En esta asignatura se presentan los conceptos y las herramientas teóricas imprescindibles para reconocer, formular y resolver problemas de optimización convexa. Se estudian tanto los con­ceptos teóricos básicos, como alguna aplicación práctica.

La asignatura de Optimización Convexa en Ingeniería constituye un complemento formativo muy re­co­mendable para quienes deseen completar su formación matemática orientada a la inves­tigación en tecnologías industriales, muy particularmente, para quienes hayan escogido el itinerario de Matemática Industrial.

Aunque el término ciencia de datos no empezó a emplearse hasta la década de los ochenta del siglo pasado, veinte años antes el matemático John Tukey expuso en su artículo fundacional The Future of Data Analysis una descripción de la disciplina, que incluiría, entre otras cosas: procedimientos para analizar datos, técnicas para interpretar los resultados de tales procedimientos, formas de planificar la recopilación de datos para hacer su análisis más fácil, más preciso o más exacto, y toda la maquinaria y los resultados de la estadística (matemática) que se aplican al analizar datos.

Si añadimos la disponibilidad de ingentes cantidades de datos, el enorme aumento de la potencia computacional y las prácticamente ilimitadas capacidades para la transferencia y almacenamiento que se han producido en los últimos cincuenta años, podremos hacernos una idea de lo que significa ciencia de datos.

En el mencionado artículo, Tukey dedica un apartado a responder a la pregunta  ¿Por qué la optimización? Es natural y deseable, dice, que un matemático optimice: así, centra la atención en un pequeño subconjunto de todas las posibilidades que, a menudo, conducen a principios generales y alienta a afinar los conceptos, particularmente cuando los óptimos intuitivamente erróneos se consideran como razones para reexaminar conceptos y criterios. Para Tukey, el peligro solo aparece cuando los resultados se toman demasiado en serio. La solución de un problema de optimización sería más una guía que una respuesta.

Entendiendo así la importancia de la optimización, sin tomar sus resultados demasiado en serio, ¿por qué poner el énfasis en la optimización convexa (la que tiene función objetivo y restricciones convexas, en nuestro caso, siempre en dimensión finita)? Tenemos razones intrínsecas (como la elegancia de los resultados matemáticos), extrínsecas (por ejemplo, muchos problemas de aprendizaje automático requieren la minimización de funciones convexas, como pueden ser las normas) y, lo que es más importante, razones puramente prácticas (aunque no encontraremos normalmente soluciones cerradas, como en el ajuste por mínimos cuadrados, existen algoritmos eficientes para resolver la gran mayoría de los problemas convexos).

Para hacernos una idea del tipo de problemas que se tratan en esta asignatura, supongamos que queremos diseñar un algoritmo que permita distinguir fotografías de perros de fotografías de gatos. Un enfoque simple e ingenuo, hasta cierto punto, consistiría en considerar cada fotografía como una matriz (bidimensional, si es en escala de grises o de más dimensiones, si la fotografía es a color); extraeríamos, un poco a ciegas, N características de cada una de esas matrices correspondientes a una gran cantidad de fotos, ya clasificadas como de perros o de gatos (por decir algo, pensemos en la media de los valores de sus celdas, las medias de los valores de sus columnas, la desviación típica de esos valores, etc.). De esa manera, obtendríamos de cada foto un vector de un espacio N dimensional. Si encontramos un hiperplano de ese espacio N dimensional (a fin de cuentas, un vector N dimensional) que separe los puntos correspondientes a perros de los puntos correspondientes a gatos, tendremos un procedimiento muy eficiente para clasificar una nueva fotografía: se convierte en vector N dimensional la nueva fotografía y se introduce en la ecuación del hiperplano (solo sumas y multiplicaciones), de manera que el resultado positivo corresponderá perro y el negativo, a gato.

Simplificando mucho, el proceso de cálculo del hiperplano sería el aprendizaje y se puede formular como un problema de optimización convexa.

De todo lo anterior se deduce que Optimización Convexa en Ingenería desempeña un papel básico en el itinerario de Matemática Industrial. Aunque podemos hallar vínculos con todas las asignaturas del itinerario, la dependencia más robusta se da con las dos asignaturas que mejor la complementan Álgebra Lineal Numérica Aplicada a la Ingeniería y Modelos variacionales en ingeniería. En cierto sentido, la primera precede a Optimización Convexa en Ingeniería, mientras que la segunda la continúa.

Además de la adquisición de unos conocimientos básicos de análisis convexo, se pretende que, al completar el curso, el alumno sea capaz de seguir mejorando su com­petencia matemática de for­ma autónoma y continuada, consultando tanto textos escritos como bases de datos en línea. En este sentido, se procurará generar en los alumnos una actitud positiva hacia la mejora e innovación de los métodos matemáticos que se aplican en la investigación en ingeniería.

Para la correcta asimilación de los contenidos de la asignatura, se requieren los conocimientos en álgebra lineal y análisis matemático que se adquieren habitualmente en los grados de ciencias e ingenierías. En particular, es necesaria cierta soltura con los siguientes conceptos:
 
1.      Espacio real n-dimensional
1.1.   Producto interior, norma euclidea, ángulos.
1.2.   Otras normas.

2.      Análisis Matemático:
2.1.   Conceptos topológicos elementales.
2.2.   Funciones. Continuidad.
2.3.   Funciones vectoriales de varias variables.
2.4.   Derivadas parciales, gradiente.
2.5.   Regla de la cadena.
2.6.   Matriz hessiana

3.      Álgebra lineal:
3.1.   Aplicaciones lineales y matrices; rango y núcleo
3.2.   Autovalores. Diagonalización de matrices.
3.3.   Matrices definidas y semidefinidas positivas

4.      Estadística y probabilidad básicas.

5.      Ajuste por mínimos cuadrados.

6.      Programación lineal.

7.      Comprensión de textos científico-técnicos escritos en inglés.

8.       Edición y composición de textos matemáticos en LaTex.

Horario

Las consultas pueden realizarse, preferentemente, los jueves de 10 a 14h, para el profesor Juan Perán Mazón o bien los martes de 10 a 14h, para la profesora Elvira Hernández García. Téngase en cuenta que durante las semanas de exámenes el equipo docente de la asignatura puede estar en comisión de servicios en alguno de los tribunales, por lo que no sería posible la atención a los alumnos durantes estos perio­dos.

Procedimiento

Para consultas con contenido matemático, por orden de preferencia:

• Foros del curso virtual
• Correo electrónico:  jperan@ind.uned.es   (Juan Perán Mazón) o ehernandez@ind.uned.es (Elvira Hernández García)
• Entrevista. Despacho 2.45 (Juan Perán Mazón) o 2.43 (Elvira Hernández García) de la Escuela de Ingenieros Indus­triales de la UNED. Se ruega concertar cita telefónicamente.
• Teléfono: 91 398 7915  (Juan Perán Mazón) o 913987992 (Elvira Hernández García)  La llamada puede ser desviada a un buzón de voz. Por favor, deje su nombre, asignatura, asunto que quiere tratar y número de teléfono donde puede ser localizado.

Para otras consultas (programa, evaluación, orientaciones metodológicas, bibliografía, etc.), por orden de preferencia:

• Entrevista personal o por videoconferencia. Se ruega concertar cita telefónicamente o por correo electrónico.
• Correo electrónico.
• Teléfono.
   

Dirección postal 

Departamento de Matemática Aplicada
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales.
C/ Juan del Rosal, 12.
28040 Madrid

COMPETENCIAS

CP1 Desarrollar habilidades sistémicas (metodológicas): aplicación de conocimientos; habilidades en investigación; y creatividad.

CP3 Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.

CP4 Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades.

CONOCIMIENTOS O CONTENIDOS

C1 Adquirir el conocimiento de los métodos y técnicas de investigación.

C3 Elaborar y tratar modelos matemáticos que representen el comportamiento de los sistemas industriales.

C4 Adquirir destrezas en la aplicación de técnicas de simulación computacional.

C5 Tomar conciencia de la importancia de la adquisición del conocimiento científico a la luz de la teoría de la ciencia actual, así como de la diversidad metodológica.

C6 Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación.

HABILIDADES O DESTREZAS

H1 Desarrollar capacidad de análisis y síntesis de la información científico-técnica.

H2 Adquirir destrezas en la búsqueda y gestión bibliográfica y documental.

H3 Desarrollar capacidad de razonamiento crítico.

H4 Desarrollar habilidades técnicas, de análisis y síntesis: resolución de problemas, toma de decisiones y comunicación de avances científicos.

H6 Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.

H7 Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

COMPETENCIAS

CP1 Desarrollar habilidades sistémicas (metodológicas): aplicación de conocimientos; habilidades en investigación; y creatividad.

CP3 Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.

CP4 Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades.

Optimización Convexa en Ingeniería (OCI), como no podía ser de otra manera en una asignatura de la UNED, se imparte con la metodología de la enseñanza a distancia. Esta afirmación obvia exige, no obstante, algunas consideraciones. Originalmente, el concepto de "distancia" se refería a la distancia física entre el estudiante y el centro docente. Ese distanciamiento implicaba, entre otras cosas, el asincronismo entre la exposición del equipo docente y el estudio del alumnado. Por otra parte, esa distancia y esa asincronía existían mucho antes de que se crearan las instituciones de enseñanza abierta: desde siempre, algunos estudiantes han considerado que obtenían poco provecho de las clases magistrales y han optado por el absentismo, poniendo la distancia y la asincronía por su cuenta. Lo que verdaderamente distingue a la enseñanza a distancia de la presencial es que todos (o casi todos) los materiales didácticos están concebidos para su utilización asíncrona. En este sentido, una institución que impartiera las clases magistrales exclusivamente mediante videoconferencias en directo no estaría utilizando ninguna metodología de enseñanza a distancia (salvo por la propia distancia física, claro), pues la metodología sería la misma que la de una clase magistral presencial. La metodología que se aplica en OCI se basa en dos elementos:

• Los materiales didácticos.
• Los foros del curso virtual, en los que se deben plantear las dudas que surjan al estudiar cada tema.

Como regla general, se puede afirmar que si no hay dudas es que no se ha entendido nada. Las preguntas en los foros activan un mecanismo de retroalimentación: cada pregunta modifica y completa los materiales didácticos que la originan. El manual no puede contener todas las explicaciones, figuras, animaciones, etc. que el equipo docente puede generar. Si lo hiciera, se convertiría en un mamotreto ilegible. Los materiales didácticos están siempre incompletos sin las preguntas de los estudiantes.

Quien no pregunta, en realidad, está aplicándose la antiquísima metodología que hemos comentado antes: no seguir la docencia y empollar en casa. Por supuesto, miles de estudiantes han aplicado con éxito ese método desde siempre, pero no es el más conveniente en esta asignatura.

Los foros también pueden utilizarse como material de consulta, leyendo las preguntas formuladas por los compañeros y las correspondientes respuestas del equipo docente. La metodología es, por lo tanto, individualizada, de manera que el alumno y el profesor deben conversar en los foros al menos una vez a la semana. El papel del profesor será tanto de instructor, como de controlador del ritmo de avance. Así mismo, se esforzará en animar al alumnado para evitar la desmoralización que amenaza a quien estudia solo. Se pedirá a los alumnos que vayan completando, según avance su estudio, una agenda de trabajo (como informes en el curso virtual) en la que anotarán todas y cada una de las sesiones que hayan dedicado al estudio, concretando su duración, dificultades y metas alcanzadas.

La metodología de trabajo es muy sencilla: hay que dedicar aproximadamente una hora seguida a la lectura de cada epígrafe (2.1, 2.2, etc., no se incluyen en esta estimación los epígrafes de la introducción, que son mucho más breves); después, durante otra hora, más o menos, hay que hacer dos o tres ejercicios de los propuestos para esa materia.

Se trata de un manual escrito, en lengua inglesa, para servir como libro de texto para posgraduados en áreas cientifíco-técnicas. El autor ha procurado limitar al máximo los prerrequisitos matemáticos, de manera que el texto sea accesible para estudiantes sin una formación avanzada en matemáticas. Los conceptos matemáticos que pudieran no haberse estudiado en los programas habituales de los graduados en ingeniería o en ciencias no matemáticas se incluyen en el texto como anexos.

En el momento de redactar esta guía, se puede acceder libremente al texto vía web en la dirección:

http://www.ee.ucla.edu/~vandenbe/cvxbook/

El equipo docente agradece a los autores su generosidad al propocionar gratuitamente el acceso a su libro.

• Hiriart-Urruty, J.-B.; C. Lemaréchal: Fundamentals of Convex Analysis. Ed. Springer-Verlag. 2001. ISBN(10) 3-540-42205-6 ISBN(13) 978-3-540-42205-1
  Se trata de una de las introducciones al Análisis convexo escritas con mayor claridad; sin embargo, cubre temas más avanzados que los propuestos para la asignatura.
• Rockafellar, R.T.. Convex Analysis . Ed. Princeton University Press. 1997
  Es la referencia canónica en Análisis Convexo. No obstante, se trata de un libro más difícil de leer que los de Boyd y Vandenberghe o Hiriart-Urruty y Lemaréchal.
• Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Introduction to Applied Linear Algebra. Vectors, Matrices, and Least Squares 2018 Cambridge University Press. ISBN: 9781316518960. Este magnífico libro podría usarse como texto para un primer curso de álgebra lineal aplicada a la ciencia de datos.

• Curso virtual. Tal y como se detalla bajo el epígrafe de Plan de trabajo, el curso virtual desempeña un papel esencial en la docencia de esta asignatura. La herramienta que más utilizaremos será la de los foros, en donde los alumnos podrán plantear sus dudas e intervenir en los hilos iniciados por otros compañeros al plantear sus dudas.
• Videoconferencia. Según cómo se vaya desarrollando el curso, los alumnos podrán plantear la posibilidad de realizar videoconferencias.
• Otros. En el momento de redactar esta guía, se podían encontrar en la dirección https://see.stanford.edu/Course/EE364A
  los vídeos de las clases del profesor Stephen Boyd en la Universidad de Stanford.
• Entrega de actividades. Todos los documentos que se entreguen deberán elaborarse en LaTex. Más detalles en el curso virtual.
• Software para prácticas. Se utilizará CVX sobre MATLAB o CVXPY sobre Phyton para resolver ejericicios de optimización convexa. En el curso virtual se procurará aportar referencias de consulta.