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| NOMBRE DE LA ASIGNATURA |
| NOMBRE DE LA ASIGNATURA |
ANÁLISIS MATEMÁTICO II |
| CÓDIGO |
| CÓDIGO |
61041071 |
| CURSO ACADÉMICO |
| CURSO ACADÉMICO |
2023/2024 |
| DEPARTAMENTO |
| DEPARTAMENTO |
MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES
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| TÍTULO EN QUE SE IMPARTE |
| TÍTULO EN QUE SE IMPARTE |
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GRADO EN FÍSICA
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| CURSO |
| CURSO |
PRIMER
CURSO
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| PERIODO |
SEMESTRE 2
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| TIPO |
FORMACIÓN BÁSICA |
| Nº ECTS |
| Nº ECTS |
6 |
| HORAS |
| HORAS |
150 |
| IDIOMAS EN QUE SE IMPARTE |
| IDIOMAS EN QUE SE IMPARTE |
CASTELLANO |
El análisis matemático es un parte de las matemáticas que trata de las nociones de función, límite, derivación e integración. En esta asignatura se van a presentar los conceptos básicos para funciones de varias variables (es una extensión de lo que se ha visto en la asignatura de Análisis Matemático I). Dichos conceptos junto con sus aplicaciones han formado la base de la matematización de los conceptos físicos; algunos, como la teoría de campos vectoriales, conformaron la física teórica de electromagnetismo en el siglo XIX.
El contenido de la asignatura es un material básico y constituye la base para poder entender las asignaturas de Mecánica y electromagnetismo. A su vez el cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables constituyen una herramienta básica en otras asignaturas de contenido matemático del Grado en Físicas.
Los prerrequisitos necesarios son mínimos: noción de función entre conjuntos de números, inyectividad, sobreyectividad y cuestiones elementales de álgebra y teoría de números que se dan en el bachillerato o en el curso de acceso; asimismo son precisos los conocimientos y destrezas adquiridas en la asignatura de Análisis Matemático I.
El horario de consulta al profesor de la asignatura será los martes de 10:00h a 14:00h.
Dª Beatriz Hernando Boto
Teléfono: 91 398 7247
Fax: 91-3987017
Despacho 2.91
C/ Juan del Rosal 10
Facultad de Psicología
UNED
Madrid 28040
La UNED asignará un tutor a cada alumno. El Profesor de la asignatura atenderá a las preguntas, dudas o cuestiones referentes a los contenidos científicos de la misma. El alumno también podrá trasladar sus preguntas, dudas o cuestiones referentes a los contenidos científicos, al Tutor de la asignatura.
Esta asignatura va a permitir al alumno adquirir las siguientes destrezas y competencias:
A. Generales
- Destreza en el razonamiento cuantitativo, basado en los conocimientos adquiridos. Habilidad para formular problemas procedentes de un entorno profesional, en lenguaje matemático, de manera que faciliten su análisis y resolución. Habilidad para ayudar a profesionales no matemáticos a aplicar esta materia.
- Destreza en el razonamiento y capacidad para utilizar sus distintos tipos, fundamentalmente por deducción, inducción y analogía. Capacidad para tratar problemas matemáticos desde diferentes planteamientos y su formulación correcta en lenguaje matemático, de manera que faciliten su análisis y resolución. Se incluye en esta competencia la aproximación geométrica y numérica.
- Habilidad para crear y desarrollar argumentos lógicos, con clara identificación de las hipótesis y las conclusiones. Habilidad para detectar inconsistencias de razonamiento tanto de forma teórica como práctica mediante la búsqueda de contraejemplos.
- Habilidad para extraer información cualitativa a partir de información cuantitativa. Habilidad para presentar el razonamiento matemático y sus conclusiones de manera clara y precisa, de forma apropiada a la audiencia a la que se dirige, tanto de forma oral como escrita.
- Capacidad de relacionar distintas áreas de las matemáticas. Razonamiento crítico, capacidad de evaluar trabajos propios y ajenos.
B. Específicas
- Comprensión de los conceptos básicos y familiaridad con los elementos fundamentales del Análisis Matemático que servirá para el estudio de las restantes asignaturas del curso.
- Destreza para resolver problemas de cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables y campos vectoriales.
- Habilidades y destrezas que le permitan operar con funciones de varias variables y sus representaciones gráficas, cálculo de límites, derivadas, integrales y aproximaciones numéricas, mediante el razonamiento, el análisis y la reflexión.
- Capacidad para resolver problemas de valores extremos, cálculo de raíces de sistemas de ecuaciones no lineales y aproximación de funciones.
- Capacidad para calcular longitudes, áreas y volúmenes.
- Destreza para resolver problemas paramétricos y de ajuste por mínimos cuadrados.
- Habilidad para proponer y plantear problemas prácticos y teóricos mediante las técnicas del cálculo diferencial e integral de funciones escalares de varias variables y campos vectoriales.
- Aplicar adecuadamente los conceptos del cálculo diferencial y sus operaciones en la solución de problemas de valores extremos. Utilización del cálculo integral para determinar longitudes, áreas y volúmenes definidos por funciones vectoriales o de varias variables, determinación de los momentos y del centro de masas de cuerpos rígidos.
- Conocer y utilizar las técnicas de aproximación mediante polinomios de funciones de varias variables. Conocer y utilizar las técnicas de integración de campos vectoriales y aplicarlos a la dinámica de fluidos y al electromagnetismo
- Reconocer la estructura de las funciones y realizar representaciones gráficas detalladas.
- Comprender el concepto de función implícita y ver la forma de aplicarlo a la obtención de las derivadas parciales de funciones determinadas por sistemas de ecuaciones. Comprender el concepto de integral de superficie y aplicarlo al cálculo del flujo de un campo vectorial.
1. Cónicas, curvas paramétricas y curvas polares. Funciones vectoriales y curvas
1.2 Curvas paramétricas
Curvas planas generales y parametrizaciones. Algunas curvas planas de interés.
1.3 Curvas paramétricas suaves y sin pendientes
Pendiente de una curva paramétrica. Dibujo de curvas paramétricas.
1.4 Longitudes de arco y áreas de curvas paramétricas
Longitudes de arco y áreas de superficie. Áreas limitadas por curvas paramétricas.
1.5 Coordenadas polares y curvas polares
Algunas curvas en polares. Intersecciones de curvas en polares. Cónicas en polares.
1.6 Pendientes, áreas y longitudes de arco de curvas polares
Áreas limitadas por curvas en polares. Longitudes de arco de curvas en polares.
1.7 Funciones vectoriales de una variable
Diferenciación de combinación de vectores.
1.8 Algunas aplicaciones de la diferencial vectorial
Movimiento de una masa variable. Movimiento circular. Sistemas en rotación y el efecto Coriolís.
1.9 Curvas y parametrizaciones
Parametrización de la curva intersección de dos superficies. Longitud de arco. Curvas suaves por tramos. Parametrización mediante la longitud de arco.
1.10 Curvatura, torsión y sistema de referencia de Frenet.
El vector tangente unitario. Curvatura y normal unitaria.Torsión y binormal, Fórmulas de Frente-Serret.
1.11 Curvatura y torsión para parametrizaciones generales
Aceleración tangencial y normal. Evolutas. Aplicación al diseño de vías (o carreteras).
2. Diferenciación parcial. Aplicaciones de la derivadas parciales
2.1 Funciones de varias variables
Representaciones gráficas
2.2 Límites y continuidad
2.3 Derivadas parciales
Planos tangentes y rectas normales. Distancia de un punto a una superficie. Un ejemplo geométrico.
2.4 Derivadas de orden superior
Las ecuaciones de Laplace y de ondas
2.5 La regla de la cadena
Funciones homogéneas. Derivadas de orden superior.
2.6 Aproximaciones lineales, diferenciabilidad y diferenciales
Demostración de la regla de la cadena. Diferenciales. Funciones de un espacio
de n-dimensiones en un espacio de m-dimensiones.
2.7 Gradientes y derivadas direccionales
Derivadas direccionales. Tasas de cambio percibidas por un observador en
movimiento. El gradiente en tres y más dimensiones.
2.8 Funciones Implícitas
Sistemas de ecuaciones. Determinantes jacobianos. El teorema de la función
implícita.
2.9 Aproximaciones mediante series de Taylor
Aproximación de funciones implícitas.
2.10 Valores Extremos
Clasificación de los puntos críticos.
2.11 Valores extremos de funciones definidas en dominios restringidos
Programación Lineal.
2.12 Multiplicadores de Lagrange
El método de los multiplicadores de Lagrange. Problemas con más de una restricción. Programación no lineal.
2.13 El método de los mínimos cuadrados
Regresión lineal. Aplicaciones del método de los mínimos cuadrados a integrales.
2.14 Problemas paramétricos
Diferenciación de integrales con parámetros. Envolventes. Ecuaciones con perturbaciones.
3. Integración múltiple. Campos vectoriales
3.1 Integrales dobles
Integrales dobles en dominios más generales. Propiedades de la integral doble.
Resolución de integrales dobles por inspección.
3.2 Iteración de integrales dobles en coordenadas cartesianas
3.3 Integrales impropias y el teorema del valor medio
Integrales impropias de funciones positivas. Un teorema del valor medio para
integrales dobles.
3.4 Integrales dobles en coordenadas polares
Cambio de variables en integrales dobles.
3.5 Integrales triples
3.6 Cambios de variable en integrales triples
Coordenadas cilíndricas. Coordenadas esféricas.
3.7 Aplicaciones de las integrales múltiples
Área de la superficie de una gráfica. Atracción gravitatoria de un disco. Momentos y centros de masa. Momento de inercia.
3.8 Campos escalares y vectoriales
Líneas de campo (curvas integrales). Campos vectoriales en coordenadas polares.
3.9 Campos conservativos
Superficies y curvas equipotenciales. Fuentes sumideros y dipolos.
3.10 Integrales sobre curvas
Cálculo de integrales sobre curvas
3.11 Integrales sobre curvas de campos vectoriales
Dominios conexos y simplemente conexos. Independencia del camino.
4. Cálculo vectorial
4.1 Superficies e integrales de superficie
Superficies paramétricas. Superficies compuestas. Integrales de superficie. Superficies suaves, normales y elementos de área. Cálculo de integrales de superficie. Atracción de una corteza terrestre.
4.2 Superficies orientadas e integrales de flujo
Superficies orientadas. Flujo de un campo vectorial por una superficie.
4.3 Gradiente, divergencia y rotacional
Interpretación de la divergencia. Distribuciones y funciones delta. Interpretación del rotacional.
4.4 Algunas identidades con el gradiente, la divergencia y el rotacional
Potencial escalar y potencial vector.
4.5 El teorema de Green en el plano
El teorema de la divergencia en dos dimensiones.
4.6 El teorema de la divergencia en el espacio tridimensional
Variantes del teorema de la divergencia.
4.7 El teorema de Stokes
Metodología de la enseñanza a distancia, que constara de lectura, consulta e interacción, con los contenidos teóricos asociados a los materiales didácticos propios de la asignatura. Trabajo autónomo con los materiales didácticos, mediante el estudio de los contenidos del programa de la asignatura, o bien mediante la realización de ejercicios.
Se realizarán evaluaciones a distancia mediante procesos interactivos, a través de la plataforma de virtualización, que servirán para llevar a cabo un proceso de autocontrol y corrección de errores en el aprendizaje, así como para que el equipo docente pueda seguir el aprendizaje del alumno. Por último el alumno tendrá que dedicar una parte del tiempo del proceso de aprendizaje a la preparación de las pruebas presenciales propias de la UNED. El número de horas mínimas indicadas para preparar la asignatura, por parte del alumno, oscilará entre 150 a 180 (6 ETCS). Dicho número de horas se puede repartir, en principio de la siguiente forma:
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Trabajos con contenidos teóricos
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37 a 45 horas
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Realización de actividades prácticas.
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22 a 27 horas
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Trabajo autónomo
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90 a 108 horas
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El Texto Base está estructurado de forma que el contenido de los cuatro temas que forman esta signatura se pueda seguir según el esquema anterior, siempre reforzado por la relación con el tutor y con el equipo docente.
TIPO DE PRUEBA PRESENCIAL
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| Tipo de examen |
| Tipo de examen |
Examen de desarrollo |
| Preguntas desarrollo |
| Preguntas desarrollo |
4 |
| Duración |
| Duración |
120 (minutos) |
| Material permitido en el examen |
| Material permitido en el examen |
Calculadora no gráfica y no programable |
| Criterios de evaluación |
| Criterios de evaluación |
En todos las preguntas se valorará, esencialmente, el grado de comprensión de la materia y el planteamiento razonado del problema. Se valorarán los resultados finales, el procedimiento empleado y la claridad en la exposición dependiendo del tipo de pregunta. Se podran penalizar los errores graves. Sólo entran en el examen los contenidos del programa que aparecen en el libro base (libro de referencia) |
| % del examen sobre la nota final |
| % del examen sobre la nota final |
90 |
| Nota mínima del examen para aprobar sin PEC |
| Nota mínima del examen para aprobar sin PEC |
5 |
| Nota máxima que aporta el examen a la calificación final sin PEC |
| Nota máxima que aporta el examen a la calificación final sin PEC |
10 |
| Nota mínima en el examen para sumar la PEC |
| Nota mínima en el examen para sumar la PEC |
4 |
| Comentarios y observaciones |
| Comentarios y observaciones |
La evaluación final consistirá en un examen de desarrollo presencial que constará de 4 problemas de dificultad análoga a los problemas que aparecen en el texto base. |
PRUEBAS DE EVALUACIÓN CONTINUA (PEC)
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| ¿Hay PEC? |
| ¿Hay PEC? |
Si |
| Descripción |
| Descripción |
Consistirá en la solución de una serie de preguntas de tipo test sobre los temas 1 y 2, del nivel del texto base, que se realizará durante dos horas a traves de la plataforma virtual |
| Criterios de evaluación |
| Criterios de evaluación |
Las respuestas acertadas sumarán un punto, los errores restarán 0,25 y las preguntas en blanco no suman ni restan puntos. |
| Ponderación de la PEC en la nota final |
| Ponderación de la PEC en la nota final |
1 |
| Fecha aproximada de entrega |
| Fecha aproximada de entrega |
14/04/2023 |
| Comentarios y observaciones |
| Comentarios y observaciones |
El acceso a la prueba estará abierto desde las 11:00 hasta las 19:00. La aplicación dará un solo intento a cada estudiante para realizar la prueba. |
OTRAS ACTIVIDADES EVALUABLES
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| ¿Hay otra/s actividad/es evaluable/s? |
| ¿Hay otra/s actividad/es evaluable/s? |
No |
| Descripción |
| Descripción |
|
| Criterios de evaluación |
| Criterios de evaluación |
|
| Ponderación en la nota final |
| Ponderación en la nota final |
|
| Fecha aproximada de entrega |
| Fecha aproximada de entrega |
|
| Comentarios y observaciones |
| Comentarios y observaciones |
|
¿Cómo se obtiene la nota final?
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La nota de la asignatura es la nota X del examen para aquellos estudiantes que decidan no hacer la PEC. Si X es mayor o igual a 4, entonces la nota de la asignatura es X/9 + Y/10, donde Y es la nota de la PEC. |
Para la asignatura de Análisis Matemático II entran los siguientes capítulos:
Tema I
Capítulo 8: Cónicas, curvas paramétricas y curvas polares. Capítulo 11: Funciones vectoriales y curvas (sección 11.6 no entra).
Tema II
Capítulo 12: Diferenciación parcial. Capítulo 13: Aplicación de las derivadas parciales (13.6, 13.7, no entran).
Tema III
Capítulo 14: Integración múltiple. Capítulo 15: Campos vectoriales (hasta sección 15.4).
Tema IV
Capítulo 15: secciones 15.5 y 15.6. Capítulo 16: Cálculo vectorial (16.6 y 16.7, no entran).
Se recomienda, para aplicaciones de Maple al estudio del Análisis, el libro:
[10] J. Amillo, F. Ballesteros, R. Guadalupe, y L. J. Martin, Cálculo, Conceptos, ejercicios y sistemas de computación matemática, con Maple. Mc Graw Hill, Madrid 1996
Los alumnos tendrán a su disposición, en la virtualización, diverso material en pdf, así como una serie de direcciones Web que le servirán de apoyo a la asignatura.
Los conocimientos previos para este curso se pueden obtener en la dirección Web:
http://descartes.cnice.mec.es/indice_ud.php?idioma=Castellano
Unos tutoriales y ejercicios interesantes de Cálculo se encuentran en:
http://math.etsu.edu/multicalc/prealpha/downloads.htm
http://www.slu.edu/classes/maymk/MathApplets-SLU.html
Un curso de cálculo aplicado a la física se encuentra en
http://www.physics2000.com/Pages/Calculus.html
Software Maple y Maxima
Son programas de carácter general que permiten trabajar en todas las ramas de las matemáticas. Sirve tanto a nivel de laboratorio -para experimentar en el aprendizaje de las matemáticas-, como para investigar con él, ya que dispone de numerosas funciones implementadas. La instalación del programa es muy sencilla.
