Métodos Numéricos es una asignatura que se imparte durante el primer semestre del Máster en Física Médica. Es obligatoria para todos los perfiles (académico, investigador y profesional) y todos los estudiantes, excepto para aquellos que ya han cursado asignaturas similares en sus estudios anteriores, como los que acceden procediendo de licenciaturas o grados de Matemáticas o Físicas. Tiene asociados 6 créditos ECTS (de 25 horas cada uno) y no tiene prácticas de laboratorio.

El objetivo básico de esta asignatura es el análisis y la aplicación de los métodos matemáticos que permiten la resolución de problemas en Física de difícil solución analítica. En esta asignatura estudiaremos los fundamentos matemáticos de diversos métodos numéricos y mostraremos sus aplicaciones más generales.

Contextualicemos el interés de esta asignatura dentro del ámbito de la Física Médica: Muchos instrumentos en la medicina moderna hacen medidas discretas de funciones fisiológicas que luego se convierten en funciones matemáticas continuas. De igual forma, la respuesta de las células del cuerpo humano a ciertas perturbaciones inducidas por los aparatos de medida y la exploración médica se transforma en imágenes que muestran la anatomía o el comportamiento fisiológico de los diferentes órganos. Precisamente, esta conversión de datos discretos en funciones matemáticas continuas o en imágenes requiere la utilización masiva de métodos numéricos.

Los descriptores principales de los contenidos de esta asignatura son: Solución numérica de ecuaciones no lineales. Solución numérica de sistemas de ecuaciones. Interpolación y ajuste de curvas. Aproximación de funciones. Derivación e integración numéricas. Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Esta asignatura se puede englobar dentro de una materia general denominada Métodos Matemáticos de la Física en la que el denominador común es el estudio de métodos matemáticos relevantes para la solución de problemas en Física. Debido a la complejidad e intensidad de los cálculos, en la mayoría de estos métodos o técnicas numéricas es necesario el uso del ordenador. 

Esta asignatura tiene relación con las asignaturas básicas de matemáticas de un Grado en Ciencias como son el Álgebra, el Análisis Matemático, la Física Computacional, los distintos Métodos Matemáticos (I, II, III, IV), la Física Matemática o los Sistemas Dinámicos.

Considerando que el estudiante tiene ya alguna base en física computacional, en este curso se va a prestar especial interés al contenido práctico de los métodos numéricos y a la implementación de los mismos, haciendo uso de los programas y lenguajes de programación que normalmente se utilizan en el ámbito de la física y las matemáticas (programas de cálculo simbólico y lenguajes de programación) con los que ya el estudiante se presupone iniciado.

Para exhibir la relevancia de estos métodos se aplicarán a la resolución de problemas de interés en Física Médica, lo que nos permitirá trabajar con diferentes técnicas de computación e introducir importantes conceptos que serán estudiados en detalle a lo largo de este Máster.

Los conocimientos sobre física computacional adquiridos después del curso serán de gran utilidad para otras asignaturas del Máster así como para el Trabajo Fin de Máster, no sólo a nivel teórico, sino también a nivel práctico.

Esta asignatura puede contribuir al futuro perfil profesional y/o investigador del estudiante en las siguientes líneas:

1) Resolución de problemas complejos y desarrollo de pensamiento crítico y habilidades analíticas: En esta asginatura se aprende a abordar problemas físicos y matemáticos complejos utilizando métodos numéricos y computacionales. Además, se requiere un enfoque analítico y crítico. Esta capacidad para resolver problemas complejos es esencial en muchas áreas, desde la investigación científica hasta el desarrollo de tecnologías innovadoras en la industria. Esta asignatura permite al estudiante desarrollar estas habilidades al enfrentarse a desafíos complejos y al analizar los resultados obtenidos a través de métodos computacionales.

2) Flexibilidad para adaptarse a diferentes contextos y herramientas: Al trabajar con una variedad de métodos numéricos y herramientas de programación, los estudiantes adquieren la capacidad de adaptarse a diferentes entornos de trabajo y tecnologías emergentes. Esta flexibilidad es crucial en el mundo actual, donde la tecnología y las metodologías están en constante evolución.

3) Aplicaciones en investigación, desarrollo tecnológico y preparación para carreras interdisciplinarias: Esta asignatura proporciona una base sólida en computación y análisis numérico que es relevante para una variedad de disciplinas científicas y técnicas. Los conocimientos adquiridos son aplicables en muchos campos, incluyendo, entre otros, la física teórica, la nanotecnología, la biología computacional, la medicina y la salud enfocadas a la detección de enfermedades (la ecografía médica, la resonancia magnética, la terapia de ultrasonido, etc.).

4) Desarrollo de proyectos de investigación independientes: A través de proyectos y ejercicios prácticos, los estudiantes tienen la oportunidad de aplicar los conocimientos teóricos adquiridos en la asignatura sobre problemas reales. Esto fomenta el desarrollo de la autonomía, la creatividad y la capacidad para llevar a cabo investigaciones independientes, habilidades, todas ellas que son esenciales para una carrera exitosa en la investigación científica.

5) Desarrollo de habilidades computacionales avanzadas: En la era digital actual, contar con habilidades sólidas en computación es fundamental en una variedad de campos científicos y técnicos. Tras el estudio de esta asignatura el estudiante habrá profundizado en la programación de algoritmos, habrá adquirido mayor destreza en el uso de herramientas y paquetes de software informático de cálculo numérico y simbólico tipo Maxima/Octave/Maple/Mathematica/Matlab y habrá invertido un tiempo importante de experiencia y manejo de los mismos. Esta asignatura proporciona a los estudiantes la oportunidad de desarrollar estas habilidades avanzadas que son altamente valoradas en el mundo laboral y en la investigación académica.

6) Competitividad en el mercado laboral: Los estudiantes con habilidades y destrezas computacionales contrastadas son altamente demandados en la industria y en el sector académico y eso constituye una ventaja competitiva en el mercado laboral.

La asignatura de Métodos Numéricos (21153225) de primer curso del Máster en Física Médica tiene 6 créditos ECTS. Esto equivale aproximadamente a unas 150 horas de estudio en el cuatrimestre (16 semanas), es decir, aproximadamente una dedicación por parte del estudiante de unas diez horas de trabajo por semana. Para afrontar con éxito la asignatura será necesario disponer de este tiempo de dedicación semanal.

Al máster en Física Médica puede acceder cualquier estudiante que esté en posesión de un título de graduado o licenciado en Física, Química, Matemática, Biología, Farmacia o Medicina; cualquier titulación de Ingeniería Técnica o Superior, o cualesquiera estudios del ámbito de las ciencias en los que la Física y/o la Medicina sean una parte de los estudios cursados. En ese sentido, se presupone que el estudiante que se matricula en la asignatura tiene una base mínima en Física y Matemáticas, al nivel correspondiente de las asignaturas de un primer curso de un Grado en Ciencias (véase, por ejemplo, los contenidos de esas asignaturas en el Grado en Física de la UNED). En ese sentido, antes de abordar esta asignatura es recomendable revisar y refrescar todos estos conceptos.

Como el objetivo de la asignatura es obtener soluciones a problemas que tienen una difícil solución analítica y aproximar conjuntos de datos por funciones analíticas, es necesario un conocimiento previo de dichos problemas. Por lo tanto, es necesario conocer la teoría de funciones analíticas y su representación gráfica, tener nociones básicas de cálculo diferencial e integral, del cálculo de máximos y mínimos así como tener una base sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Además es necesario haber tenido contacto previo con espacios vectoriales y aplicaciones lineales, matrices y determinantes.

Estos temas constituyen parte del contenido de las asignaturas Complementos Matemáticos de la Física Médica I y II y Física Matemática que se estudian también en el Máster en Física Médica. Se puede además acudir a repasar las asignaturas básicas de un Grado en Física como Álgebra y Análisis Matemático I y II. Para los conocimientos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias se necesitaría recordar los contenidos de Métodos Matemáticos I.

En esta asignatura se prevé la consulta de material en inglés (artículos científicos, fuentes externas, etc.).

Por último, recordamos que esta asignatura es eminentemente práctica y requiere el uso generalizado de herramientas de computación. Para que pueda poner en práctica los métodos estudiados y comprobar su utilidad en problemas concretos, es muy aconsejable que el alumno disponga de un ordenador, tenga cierto manejo del mismo, sea capaz de instalar programas sencillos y conozca alguno de los lenguajes de programación más usuales. El nivel requerido en este aspecto es el desarrollado en una asignatura básica de un Grado en Física como puede ser la de Física Computacional I. Aunque en la asignatura de Métodos Numéricos hay libertad para trabajar en cualquier lenguaje de programación o software de cálculo simbólico, es recomendable conocer o tener cierta soltura en el manejo de alguno de ellos: C, C++, FORTRAN, python, Mathematica, octave, Maple, Matlab, etc.

Como se indica en el apartado "Metodología" de esta Guía, el Curso Virtual es el instrumento fundamental para la tutorización y seguimiento del aprendizaje. 

El curso virtual será la principal plataforma de comunicación entre el Equipo Docente y el estudiante. A través del mismo, el Equipo Docente propondrá material de estudio, problemas resueltos, pruebas de evaluación e informará de los cambios, novedades, así como de cualquier otro aspecto sobre la asignatura que estime oportuno. Del mismo modo, el estudiante encontrará en el curso las herramientas necesarias para plantear al Equipo Docente cualquier duda relacionada con la asignatura y hacer entrega de sus trabajos. Por consiguiente, es imprescindible que todos los alumnos matriculados utilicen el curso virtual para el seguimiento de la asignatura.

No obstante, el estudiante también podrá realizar consultas al Equipo Docente a través del correo, teléfono y presencialmente en los horarios establecidos para estas actividades. Los datos personales de contacto del Equipo Docente son:

Dra. Dña Mar Serrano Maestro (Coordinadora de la asignatura)
e-mail: mserrano@fisfun.uned.es
Tel.: 91 398 7126
Departamento de Física Fundamental. Despacho 2.01 Biblioteca Central UNED (Senda del Rey 5, 28040 Madrid)
Horario de atención al estudiante: miércoles lectivos, de 12:00 a 14:00h  y de 15:00 a 17:00h

Nota importante: Las necesidades del servicio pueden exigir cambios en la composición de los Equipos docentes durante el curso académico. En cualquier caso la información actualizada sobre composición del Equipo docente es la que se recoge en el apartado "Equipo Docente" de la presente Guía.

COMPETENCIAS BÁSICAS

CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación

CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio

CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios

CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades

CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

COMPETENCIAS GENERALES

CG01 - Adquirir la capacidad de comprensión de conocimientos y aplicación en la resolución de problemas

CG02 - Desarrollar capacidad crítica, de evaluación, creativa y de investigación

CG03 - Adquirir capacidad de estudio, de autoaprendizaje, de organización y de decisión

CG04 - Dominar las habilidades y métodos de investigación relacionados con el campo de estudio

CG05 - Adquirir la capacidad de detectar carencias en el estado actual de la ciencia y tecnología

CG06 - Desarrollar la capacidad para proponer soluciones a las carencias detectadas

CG07 - Desarrollar la capacidad para proponer y llevar a cabo experimentos con la metodología adecuada, así como para extraer conclusiones y determinar nuevas líneas de investigación

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

CE05 - Desarrollar la habilidad y destreza necesarias en la experimentación física para aplicar sus conocimientos físicos, teóricos y prácticos en la física médica

CE06 - Ser capaz de intercambiar información y responder a las necesidades expresadas por profesionales biomédicos, dentro de sus competencias como físico médico

Conocimientos

- Entender la relación entre los métodos de solución de ecuaciones y la representación gráfica de las funciones analíticas.

- Entender el fundamento de los métodos iterativos y cuáles son sus condiciones de aplicación.

- Saber extender los métodos válidos para la solución de una ecuación al caso de un sistema de ecuaciones.

- Conocer cuáles son los polinomios ortogonales más importantes y aprender a valorar su adecuación a diferentes problemas de aproximación y ajuste de curvas.

- Conocer los métodos básicos de descomposición de matrices.

- Conocer las diferencias entre métodos multipaso y métodos de Runge-Kutta para la integración de ecuaciones diferenciales ordinarias.

- Entender la combinación de métodos explícitos e implícitos en un método predictor-corrector.

- Conocer las condiciones de aplicabilidad de los métodos numéricos y los orígenes de los errores cometidos en su aplicación.

- Entender la convergencia y la estabilidad de los métodos numéricos.

- Entender la relación entre sistemas continuos y sistemas discretos.

- Adquirir conceptos de análisis numérico de aplicación en la física computacional.

- Aprender a usar herramientas informáticas en el contexto de la matemática aplicada.

Destrezas

- Ser capaz de ajustar funciones a datos experimentales.

- Resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.

- Poder estimar cotas para los valores propios de una matriz.

- Obtener expresiones para derivadas de funciones a partir de operadores simbólicos y de polinomios interpolantes.

- Escoger los métodos de integración numérica más adecuados a los comportamientos de las funciones a integrar.

- Valorar las ventajas e inconvenientes de los métodos multipaso y los métodos Runge-Kutta aplicados a diferentes tipos de ecuaciones diferenciales.

- Ser capaz de discretizar un sistema continuo.

- Estimar cotas de error en términos del paso de discretización.

- Estimar el orden de magnitud del error cometido en una solución numérica.

- Ser capaz de modelizar computacionalmente un problema físico sencillo e implementar el modelo en el ordenador.

Para el trabajo autónomo y la preparación de esta asignatura, los estudiantes deberán disponer del texto de referencia base que cubre ampliamente el temario de la asignatura y que será una herramienta muy útil en su futuro profesional o investigador.

La metodología de la asignatura está basada en la enseñanza a distancia con el apoyo de la plataforma educativa virtual de la UNED, Ágora. El estudiante recibirá las orientaciones, el material complementario y el apoyo del Equipo Docente a través de las herramientas proporcionadas por la plataforma del curso virtual.

Además, el Equipo Docente propondrá actividades orientadas a afianzar los conocimientos mediante su puesta en práctica mediante la aplicación de los métodos estudiados sobre problemas variados de interés en Física Médica.

Cuando sea necesario, el Equipo Docente proporcionará material aclaratorio de la referencia básica, también documentos de trabajo y ampliación, así como un conjunto de ejercicios resueltos de cada tema.

Todos estos materiales, complementarios al libro de texto básico, estarán disponibles en el curso virtual. A través del curso virtual el estudiante también podrá hacer consultas, preguntar sus dudas sobre los contenidos de la asignatura y transmitir sus inquietudes tanto al Equipo Docente como a sus compañeros. También podrá contactar con el Equipo Docente a través del correo personal.

El trabajo autónomo del estudiante es esencial para la consecución de los objetivos propuestos en la asignatura. El curso virtual dispondrá de suficientes elementos de ayuda (páginas con información, herramientas para el entrega de tareas, foros de discusión, tablón de noticias, etc.) para ayudar a cumplir los objetivos propuestos.

El desarrollo del curso consiste en la asimilación individual de los contenidos teóricos de cada tema, principalmente haciendo uso de la bibliografía básica y con ayuda del material complementario que se pondrá a disposición de los estudiantes en el curso virtual. Tras haber profundizado en los aspectos teóricos de los contenidos de cada tema, se propondrá a los estudiantes la realización de una tarea o trabajo de desarrollo, en el que tendrán que resolver un problema de física implementando aquellos métodos numéricos que sean relevantes. Se propondrán una serie de trabajos en el curso virtual y se dispondrá de un tiempo suficientemente amplio para que los estudiantes puedan plantear sus dudas en el foro específico y debatir sobre ellas. Una vez el estudiante alcance una solución numérica al problema planteado haciendo uso de herramientas informáticas, programas de cálculo simbólico o cualquier lenguaje de programación, se debe elaborar una memoria individual del trabajo, donde se encuentre un análisis pormenorizado de lo realizado para obtener las soluciones.

Al respecto de la evaluación, al margen de una obligada obtención de los resultados numéricos esperados, será necesario demostrar la correcta asimilación de los contenidos teóricos. Un aspecto relevante será también el análisis de la convergencia de los distintos métodos empleados. Entre los estudiantes, también se fomentará el desarrollo del espíritu científico crítico (siempre en sentido constructivo) a través de la revisión por pares de algunos de los trabajos presentados, previamente anonimizados. 

El trabajo continuo del estudiante a la hora de realizar los trabajos a lo largo del cuatrimestre y las correcciones proporcionadas por el Equipo Docente permitirán un aprendizaje basado en la práctica. 

El libro de texto recomendado para el seguimiento de la asignatura es:

"Análisis Numérico", Richard L. Burden, J. Douglas Faires, ISBN-13: 9786074816631, Editorial Cengage Learning, (9ª Edición), 2012.

Este libro cubre el programa completo de la asignatura Métodos Numéricos.

Cuando sea necesario, el Equipo Docente proporcionará material aclaratorio de la referencia básica, también documentos de trabajo y ampliación, así como un conjunto de ejercicios resueltos de cada tema.

Todos estos materiales, complementarios al libro de texto básico, estarán disponibles en el curso virtual.

Comentario sobre el libro de texto básico recomendado:

Se ha indicado que el libro de texto base es "Análisis Numérico", Richard L. Burden, J. Douglas Faires, ISBN-13: 9786074816631, Editorial Cengage Learning, (9ª Edición), 2012. Alternativamente puede utilizarse cualquiera de las ediciones anteriores a este texto, tanto en su edición en español como en inglés, ya que las diferencias son mínimas. También se puede utilizar la 10ª edición en inglés pero no se recomienda la 10ª edición en español porque faltan contenidos. 

Alternativamente al libro de texto recomendado en la bibliografía básica se pueden utilizar otros libros que cubren todo el contenido de esta asignatura:

• "Análisis Numérico", BURDEN, R. L. y FAIRES, J. D.: ". Grupo Editorial Iberoamérica. Thomson International en México.  7ª Edición, 2002.

(Nota: También puede utilizarse el libro  "Métodos Numéricos", de los mismos autores, editado por Thomson Internacional en México porque las diferencias con el anterior son mínimas: "Métodos Numéricos" (3ª edición), J. Douglas Faires y Richard Burden, Thomson Editores, España, 2004.)

• "Análisis numérico con aplicaciones", GERALD, C. F. y WHEATLEY, P. O.: 6ª edición, Editorial Pearson Educación, Prentice Hall, Méjico, 2000.

Otra bibliografía complementaria:

• HILDEBRAND, F. B.: Introduction to Numerical Analysis, Dover, New York.
• COHEN, A. M.: Análisis Numérico, Ed. Reverté, Barcelona, 1982.
• KINCAID, D. Y CHENEY, W.: Análisis numérico: Las matemáticas del cálculo científico, Addison Wesley Iberoamericana, 1994.

Los estudiantes dispondrán de diversos medios de apoyo al estudio, entre los que se pueden destacar:

• Las bibliotecas de los Centros Asociados, donde el estudiante dispone de la bibliografía básica recomendada y, al menos, de una parte de la bibliografía complementaria recomendada.
• El Curso Virtual. La asignatura se imparte virtualizada, de modo que los estudiantes tienen la posibilidad de entrar en cualquier momento en el curso virtual y establecer contacto con el Equipo Docente de la Sede Central en los foros y a través del correo del curso virtual, así como con sus compañeros. Se recomienda la participación del estudiante en las actividades del curso virtual, donde podrá encontrar información actualizada sobre aspectos relacionados con la organización académica del curso, las pruebas de evaluación continua y el material didáctico complementario para la asignatura. En concreto, el Equipo Docente proporcionará material aclaratorio de la referencia básica, también documentos de trabajo y ampliación, así como un conjunto de ejercicios resueltos de cada tema.

Por otra parte, existen algunos lenguajes de programación de acceso libre (gwbasic, maxima, octave,...) que, por su sencillez, pueden resultar útiles para la resolución de problemas de cálculo numérico y para probar algunos resultados. La Facultad de Ciencias de la UNED ha integrado para descarga un compendio de herramientas informáticas de cálculo y para presentación de trabajos científicos. Puede acceder a información en la página Descarga de software de la Facultad.

Para realizar los trabajos propuestos es necesario hacer uso de algún programa de cálculo simbólico o lenguaje de programación. Si bien existen soluciones comerciales (como Mathematica o Intel Compiler) es recomendable el uso de software libre o gratuito para el desarrollo de los códigos. Algunas de las librerías más comunes en computación permiten resolver directamente muchos de los problemas planteados. Recordamos que el objetivo de la asignatura no es hacer un uso mecánico de estas librerías, sino desarrollar soluciones propias que, eso sí, pueden compararse con los resultados obtenidos con ellas.

C, C++, FORTRAN

Existen compiladores gratuitos para Linux (gcc), MacOS (Xcode) y Windows (Visual Studio). Algunas librerías como GSL o Armadillo hacen más sencillo el trabajo con álgebra matricial. Librerías como LAPACK resuelven directamente muchos de los problemas planteados en los ejercicios, y pueden usarse para comparar los resultados con respecto a los desarrollos propios.

PYTHON

Es posible usar directamente el compilador de python o alguna de las suites de programación  e IDE más usuales como anaconda, spyder o scipy. Librerías como matplotlib, numpy o pandas pueden facilitar también el trabajo de programación.

PROGRAMAS DE CÁLCULO SIMBÓLICO Y CÁLCULO NUMÉRICO

Existen programas como maxima u octave orientados al cálculo simbólico que pueden resultar menos complejos que la programación de alto nivel. Estos programas (además de los programas de pago Mathematica o Maple) resuelven con diversos comandos la mayor parte de los problemas planteados, por lo que pueden usarse para comparar las soluciones propias desarrolladas por los estudiantes. 

También la UNED oferta a los estudiantes una versión gratuita de Maple. Maple es un programa matemático de propósito general capaz de realizar cálculos simbólicos, algebraicos y de álgebra computacional.

Matlab es una plataforma de programación y de cálculo numérico utilizada por científicos e ingenieros para analizar datos, desarrollar algoritmos y crear modelos. Su sintaxis está muy orientada al cálculo matricial y que permite la ejecución interactiva de instrucciones. Además de los cálculos de álgebra lineal, y otros cálculos numéricos, facilita la visualización científica de datos (experimentales o resultados de simulaciones), y también permite llevar a cabo cálculos simbólicos a través de un núcleo Maple. Matlab es un sistema comercial, al que los estudiantes tendrán acceso mediante una licencia “campus-wide” adquirida por la UNED. Los estudiantes tendrán la posibilidad tanto de instalárselo en sus ordenadores personales como de usarlo a través de la aplicación web de Matlab-online.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

gnuplot es un programa muy versátil para la representación de datos. Python, maxima y octave permiten también la representación usando funciones o librerías auxiliares. En última instancia, pueden usarse programas de ofimática como LibreOffice, OpenOffice, Excel o Numbers. El programa Easy Java Simulations, también de libre acceso, ofrece posibilidades de representación gráfica de funciones y de integración numérica.