Asignatura grado 2027

En este primer tema se presentan algunos conceptos y herramientas básicas que servirán de apoyo al resto de la asignatura. Aunque parte del contenido aparece marcado como opcional, ello no debe interpretarse como falta de relevancia matemática, sino como indicación de que se trata de materiales de apoyo, repaso o ampliación que no necesariamente se desarrollarán con el mismo grado de detalle durante el curso. Su función principal es fijar el lenguaje y el marco general en el que más adelante se estudiarán los espacios de Hilbert.

1.1 Introducción
Se presenta el sentido general del tema y su papel dentro de la asignatura, destacando qué nociones previas conviene tener presentes antes de abordar el estudio de los espacios de Hilbert.

1.2 Lema de Zorn
Se introduce este resultado de teoría de conjuntos, fundamental en muchas demostraciones de existencia en álgebra y análisis funcional. Aunque su uso en la asignatura es limitado, conviene conocer su enunciado y su alcance.

1.3 Espacios vectoriales (opcional)
Se repasan las nociones básicas sobre espacios vectoriales y subespacios, con el fin de consolidar el marco algebraico en el que posteriormente se introducirán productos internos, normas y operadores. Su carácter opcional debe entenderse en sentido expositivo, no conceptual.

1.4 Bases en espacios vectoriales y dimensión
Se estudian los conceptos de base y dimensión en el contexto algebraico general. Este apartado permite recordar ideas esenciales para entender después la diferencia entre bases algebraicas y bases ortonormales.

1.5 Aplicaciones lineales (opcional)
Se revisan las nociones elementales relativas a las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales. Este material sirve como preparación para el estudio posterior de operadores lineales continuos.

1.6 Topología en Rⁿ (opcional)
Se recuerdan algunas propiedades topológicas básicas de los espacios euclídeos, útiles como referencia para comparar después lo que ocurre en espacios de dimensión infinita.

1.7 Desigualdades en Rⁿ
Se estudian desigualdades fundamentales que aparecen de manera natural en el análisis y que resultarán útiles más adelante en el tratamiento de normas, productos internos y estimaciones.

1.8 Ejercicios
Los ejercicios de este tema permiten afianzar los conceptos introductorios y comprobar que se manejan con soltura las herramientas básicas necesarias para seguir adecuadamente la asignatura.

En este tema se introducen algunas nociones topológicas y métricas básicas que resultan necesarias para formular con precisión muchos de los conceptos y resultados que aparecerán más adelante en la asignatura. Aunque el interés principal del curso se centra en los espacios de Hilbert, conviene disponer previamente de un marco general en el que se sitúan ideas como continuidad, compacidad, convergencia o completitud. De manera especial, el teorema de Baire constituye una herramienta fundamental en análisis funcional y permite comprender mejor varios resultados estructurales de gran alcance.

2.1 Introducción
Se presenta el papel de los espacios topológicos y métricos dentro del análisis moderno y su utilidad como marco general para estudiar continuidad, convergencia y compacidad.

2.2 Espacio topológico: Definición
Se introduce la noción de espacio topológico y los conceptos básicos asociados a ella. Este apartado permite situar en un contexto general muchas de las propiedades que más adelante se estudiarán en espacios métricos, normados y de Hilbert.

2.3 Espacio métrico
Se estudian los espacios métricos como una clase especialmente importante de espacios topológicos. La métrica permite trabajar de manera más concreta con distancias, sucesiones convergentes, conjuntos cerrados y completitud.

2.4 Funciones continuas
Se revisa el concepto de continuidad entre espacios topológicos y métricos. Este apartado sirve para reforzar una noción central del análisis y para preparar el estudio posterior de aplicaciones lineales continuas y operadores.

2.5 Conjuntos compactos
Se introduce el concepto de compacidad y algunas de sus propiedades básicas. La compacidad desempeña un papel esencial en numerosos resultados de análisis y, en el contexto de la asignatura, resulta especialmente útil para apreciar diferencias importantes entre dimensión finita e infinita.

2.6 Teorema de Baire
Se estudia uno de los resultados fundamentales de la topología y del análisis funcional. El teorema de Baire está en la base de varios teoremas importantes que aparecen en cursos posteriores y proporciona una primera muestra de la profundidad de los métodos abstractos del análisis.

2.7 Ejercicios
Los ejercicios de este tema tienen como objetivo afianzar el manejo de los conceptos topológicos y métricos básicos, así como familiarizar al estudiante con ejemplos y contraejemplos relevantes.

En este tema se introducen los elementos básicos de la teoría de la medida y de la integral de Lebesgue que serán necesarios para estudiar, más adelante, espacios de funciones de gran importancia en análisis, y en particular el espacio L², que constituye uno de los ejemplos fundamentales de espacio de Hilbert. Aunque no se pretende desarrollar aquí toda la teoría con exhaustividad, sí se presentan los conceptos y resultados imprescindibles para comprender el marco en el que se definen los espacios L^p y para trabajar con rigor en contextos funcionales más generales que los del cálculo clásico.

3.1 Introducción
Se presenta el sentido general del tema y su importancia dentro de la asignatura, destacando el papel de la teoría de la medida y de la integral de Lebesgue en el estudio de espacios de funciones.

3.2 Espacio medible
Se introduce la noción de espacio medible como estructura básica sobre la que se define posteriormente el concepto de medida. Este apartado proporciona el marco abstracto necesario para desarrollar la integración de Lebesgue.

3.3 Medida. Espacio de medida
Se estudia el concepto de medida y el de espacio de medida, que permiten cuantificar el tamaño de conjuntos de una forma mucho más flexible que la longitud, el área o el volumen en sentido clásico.

3.4 Medida de Lebesgue en Rⁿ
Se presenta la medida de Lebesgue en el espacio euclídeo, que constituye el ejemplo más importante de medida para las aplicaciones analíticas. Este apartado sirve como referencia fundamental para los espacios de funciones que aparecerán después.

3.5 Función medible
Se introduce el concepto de función medible, condición básica para poder definir su integral. Se trata de una noción central en la teoría y esencial para el desarrollo de los espacios L^p.

3.6 Teorema de la convergencia monótona y de la convergencia dominada
Se estudian dos de los resultados fundamentales de la integración de Lebesgue. Estos teoremas permiten intercambiar límites e integrales bajo hipótesis adecuadas y constituyen herramientas básicas en análisis.

3.7 Ejercicios
Los ejercicios de este tema tienen como finalidad afianzar los conceptos fundamentales de medida e integración, así como familiarizar al estudiante con los resultados básicos que serán utilizados posteriormente al estudiar espacios de funciones.

En este tema se estudian los espacios normados y, en particular, los espacios de Banach, es decir, aquellos espacios normados que son completos. Aunque el objetivo principal de la asignatura no es desarrollar de manera sistemática la teoría general de los espacios de Banach, este tema resulta importante porque los espacios de Hilbert constituyen una clase especialmente relevante de espacios de Banach. Por ello, conviene conocer previamente algunas nociones, ejemplos y resultados básicos del contexto normado general en el que después se situará la teoría específica de Hilbert.

4.1 Introducción
Se presenta el sentido general del tema y su relación con el resto de la asignatura, destacando el paso desde la estructura métrica a la estructura normada y la importancia de la completitud en análisis funcional.

4.2 Espacios normados
Se introduce la noción de espacio normado y las propiedades básicas asociadas a la norma. Este apartado permite formalizar conceptos geométricos y analíticos que generalizan los ya conocidos en espacios euclídeos.

4.3 Espacios de Banach
Se estudia el concepto de completitud en el contexto de los espacios normados y se introduce la noción de espacio de Banach. La completitud constituye una de las propiedades estructurales más importantes en análisis.

4.4 Teorema de la aplicación abierta
Se presenta uno de los teoremas fundamentales del análisis funcional. Este resultado muestra la profundidad de la teoría de los espacios de Banach y pone de manifiesto la fuerza de la completitud en el comportamiento de las aplicaciones lineales continuas.

4.5 Base de Schauder de un espacio de Banach
Se introduce la noción de base de Schauder, que extiende al contexto topológico la idea algebraica de base. Este apartado resulta útil para comparar distintos tipos de representación de los elementos de un espacio y para preparar el estudio posterior de las bases ortonormales en espacios de Hilbert.

4.6 Teorema de Hahn-Banach: forma analítica (opcional)
Se presenta uno de los resultados centrales del análisis funcional. Aunque su tratamiento en esta asignatura tiene carácter complementario, conviene conocer su significado y el papel que desempeña en la teoría general de espacios normados y dualidad.

4.7 Espacios de Banach separables
Se estudia la noción de separabilidad en el contexto de los espacios de Banach. Esta propiedad será especialmente relevante más adelante al considerar bases ortonormales y ejemplos concretos de espacios de Hilbert.

4.8 Funciones continuas entre espacios de Banach
Se revisan las aplicaciones continuas entre espacios de Banach, con especial atención al contexto lineal. Este apartado sirve como preparación para el estudio posterior de operadores en espacios de Hilbert.

4.9 Teorema de Banach-Steinhaus (opcional)
Se introduce otro de los grandes teoremas del análisis funcional. Su presencia en la asignatura tiene un carácter principalmente formativo y de contextualización dentro de la teoría general.

4.10 Espacio dual de un espacio de Banach
Se presenta la noción de espacio dual y el papel de los funcionales lineales continuos. Este concepto será particularmente importante al estudiar más adelante el teorema de representación de Riesz en espacios de Hilbert.

4.11 Ejercicios
Los ejercicios de este tema permiten consolidar el manejo de normas, completitud, dualidad y operadores lineales continuos, así como distinguir con claridad entre propiedades algebraicas, topológicas y geométricas de los espacios estudiados.

En este tema se estudia el espacio de las funciones continuas como uno de los ejemplos más importantes de espacio de Banach. Su interés dentro de la asignatura es doble: por una parte, proporciona un ejemplo fundamental de espacio funcional en el que confluyen de manera natural ideas topológicas, métricas y normadas; por otra, permite comprender mejor algunas diferencias esenciales entre el contexto general de los espacios de Banach y la situación más específica de los espacios de Hilbert. Además, varios de los resultados de este tema desempeñan un papel central en análisis y en aproximación de funciones.

5.1 Introducción
Se presenta el sentido general del tema y la importancia del espacio de las funciones continuas dentro del análisis funcional y de la teoría de aproximación.

5.2 El espacio de las funciones continuas
Se introduce este espacio funcional y se estudian sus propiedades básicas, prestando atención a la estructura lineal y a la norma natural con la que se trabaja en él.

5.3 El espacio de las funciones continuas es un espacio de Banach
Se prueba la completitud de este espacio respecto de la norma del supremo. Este resultado lo convierte en uno de los ejemplos clásicos y más relevantes de espacio de Banach.

5.4 Equicontinuidad
Se estudia el concepto de equicontinuidad, que permite controlar simultáneamente el comportamiento de familias de funciones. Se trata de una noción clave en resultados de compacidad y aproximación.

5.5 Teorema de Ascoli-Arzelà
Se presenta uno de los resultados fundamentales en teoría de funciones y compacidad. Este teorema ofrece un criterio muy útil para caracterizar subconjuntos relativamente compactos de espacios de funciones continuas.

5.6 Teorema de Stone-Weierstrass y separabilidad de C(0,1) (opcional)
Se introduce un importante resultado de aproximación uniforme de funciones continuas por subálgebras suficientemente ricas. Aunque su tratamiento aquí tiene carácter complementario, permite apreciar la profundidad de la teoría y su conexión con la densidad y la separabilidad.

5.7 Ejercicios
Los ejercicios de este tema permiten afianzar el estudio del espacio de las funciones continuas y familiarizarse con ejemplos y resultados fundamentales sobre compacidad, aproximación y estructura funcional.

En este tema se estudian los espacios L^p, que constituyen una de las familias más importantes de espacios de funciones en análisis. Su interés dentro de la asignatura es fundamental, ya que entre ellos aparece el espacio L², que es uno de los ejemplos más relevantes de espacio de Hilbert. Por ello, este tema permite enlazar la teoría de la medida y de la integración con la estructura geométrica y analítica que se desarrollará más adelante en el curso. Además, los espacios L^p proporcionan ejemplos esenciales para comprender mejor las diferencias entre el marco general de los espacios de Banach y el caso particular de los espacios de Hilbert.

6.1 Introducción
Se presenta el sentido general del tema y la importancia de los espacios L^p en análisis, tanto por su interés propio como por su papel en el estudio posterior de los espacios de Hilbert.

6.2 Definición de espacios L^p
Se introduce la definición de los espacios L^p asociados a un espacio de medida, así como la norma natural con la que se estudian. Este apartado permite construir una amplia clase de espacios funcionales de gran relevancia teórica y aplicada.

6.3 Desigualdad de Hölder en L^p
Se estudia una de las desigualdades fundamentales de la teoría, indispensable para el análisis de los espacios L^p y para numerosas demostraciones posteriores. Esta desigualdad pone de manifiesto la estrecha relación entre distintos exponentes conjugados.

6.4 L^p es un espacio de Banach
Se prueba que los espacios L^p son completos respecto de su norma natural. Este resultado justifica su importancia dentro del análisis funcional y permite situarlos dentro de la teoría general de los espacios de Banach.

6.5 L^p es un espacio separable para p menor que infinito
Se estudia la propiedad de separabilidad en los espacios L^p cuando p es finito. Esta cuestión será especialmente relevante más adelante al considerar ejemplos concretos y desarrollos en espacios de Hilbert.

6.6 Espacio dual de L^p (opcional)
Se introduce la descripción del dual de los espacios L^p en el caso general. Aunque este apartado tiene carácter complementario, resulta muy útil para comprender la estructura de estos espacios y su relación con la dualidad en análisis funcional.

6.7 Convergencia en L¹ y convergencia puntual (opcional)
Se comparan distintos tipos de convergencia en espacios de funciones, mostrando que no siempre coinciden ni tienen las mismas consecuencias. Este apartado permite apreciar mejor la riqueza y sutileza de los espacios funcionales.

6.8 Ejercicios
Los ejercicios de este tema tienen como objetivo consolidar la comprensión de la definición y propiedades básicas de los espacios L^p, así como familiarizar al estudiante con desigualdades, ejemplos y distintos modos de convergencia.

En este tema se introduce el núcleo central de la asignatura. Tras los preliminares desarrollados en los temas anteriores, se aborda ya de manera específica la teoría de los espacios de Hilbert, entendidos como espacios con producto interno completos respecto de la norma asociada. La presencia del producto interno dota a estos espacios de una estructura geométrica especialmente rica, que permite definir y estudiar con precisión nociones como ortogonalidad, proyección, base ortonormal o convergencia débil. Por ello, este tema ocupa una posición central dentro de la asignatura y proporciona las herramientas conceptuales fundamentales para los temas posteriores.

7.1 Introducción
Se presenta el sentido general del tema y se destaca la importancia de los espacios de Hilbert como marco natural para una gran parte del análisis matemático y de sus aplicaciones.

7.2 Producto interno
Se introduce la noción de producto interno y sus propiedades básicas. A partir de él se obtiene una norma natural y una geometría que generaliza la de los espacios euclídeos.

7.3 Espacios de Hilbert: Definición
Se define formalmente el concepto de espacio de Hilbert y se explica el papel esencial de la completitud en este contexto. Este apartado fija el objeto principal de estudio de la asignatura.

7.4 Ortogonalidad
Se estudia la noción de ortogonalidad y sus consecuencias básicas. La ortogonalidad constituye uno de los rasgos distintivos de los espacios de Hilbert y desempeña un papel central en la resolución de problemas de descomposición y aproximación.

7.5 Conjuntos cerrados en espacios de Hilbert
Se analizan algunas propiedades de los subconjuntos cerrados, especialmente en relación con la ortogonalidad y con los futuros resultados de proyección y mejor aproximación.

7.6 Bases en un espacio de Hilbert
Se introduce la noción de base ortonormal y se estudia su papel en la representación de los elementos del espacio. Este apartado permite comprender una de las diferencias fundamentales entre la estructura de Hilbert y la de un espacio vectorial puramente algebraico.

7.7 Convergencia débil
Se presenta la noción de convergencia débil, que amplía la perspectiva sobre los distintos modos de convergencia en espacios funcionales y resulta especialmente importante en análisis y en aplicaciones.

7.8 Ejercicios
Los ejercicios de este tema tienen como objetivo afianzar los conceptos fundamentales de la teoría de los espacios de Hilbert y desarrollar soltura en el uso de la ortogonalidad, las bases ortonormales y los distintos tipos de convergencia.

 En este tema se estudian algunas de las consecuencias más importantes de la geometría de los espacios de Hilbert en problemas de aproximación y optimización. La presencia del producto interno y de la ortogonalidad permite formular y resolver con especial claridad problemas de mejor aproximación a conjuntos convexos cerrados, lo que constituye una de las aplicaciones más características de esta teoría. Por ello, este tema desarrolla uno de los aspectos más útiles y representativos de los espacios de Hilbert, tanto desde el punto de vista teórico como aplicado.

8.1 Introducción
Se presenta el sentido general del tema y se explica la relación entre la estructura geométrica de los espacios de Hilbert y los problemas de aproximación óptima.

8.2 Conjuntos convexos. Teorema de la mejor aproximación
Se introduce la noción de conjunto convexo y se estudia el teorema de la mejor aproximación. Este resultado garantiza, bajo hipótesis adecuadas, la existencia y unicidad del punto de un conjunto convexo cerrado que se encuentra más próximo a un elemento dado del espacio.

8.3 Teorema de la proyección
Se estudia uno de los resultados centrales de la teoría de los espacios de Hilbert. El teorema de la proyección permite descomponer un elemento en suma de una componente perteneciente a un subespacio cerrado y otra ortogonal a dicho subespacio, proporcionando una herramienta fundamental para numerosos problemas de análisis y aplicaciones.

8.4 Ejercicios
Los ejercicios de este tema tienen como objetivo afianzar el manejo de los conceptos de convexidad, mejor aproximación y proyección ortogonal, así como desarrollar intuición geométrica en el contexto de los espacios de Hilbert.

En este tema se inicia el estudio de los operadores lineales continuos en espacios de Hilbert, que constituyen una parte fundamental del análisis funcional. La estructura geométrica de los espacios de Hilbert permite desarrollar una teoría especialmente rica de estos operadores, en la que aparecen de forma natural nociones como operador adjunto, autoadjunción o representación de funcionales continuos. Este tema sirve, por tanto, para ampliar el estudio de la estructura interna de los espacios de Hilbert y para introducir herramientas esenciales en muchas aplicaciones del análisis.

9.1 Introducción
Se presenta el sentido general del tema y la importancia del estudio de los operadores lineales continuos en el contexto de los espacios de Hilbert.

9.2 Operadores lineales y continuos
Se introducen los operadores lineales continuos entre espacios de Hilbert y se revisan sus propiedades básicas. Este apartado permite formalizar el concepto de transformación lineal compatible con la estructura topológica y geométrica del espacio.

9.3 Teorema de la gráfica cerrada (opcional)
Se presenta uno de los resultados fundamentales del análisis funcional relativo a operadores lineales. Aunque su tratamiento en este curso tiene carácter complementario, conviene conocer su significado y su papel dentro de la teoría general.

9.4 Teorema de representación de Riesz
Se estudia uno de los teoremas centrales de la teoría de los espacios de Hilbert. Este resultado caracteriza los funcionales lineales continuos en términos del producto interno y muestra de forma especialmente clara la riqueza estructural de estos espacios.

9.5 Operador adjunto. Operadores autoadjuntos
Se introduce la noción de operador adjunto y se estudian algunas propiedades básicas de los operadores autoadjuntos. Estos conceptos desempeñan un papel fundamental tanto en la teoría abstracta como en muchas aplicaciones.

9.6 Autovalores y autofunciones
Se presentan las nociones de autovalor y autofunción en el contexto de los operadores lineales. Este apartado constituye una primera aproximación a ideas espectrales de gran importancia en análisis y en física matemática.

9.7 Ejercicios
Los ejercicios de este tema tienen como objetivo afianzar el manejo de operadores lineales continuos, del teorema de representación de Riesz y de las nociones básicas asociadas al operador adjunto y a los autovalores.

En este tema se estudia una clase especialmente importante de operadores lineales continuos: los operadores compactos. En el contexto de los espacios de Hilbert, estos operadores presentan propiedades estructurales muy ricas y desempeñan un papel central en numerosos resultados del análisis funcional. Su estudio permite introducir de manera natural algunos aspectos básicos de la teoría espectral y comprender mejor la relación entre operadores, autovalores y bases de autofunciones. Por ello, este tema constituye una culminación natural del curso y muestra una de las direcciones más fecundas de la teoría de los espacios de Hilbert.

10.1 Introducción
Se presenta el sentido general del tema y la importancia de los operadores compactos dentro del análisis funcional y, en particular, en la teoría de los espacios de Hilbert.

10.2 Operadores compactos
Se introduce la noción de operador compacto y se estudian sus propiedades básicas. Estos operadores pueden considerarse, en cierto sentido, como una generalización infinito-dimensional de ciertas transformaciones bien conocidas en dimensión finita.

10.3 Autovalores de operadores compactos (opcional)
Se estudian algunos resultados básicos relativos a los autovalores de operadores compactos. Aunque este apartado tiene carácter complementario, permite apreciar la especial regularidad espectral de esta clase de operadores.

10.4 Bases de autofunciones de operadores compactos
Se presenta uno de los aspectos más relevantes de la teoría: la posibilidad, bajo hipótesis adecuadas, de describir la acción del operador a través de autofunciones que proporcionan una representación especialmente útil de los elementos del espacio. Este apartado conecta de forma natural con la estructura ortonormal propia de los espacios de Hilbert.

10.5 Ejercicios
Los ejercicios de este tema tienen como finalidad afianzar la comprensión de la noción de operador compacto y familiarizar al estudiante con sus propiedades básicas y con sus primeras consecuencias espectrales.

Nota aclaratoria: en esta guía, la indicación “opcional” no significa que ese contenido carezca de interés o que sea ajeno a la lógica de la asignatura. En general, señala materiales de apoyo, ampliación o repaso cuya profundidad de tratamiento puede ser variable a lo largo del curso. En una asignatura introductoria no siempre es posible desarrollar con el mismo detalle todos los aspectos del marco teórico en el que se sitúan los espacios de Hilbert; por ello, algunos apartados se consideran complementarios desde el punto de vista expositivo, aunque puedan resultar útiles o muy recomendables para una comprensión más amplia y sólida de la materia.