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| NOMBRE DE LA ASIGNATURA |
| NOMBRE DE LA ASIGNATURA |
LENGUAJE MATEMÁTICO, CONJUNTOS Y NÚMEROS |
| CÓDIGO |
| CÓDIGO |
61021039 |
| CURSO ACADÉMICO |
| CURSO ACADÉMICO |
2024/2025 |
| DEPARTAMENTO |
| DEPARTAMENTO |
MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES
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| TÍTULO EN QUE SE IMPARTE |
| TÍTULO EN QUE SE IMPARTE |
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GRADO EN MATEMÁTICAS
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| CURSO |
| CURSO |
PRIMER
CURSO
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| PERIODO |
SEMESTRE 1
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| TIPO |
FORMACIÓN BÁSICA |
| Nº ECTS |
| Nº ECTS |
6 |
| HORAS |
| HORAS |
150 |
| IDIOMAS EN QUE SE IMPARTE |
| IDIOMAS EN QUE SE IMPARTE |
CASTELLANO |
La asignatura de Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números está concebida como un instrumento que facilite al estudiante la comprensión del método matemático. El estudiante ha visto muchos de los contenidos que en la asignatura se exponen, bien en el Bachillerato o en el Curso de Acceso a la Universidad, y por tanto no tienen que resultarle extraños una parte de los resultados expuestos. Haremos sin embargo mayor énfasis en el rigor lógico y en la falta de ambigüedad que diferencia el lenguaje matemático del lenguaje natural. Se pretende que el estudiante se familiarice con el rigor matemático y los procesos deductivos, maneje los conceptos básicos del lenguaje proposicional, tenga nociones sobre la teoría elemental de conjuntos y conozca las propiedades básicas y específicas de los distintos conjuntos numéricos. Los contenidos de esta asignatura son contenidos básicos comunes a la mayoría de las disciplinas matemáticas y no es extraño que aparezcan sus contenidos diseminados en los preliminares de libros de introducción al Análisis Matemático, al Álgebra Lineal, a la Geometría o a la Estadística.
La asignatura es fundamental en el perfil profesional de un graduado en Matemáticas, pues contiene aspectos teóricos y prácticos, sobre teoría de conjuntos o sobre los diversos conjuntos numéricos, imprescindibles en el conocimiento para el análisis y resolución de cualquier problema teórico o práctico de muchas áreas propias del título tanto áreas de análisis, álgebra, geometría como estadística.
Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números es una asignatura que en el plan de estudios de la titulación figura en el primer cuatrimestre del primer curso.
El nivel de acceso a la asignatura exige un Bachillerato de Ciencias o el Curso de Acceso a la Universidad con la asignatura de Matemáticas Especiales ya que en ellos se aprenden técnicas imprescindibles y conllevan una familiarización con muchos conceptos.
¿Qué conocimientos debe de traer el alumno para afrontar la asignatura con comodidad?. Estar familiarizado con el uso y manejo de los distintos conjuntos numéricos, en particular con el conjunto de los números naturales, los números enteros, los números racionales y los números reales, aunque dentro del contenido del curso se introducen con rigor estos conjuntos y se extraen las propiedades. También serán necesarios conocimientos básicos de la geometría del plano euclídeo y afín.
Un repaso a los libros de Matemáticas del Bachillerato o al libro de Matemáticas Especiales del CAU proveerá de una situación óptima para el desarrollo del curso de Lenguaje matemático, Conjuntos y Números.
De hecho, aunque el texto base, por seguir un desarrollo sistemático introduce formalmente los conjuntos numéricos en los tres últimos capítulos, desde el principio se darán por conocidos, al menos sus propiedades básicas, y se usarán como ejemplos de conjuntos, estructuras, etc., los siguientes conjuntos numéricos:
El conjunto N de los números naturales
El conjunto Z de los números enteros
El conjunto Q de los números racionales
El conjunto R de los números reales
El conjunto C de los númetos complejos
Recomendaciones generales: Al final de cada capítulo del texto base aparecen ejercicios propuestos de los que recomendamos que al menos se hagan de ocho a diez cada semana. Es muy importante que se intenten hacer insistentemente antes de consultar las soluciones propuestas en el apartado final del libro.
El equipo docente realizará la tutorización fundamentalmente a través del Curso Virtual. El Seguimiento del Aprendizaje se realizará mediante el curso virtual y los foros abiertos para ese fin. En él se habilitarán foros temáticos en los que el alumno podrá plantear sus dudas y trabajar junto con sus compañeros.
Tutorización telefónica en los horarios de guardia del profesor de la sede Central.
Tutorización postal.
Tutorización presencial (previa cita) en la Sede Central en los horarios de guardia del profesor.
Se puede acudir personalmente, previa cita, o llamar por teléfono en el horario de atención tutorial directa:
Miércoles de 12:30 a 13:30 y de 15:00 a 18:00
Despacho 2.93 ( Facultad de Psicología), C/Juan del Rosal, 28040 Madrid
Teléfono 91 398 8110.
El seguimiento del aprendizaje se realizará mediante el curso virtual y los foros abiertos para ese fin.
El seguimiento del aprendizaje se realizará mediante el curso virtual y los foros abiertos para ese fin.
También se puede contactar por carta dirigida a
Miguel Delgado Pineda,
Departamento de Matemáticas Fundamentales,
Facultad de Ciencias, UNED, , 28040 Madrid.
El seguimiento del profesor del los aprendizajes se realizará mediante el curso virtual y los foros abiertos
COMPETENCIAS GENERALES
CG4- Análisis y Síntesis.
CG5- Aplicación de los conocimientos a la práctica.
CG6- Razonamiento crítico.
CG7-Toma de decisiones.
CG8- Seguimiento, monitorización y evaluación del trabajo propio o de otros.
CG10- Comunicación y expresión escrita.
CG11- Comunicación y expresión oral.
CG13- Comunicación y expresión matemática, científica y tecnológica.
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
CED1- Comprensión de los conceptos básicos y familiaridad con los elementos fundamentales para el estudio de las Matemáticas superiores.
CED2- Destreza en el razonamiento cuantitativo, basado en los conocimientos adquiridos.
CEP1- Habilidad para formular problemas procedentes de un entorno profesional, en el lenguaje matemático, de manera que faciliten su análisis y resolución.
CEP4- Resolución de problemas.
CEA1- Destreza en el razonamiento y capacidad para utilizar sus distintos tipos, fundamentalmente por deducción, inducción y analogía.
CEA2- Capacidad para tratar problemas matemáticos desde diferentes planteamientos y su formulación correcta en lenguaje matemático, de manera que faciliten su análisis y resolución. Se incluye en esta competencia la representación gráfica y la aproximación geométrica.
CEA3- Habilidad para crear y desarrollar argumentos lógicos, con clara identificación de las hipótesis y las conclusiones.
CEA4- Habilidad para detectar inconsistencias de razonamiento ya sea de forma teórica o práctica mediante la búsqueda de contraejemplos.
CEA7- Habilidad para presentar el razonamiento matemático y sus conclusiones de manera clara y precisa, de forma apropiada a la audiencia a la que se dirige, tanto en la forma oral como escrita.
CEA8- Capacidad de relacionar distintas áreas de las matemáticas.
Los resultados específicos de la asignatura son:
Manejar el lenguaje proposicional y algunas técnicas de demostración, en particular los métodos de deducción, inducción, y reducción al absurdo.
Conocer el lenguaje básico de la teoría de conjuntos.
Reconocer las relaciones de equivalencia, las clases de equivalencia y el conjunto cociente. Manejar con soltura ejemplos de estos conceptos.
Reconocer las relaciones de orden e identificar los intervalos de orden así como las cotas, supremo, ínfimo, máximo, mínimo, maximales y minimales de un conjunto. Manejar con soltura ejemplos de todos estos conceptos.
Conocer las propiedades básicas de las aplicaciones entre conjuntos.
Conocer nociones mínimas sobre algunas estructuras algebraicas: grupos, anillos y cuerpos.
Conocer y manejar los distintos conjuntos numéricos: naturales, enteros, racionales, reales y complejos.
Comprender el concepto de cardinal, de conjunto finito e infinito, de numerabilidad y saber distinguir conjuntos numerables de conjuntos no numerables.
Reconocer números primos entre sí, conocer la identidad de Bézout y el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor.
Conocer demostraciones de algunos resultados clásicos.
A través de estos resultados se comienzan a adquirir las competencias disciplinares, profesionales y académicas.
De hecho, al ser una asignatura eminentemente básica, fundamenta casi todas las competencias descritas en la memoria del grado de Matemáticas.
3. Relaciones y aplicaciones entre conjuntos
4. Operaciones internas. Estructuras algebraicas
5. Los números naturales y los números enteros
6. Los números racionales y los números reales
El plan de trabajo se referirá al texto base ”Lenguaje matemático, Conjuntos y Números”, 2ª edición revisada y ampliada, septiembre 2020, (M. Delgado Pineda y M.J. Muñoz Bouzo). En él se fijan tanto los contenidos del estudio como la notación, que puede cambiar en los distintos libros que tratan de la materia.
En el Plan de Trabajo, se darán orientaciones concretas para el estudio de los temas, se insistirá en el tipo de ejercicios sobre los que el alumno deberá trabajar, y se indicará un cronograma temporal sobre la distribución de contenidos.
Gran parte de la formación recae sobre el trabajo personal del alumno con la bibliografía recomendada, básica y complementaria, siempre con la ayuda del profesor de la Sede Central de la UNED, los tutores y las tecnologías de ayuda de la UNED.
Los contactos con el equipo docente pueden ser: por teléfono, en su horario de guardia, presenciales en la Sede Central, previa cita, por e-mail, correo postal, y el curso virtual. Vamos a hacer hincapié en el curso virtual, porque está siendo una herramienta de enorme utilidad para los estudiantes en los últimos años.
En el foro de consultas generales se plantearán preferentemente cuestiones de caracter burocrático, de gestión o de procedimientos de evaluación.
En el foro de alumnos se podrán comunicar con los otros alumnos, no es un foro tutelado por lo que los profesores no se responsabilizarán del contenido del mismo.
Finalmente se crearán foros de cuestiones concretas: foros específicos de dudas sobre contenidos, que estarán orientados a la profundización y comprensión de los distintos temas. Los alumnos podrán realizar consultas razonadas y concisas sobre el tema.
TIPO DE PRUEBA PRESENCIAL
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| Tipo de examen |
| Tipo de examen |
Examen tipo test |
| Preguntas test |
| Preguntas test |
10 |
| Duración |
| Duración |
120 (minutos) |
| Material permitido en el examen |
| Material permitido en el examen |
Ninguno |
| Criterios de evaluación |
| Criterios de evaluación |
La Prueba consistirá en un examen tipo Test con cuestiones teóricas o prácticas, y que no superarán en dificultad a los del Texto base. El cuestionario es un test de diez preguntas con tres respuestas cada una de las que sólo una es verdadera. La puntuación será. - + 1 puntos si la respuesta es correcta
- -0,5 punto si la respuesta es incorrecta (lease Comentarios y observciones)
- 0 puntos si se deja en blanco
La notación utilizada en las Pruebas Presenciales será la del texto base, existiendo la obligación de conocerla. |
| % del examen sobre la nota final |
| % del examen sobre la nota final |
90 |
| Nota mínima del examen para aprobar sin PEC |
| Nota mínima del examen para aprobar sin PEC |
5 |
| Nota máxima que aporta el examen a la calificación final sin PEC |
| Nota máxima que aporta el examen a la calificación final sin PEC |
10 |
| Nota mínima en el examen para sumar la PEC |
| Nota mínima en el examen para sumar la PEC |
4,5 |
| Comentarios y observaciones |
| Comentarios y observaciones |
Un estudiante puede optar de forma más o menos aleatoria a marcar posibles respuestas, mientras que la intención del profesor es que el estudiante sólo responda a lo que sabe hacer. Las respuesta bien marcadas suman un punto, las respuestas mal marcadas restan medio punto siempre que el número de respuesta mal marcadas sea menor o igual a 4. A partir de cinco respuesta mal marcadas restará un punto cada una de estas . Que la prueba sea de selección de respuesta no significa que no quiere decir que no se tenga que hacer el desarrollo del problema para posteriormente elegir la opción correcta. Se presentarán tres posibles respuestas que no aportarán información adicional al enunciado, y una de ellas será "Ninguna de las otras respuestas" El porcentaje del examen sobre la nota final es como mínimo el 90%. Si el alumno no ha realizado la PEC, o si la nota de la Prueba Presencial no alcanza el 4 , el porcentaje del examen sobre la nota final es el 100%. Para mayor precisión veáse el apartado, "¿Cómo se obtiene la nota final ?". La nota mínima en el examen para contabilizar la PEC es 4. En esta asignatura la nota de la PEC no se suma a la nota de la prueba presencial. Se hace una media ponderada de ambas notas. Para mayor precisión veáse el apartado, "¿Cómo se obtiene la nota final ?". Aviso Importante de cómo actuar en una PP. El estudiante sólo deberá entregar la hoja de lectura óptica que se imprime con los enunciados de las preguntas, pero esta prohibido entregar alguna más, aunque la corrección es automática y sólo emplea la hoja de lectura óptica. a) Si el estudiante entiende que un enunciado no se puede interpretar matemáticamente o es incompleto por que falta algo esencial, entonces puede optar, por eliminación, y marcar la respuesta "Ninguna de las anteriores". b) Si el estudiante considera que hay dos respuestas correctas en una pregunta, entonces deberá marcar una de ellas. No debe optar por no marcar, pues no se considerará que haya respondido. En caso de ser cierto el profesor valorará correctamente las dos respuestas. c) Si una de las posibles respuestas aportada en el enunciado no se puede interpretar matemáticamente o es incompleto, entonces puede descartar dicha respuesta. Esto es mejor que llamar a un profesor de la sala e iniciar una sesión de comunicación con la Secretaría de PP. Cualquiera de las consideraciones que haga el estudiante de acuerdo con los apartados a), b) y c) de este aviso deberá quedar reflejado en la parte en blanco de la hoja de lectura óptica con el fin de que el profesor pueda leerlo y tenerlo en consideración. Sin duda las consideraciones podrán tenerse en cuenta, pero en caso de cambio de calificación no quedarán reflejadas en la zona visible de notas ya que los cambios lo hace el profesor a mano. En cualquier caso el profesor comunicará en el foro específico de PP lo que proceda. Aviso sobre la comunicación de la calificación. El cálculo automático de las calificaciones, en primer instancia, no estará hasta una semana después de acabar el periodo de Pruebas Presenciales. |
PRUEBAS DE EVALUACIÓN CONTINUA (PEC)
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| ¿Hay PEC? |
| ¿Hay PEC? |
Si |
| Descripción |
| Descripción |
La prueba de evaluación continua será opcional para los alumnos. Se realizará mediante: Cuestionario en línea, accesible a través de la plataforma virtual de la UNED. La prueba se realizará el día y la hora que se comunique. En general será a mediados de dicienbre. |
| Criterios de evaluación |
| Criterios de evaluación |
El cuestionario es un test de 5 preguntas con tres respuestas cada una de las que sólo una es verdadera. La puntuación será. - + 2 puntos si la respuesta es correcta
- -1 punto si la respuesta es incorrecta (léase Comentarios y Observaciones)
- 0 puntos si se deja en blanco
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| Ponderación de la PEC en la nota final |
| Ponderación de la PEC en la nota final |
10% |
| Fecha aproximada de entrega |
| Fecha aproximada de entrega |
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| Comentarios y observaciones |
| Comentarios y observaciones |
Un estudiante puede optar de forma más o menos aleatoria a marcar posibles respuestas, mientras que la intención del profesor es que el estudiante sólo responda a lo que sabe hacer. Las respuesta bien marcadas suman dos punto, las respuestas mal marcadas restan un punto siempre que el número de respuesta mal marcadas sea menor o igual a 2. A partir de tres respuesta mal marcadas restará dos punto cada una de estas . Que la prueba sea de selección de respuesta no significa que no quiere decir que no se tenga que hacer el desarrollo del problema para posteriormente elegir la opción correcta. Se presentarán tres posibles respuestas que no aportarán información adicional al enunciado, y una de ellas será "Ninguna de las otras respuestas" En caso de que el alumno decida no realizar el cuestionario de evaluación continua la nota final será la de la Prueba Presencial. Aviso Importante de cómo actuar en una PEC. El estudiante podrá acceder a un formulario vía telemática con las preguntas y posibles respuesta. a) Si el estudiante entiende que un enunciado no se puede interpretar matemáticamente o es incompleto por que falta algo esencial, entonces puede optar, por eliminación, y marcar la respuesta "Ninguna de las anteriores". b) Si el estudiante considera que hay dos respuestas correctas en una pregunta, entonces deberá marcar una de ellas. No debe optar por no marcar, pues no se considerará que haya respondido. En caso de ser cierto el profesor valorará correctamente las dos respuestas. c) Si una de las posibles respuestas aportada en el enunciado no se puede interpretar matemáticamente o es incompleta, entonces puede descartar dicha respuesta. Esto es mejor intentar contactas con el profesor de la asignatura. Cualquiera de las consideraciones que haga el estudiante de acuerdo con los apartados a), b) y c) de este aviso deberá indicarlo en el foro específico de la PEC lo más rápido posible. también puede utilizar el correo electrónico, aunque el profesor contestará en el foro. Aviso sobre la comunicación de la calificación. El cálculo automático de las calificaciones, en primer instancia, no estará hasta una semana lectiva después de acabar la PEC. Si un estudiante accede al formulario lo ve, no lo rellena y sale del formulario, entonces será forzosamente calificado con 0, como si lo hubiese rellenado. Aviso sobre el contenido de la PEC Temas 1, 2 , 3, 4, 5, 6 del texto base. Todos menos Números Complejos |
OTRAS ACTIVIDADES EVALUABLES
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| ¿Hay otra/s actividad/es evaluable/s? |
| ¿Hay otra/s actividad/es evaluable/s? |
No |
| Descripción |
| Descripción |
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| Criterios de evaluación |
| Criterios de evaluación |
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| Ponderación en la nota final |
| Ponderación en la nota final |
0 |
| Fecha aproximada de entrega |
| Fecha aproximada de entrega |
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| Comentarios y observaciones |
| Comentarios y observaciones |
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¿Cómo se obtiene la nota final?
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La calificación final se obtendrá de la manera siguiente: si N es la nota obtenida en la Prueba Presencial de Febrero y NPEC es la nota obtenida en la prueba de Diciembre, la nota final es: si N < 4.5, la nota final es NF=N. si N ≥ 4.5, la nota es: 0,9 N+ 0,1 NPEC, es decir, la media ponderada (con pesos de 90% y 10%) de la Prueba Presencial y la Prueba de Diciembre. En la convocatoria de Septiembre no se tendrá en cuenta la nota de la P.E.C. |
Lenguaje matemático, conjuntos y números
Autores: M. Delgado Pineda y M.J. Muñoz Bouzo
Ed: Sanz y Torres (2ª Edición Revisada y Aumentada, 2020)
El alumno seguirá las notaciones y terminología del libro en su estudio, pues ésta puede variar de unos libros a otros. La oficial será la del libro base.
Cada capítulo va precedido de una breve introducción a los contenidos que trata. Los conceptos fundamentales de cada tema van acompañados de un buen número de ejemplos cuyo objetivo es doble: por un lado está el propósito de ilustrar los conceptos presentados, por otro lado constituyen una serie de ejercicios resueltos que facilitan la profundización y reflexión sobre dichos conceptos a la vez que sirvan de modelo para resolver otros ejercicios.
Al final de algunos capítulos se ha incluido una sección titulada “Comentarios” que incluye aspectos de índole diversa. Desde algunas notas históricas del desarrollo del tema, hasta una aproximación intuitiva de aspectos teóricos que amplíen los conocimientos del tema.
Los ejercicios al final de cada capítulo deben permitir al estudiante comprobar la adquisición de conocimientos. La segunda edición incorpora la corrección de las erratas detectadas y un capítulo final donde se resuelven los ejercicios propuestos en cada capítulo. La 2ª revisión revisada y aumentada incorpora además la corrección de las últimas erratas detectadas y un capítulo final con ejercicios de recapitulación propuestos y resueltos.
Teoría básica de conjuntos ( V. Fernández Laguna, Anaya).
Es un libro que introduce la teoría elemental de conjuntos. Puede ser útil en los temas 2 y 3 y parte del tema 5 del programa. Los conceptos se tratan de una forma clara y sencilla, con una gran cantidad de ejemplos distribuidos a lo largo del texto.
Teoría de conjuntos y temas afines (S. Lipschutz, MacGrawHill).
Libro de nivel superior al anterior aunque no constituye un tratado axiomático de la teoría asignatura. El nivel de estos capítulos es algo superior a lo que aquí pretendemos. Tiene un buen número de ejercicios teóricos interesantes.
Números, grupos y anillos (J. Dorronsoro Ibero y E. Hernández Rodríguez, Addison Wesley).
Es un libro que introduce los temas clásicos del álgebra abstracta. Aunque es de nivel superior al que aquí se requiere, profundiza y amplia los conceptos estudiados en el tema 4.
Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics (K. Devlin, Chapman and Hall).
Es un libro que está escrito en un lenguaje accesible y ameno y trata muchas de las cuestiones que se plantean en esta asignatura. Su lectura puede resultar muy instructiva. La segunda edición incluye un capítulo sobre números complejos y una sección sobre lógica formal que desaparecen en la tercera edición a cambio de un aumento significativo de la colección de ejercicios.
Curso Virtual. La UNED pone a disposición de los alumnos un curso virtual atendido por profesores en el cual se abren posibilidades como resolver las dudas tanto generales como específicas de la asignatura, permitir la comunicación entre alumnos de la asignatura en el foro de alumnos y habilitar foros con cuestiones específicas de temas concretos en el que los alumnos podrán intercambiar soluciones, correcciones a otros alumnos y en el que el profesor sólo intervendrá cuando sea necesario para reconducir el debate.
