
- Funciones de distribución acumulativas y medidas de Borel en R.
MEDIDA Y TOPOLOGÍA
- Medidas con signo. Descomposiciones de Hahn y de Jordan.
- Medidas de Radon.
- El Teorema de Riesz-Markov.
- El Teorema de Riesz.
MEDIDAS EN GRUPOS TOPOLÓGICOS
- Grupos Topológicos.
- El Teorema de Kakutani del punto fijo.
- Medidas de Borel invariantes en grupos compactos.
- Transformaciones que preservan la medida y ergodicidad.
El sistema fundamental de aprendizaje es el estudio del texto básico. Las preguntas sobre el mismo se realizarán en los foros de la asignatura, siguiendo la metodología usual de enseñanza a distancia de la UNED.
TIPO DE PRUEBA PRESENCIAL |
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Tipo de examen | |
Tipo de examen | Examen de desarrollo |
Preguntas desarrollo | |
Preguntas desarrollo | 3 |
Duración | |
Duración | 120 (minutos) |
Material permitido en el examen | |
Material permitido en el examen | Ningún material |
Criterios de evaluación | |
Criterios de evaluación | El examen constará de 3 ejercicios que podrán ser de tipo práctico (resolución de problemas y aplicaciones de la teoría) o teórico (cuestiones o demostraciones de resultados teóricos, o preguntas directamente relacionados con ellos). El examen se puntuará sobre 10 puntos. |
% del examen sobre la nota final | |
% del examen sobre la nota final | 60 |
Nota mínima del examen para aprobar sin PEC | |
Nota mínima del examen para aprobar sin PEC | 5 |
Nota máxima que aporta el examen a la calificación final sin PEC | |
Nota máxima que aporta el examen a la calificación final sin PEC | 10 |
Nota mínima en el examen para sumar la PEC | |
Nota mínima en el examen para sumar la PEC | 5 |
Comentarios y observaciones | |
Comentarios y observaciones |
CARACTERÍSTICAS DE LA PRUEBA PRESENCIAL Y/O LOS TRABAJOS | |
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CARACTERÍSTICAS DE LA PRUEBA PRESENCIAL Y/O LOS TRABAJOS |
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Requiere Presencialidad | |
Requiere Presencialidad | No |
Descripción | |
Descripción | La evaluación de esta asignatura se hará a través de 2 trabajos y el examen presencial. Los dos trabajos serán:
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Criterios de evaluación | |
Criterios de evaluación |
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Ponderación de la prueba presencial y/o los trabajos en la nota final | |
Ponderación de la prueba presencial y/o los trabajos en la nota final | Cada trabajo se puntuará sobre 5 puntos y cada trabajo suma un 20% de la nota final. |
Fecha aproximada de entrega | |
Fecha aproximada de entrega | 1º: final de noviembre; 2º: enero |
Comentarios y observaciones | |
Comentarios y observaciones |
PRUEBAS DE EVALUACIÓN CONTINUA (PEC) | |
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PRUEBAS DE EVALUACIÓN CONTINUA (PEC) |
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¿Hay PEC? | |
¿Hay PEC? | No |
Descripción | |
Descripción | |
Criterios de evaluación | |
Criterios de evaluación | |
Ponderación de la PEC en la nota final | |
Ponderación de la PEC en la nota final | |
Fecha aproximada de entrega | |
Fecha aproximada de entrega | |
Comentarios y observaciones | |
Comentarios y observaciones |
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OTRAS ACTIVIDADES EVALUABLES |
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¿Hay otra/s actividad/es evaluable/s? | |
¿Hay otra/s actividad/es evaluable/s? | No |
Descripción | |
Descripción | |
Criterios de evaluación | |
Criterios de evaluación | |
Ponderación en la nota final | |
Ponderación en la nota final | |
Fecha aproximada de entrega | |
Fecha aproximada de entrega | |
Comentarios y observaciones | |
Comentarios y observaciones |
¿Cómo se obtiene la nota final? |
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Sea
Hay varios casos:
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ISBN(13): 9780134689494
Título: REAL ANALYSIS 4ª Autor/es: P. M. Fitzpatrick;H. L. Royden; Editorial: PEARSON |
Los alumnos deben disponer del texto base, sobre el que pueden formular preguntas.
Existen otras ediciones del libro de texto Real Analysis. Aunque se seguirá la 4ª edición, la 3ª edición también es recomendable.
ISBN(13): 9780691113869
Título: REAL ANALYSIS MEASURE THEORY, INTEGRATION, AND HILBERT SPACES 1ª Autor/es: Rami Shakarchi;Elias M. Stein; Editorial: PRINCETON UNIVERSITY PRESS |
ISBN(13): 9788420506319
Título: INTEGRACIÓN : TEORÍA Y TÉCNICAS Autor/es: Rubio, Baldomero;Miguel De Guzman; Editorial: Alhambra |
ISBN(13): 9788436223323
Título: ANÁLISIS MATEMÁTICO V [1ª ed., 1ª reimp.] Autor/es: Valdivia Ureña, Manuel; Editorial: Universidad Nacional de Educación a Distancia |
El curso virtual, y la atención en foros, correo electrónico y teléfono.