Los métodos numéricos que se estudian en esta asignatura están orientados a la resolución de problemas de ecuaciones diferenciales de segundo orden con condiciones de contorno, problemas de autovalores y problemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

La modelización de muchos problemas físicos se realiza mediante una o varias ecuaciones diferenciales acompañadas de condiciones de contorno. Por otra parte, muchas de las ecuaciones fundamentales de la física, como son la ecuación del calor, la ecuación de Schrödinger, la ecuaciones de Maxwell, etc. son ecuaciones en derivadas parciales. En general, no es posible encontrar una solución analítica exacta para estas ecuaciones, por lo que es necesario acudir a los métodos numéricos. Para ver en qué condiciones pueden utilizarse estos métodos y hasta qué punto son precisas las soluciones así obtenidas, hay que entender la base analítica de los mismos. Por ello, el objetivo de la asignatura no es tanto la aplicación mecánica de algoritmos sino el estudio de los propios algoritmos y su adaptación a problemas concretos.

La asignatura Métodos Numéricos Avanzados del máster es una continuación de las asignaturas de Física Computacional que se estudian en el grado en Física. Se presupone que un estudiante de máster estará ya familiarizado con la resolución de ecuaciones no lineales, resolución de sistemas de ecuaciones lineales, análisis de datos, diferenciación e integración numéricas y resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (problemas de condiciones iniciales). En este curso ampliaremos estos conocimientos enfocándonos en el estudio de la resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (problemas de condiciones de contorno) y de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Este tipo de ecuaciones es muy abundante en Física e Ingeniería, por lo que resulta de utilidad su aprendizaje no solo en la vertiente académica, sino también como contribución al desarrollo de un perfil profesional específico en el campo de los fluidos, la mecánica, la ingeniería nuclear, etc.

Esta asignatura forma parte del módulo obligatorio del título y por lo tanto es común para todas las especialidades. Es de carácter básico y resulta de utilidad para prácticamente todas las demás asignaturas del plan de estudios. Las técnicas aquí aprendidas, así como la metodología de trabajo, serán de gran ayuda para cursar satisfactoriamente el título.

Aunque la orientación del Máster es principalmente investigadora también se proporciona una formación adecuada a profesionales de distintos sectores productivos que abarcan desde el sector académico hasta el industrial, pasando por empleos de perfil tecnológico e investigador en agencias estatales y empresas privadas.

La ampliación y actualización que propone esta asignatura perteneciente al módulo obligatorio del Máster, permitirá, por una parte, que los estudiantes interesados en hacer el doctorado puedan sentar unas bases más sólidas en Métodos Numéricos y formarse en nuevas líneas de investigación. Por otra parte, posibilitará que un mayor número de estudiantes con aspiraciones académicas o profesionales aprenda los métodos y algoritmos más utilizados en Física Computacional para ser aplicados a otros campos de interés.

El objetivo de la asignatura es aproximar conjuntos de datos por funciones analíticas u obtener soluciones a problemas que tienen una difícil solución analítica, por lo que es necesario un conocimiento previo de dichos problemas. Desde el punto de vista analítico es necesario conocer la teoría de funciones y su representación gráfica, tener nociones básicas de cálculo diferencial e integral, de cálculo de máximos y mínimos y también conocimiento básico de ecuaciones diferenciales ordinarias. Es importante también tener conocimientos de la física subyacente a los problemas planteados, lo que requiere haber cursado estudios de mecánica clásica, termodinámica, física de fluidos y mecánica estadística. Asimismo es necesario conocer las ideas básicas de la teoría de espacios vectoriales y aplicaciones lineales, matrices y determinantes.

Se presupone que los estudiantes habrán cursado, en la titulación que da acceso al máster, cursos básicos de métodos numéricos o física computacional, por lo que será necesario manejarse con soltura con los conceptos de diferenciación e integración numérica, resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias en problemas de condiciones iniciales (esquemas simples de diferencias finitas y métodos de Runge-Kutta). Será necesario conocer además las técnicas básicas de álgebra matricial (resolución de sistemas de ecuaciones, métodos iterativos, etc.).

Por último, recordamos que esta asignatura es eminentemente práctica y requiere el uso generalizado de herramientas de computación. Aunque hay libertad para trabajar en cualquier lenguaje de programación o software de cálculo simbólico, es imprescindible estar adiestrado en alguno de ellos: C, C++, FORTRAN, python, Mathematica, octave, Maple, etc.

El curso virtual es el instrumento fundamental para la tutorización y seguimiento del aprendizaje. En general, los estudiantes podrán plantear las dudas de contenido en cualquiera de los foros habilitados. No obstante, también es posible realizar consultas al equipo docente a través del correo electrónico, teléfono y presencialmente en los horarios establecidos para estas actividades, solicitando cita previa con suficiente antelación. Los datos de contacto del equipo docente son:

Dr. D. Adolfo Vázquez Quesada (Coordinador de la asignatura)
e-mail: a.vazquez-quesada@fisfun.uned.es
Departamento de Física Fundamental. Despacho 2.00 Biblioteca Central UNED (Senda del Rey 5, 28040 Madrid)
Horario de atención al estudiante: miércoles lectivos, de 10:00 a 14:00

Dr. D. Jaime Arturo de la Torre
e-mail: jatorre@fisfun.uned.es
Tel.: 91 398 71 36
Departamento de Física Fundamental. Despacho 2.01 Biblioteca Central UNED (Senda del Rey 5, 28040 Madrid)
Horario de atención al estudiante: miércoles lectivos, de 11:00 a 13:00 y de 15:30 a 17:30

COMPETENCIAS

CM2 Adquirir los conocimientos necesarios en Física Avanzada para incorporarse a un grupo de investigación o a empresas

CM3 Adquirir la capacidad para abordar y resolver un problema avanzado en la física teórica, computacional o de fluidos, mediante la elección adecuada del contexto teórico, la identificación de los conceptos relevantes y el uso de las técnicas matemáticas que constituyen la mejor aproximación para así llegar a la solución

CM4 Analizar una situación compleja extrayendo cuales son las cantidades físicas relevantes y ser capaz de reducirla a un modelo parametrizado

CM5 Analizar problemas nuevos en sistemas poco conocidos y determinar similitudes y diferencias con modelos de referencia.

CM6 Analizar críticamente resultados experimentales, analíticos y numéricos en el campo de la física avanzada

CONOCIMIENTOS O CONTENIDOS

CN1 Comprender conceptos avanzados de Física y demostrar, en un contexto de investigación científica altamente especializada, una relación detallada y fundamentada entre los aspectos teóricos y prácticos y la metodología empleada en este campo

CN3 Conocer los sistemas operativos y lenguajes de programación y herramientas de computación relevantes en el campo de la física avanzada

CN4 Comprender las propiedades cualitativas de las soluciones a las ecuaciones de la física (sus tipos, estabilidad, singularidades, etc.) y su dependencia de los parámetros que definen un sistema físico.

HABILIDADES O DESTREZAS

H1 Elaborar un trabajo escrito con datos bibliográficos, teóricos y/o experimentales, escribiendo un resumen o articulado en extenso (tal y como se realizan los artículos científicos), formulando hipótesis razonables, composiciones originales y conclusiones motivadas.

H2 Comunicar con claridad y rigor los resultados de un trabajo de investigación de forma oral o escrita

H3 Utilizar bibliografía y fuentes de información especializada, propias del ámbito de conocimiento de la física, manejando las principales bases de datos de recursos científicos

H5 Modelizar sistemas de alto grado de complejidad. Identificar variables y parámetros relevantes y realizar aproximaciones que simplifiquen el problema. Construir modelos físicos que describan y expliquen situaciones en ámbitos diversos

H7 Resolver problemas algebraicos, de resolución de ecuaciones y de optimización mediante métodos numéricos

H8 Modelar y simular fenómenos físicos complejos por ordenador

H9 Elaborar una memoria clara y concisa de los resultados de su trabajo y de las conclusiones obtenidas en el campo de la física avanzada

COMPETENCIAS

CM2 Adquirir los conocimientos necesarios en Física Avanzada para incorporarse a un grupo de investigación o a empresas

CM3 Adquirir la capacidad para abordar y resolver un problema avanzado en la física teórica, computacional o de fluidos, mediante la elección adecuada del contexto teórico, la identificación de los conceptos relevantes y el uso de las técnicas matemáticas que constituyen la mejor aproximación para así llegar a la solución

CM4 Analizar una situación compleja extrayendo cuales son las cantidades físicas relevantes y ser capaz de reducirla a un modelo parametrizado

CM5 Analizar problemas nuevos en sistemas poco conocidos y determinar similitudes y diferencias con modelos de referencia.

CM6 Analizar críticamente resultados experimentales, analíticos y numéricos en el campo de la física avanzada

El curso se impartirá a través de la plataforma educativa virtual aLF, con la metodología propia de la educación a distancia. El trabajo autónomo del estudiante es esencial para la consecución de los objetivos propuestos en la asignatura. El curso virtual dispondrá de suficientes elementos de ayuda (páginas con información, herramientas para el entrega de tareas, foros de discusión, tablón de noticias, etc.) para ayudar a cumplir los objetivos propuestos.

El desarrollo del curso consiste en la asimilación individual de los contenidos teóricos de cada tema, principalmente haciendo uso de la bibliografía básica y con ayuda del material complementario que se pondrá a disposición de los estudiantes en el curso virtual. Una vez profundizado en los aspectos teóricos del contenido de cada tema, se propondrá a los estudiantes la realización de una tarea o trabajo de desarrollo, en el que tendrán que resolver un problema de física implementando aquellos métodos numéricos que sean relevantes. Se propondrá un ejercicio en el curso virtual y se dispondrá de un tiempo suficientemente amplio para que los estudiantes puedan debatir entre ellos en un foro específico, se alcance una solución numérica al problema planteado haciendo uso de cualquier lenguaje de programación y se elabore una memoria individual del trabajo, donde se encuentre un análisis pormenorizado de lo realizado para obtener las soluciones.

Al respecto de la evaluación, al margen de una obligada obtención de los resultados numéricos esperados, será necesario demostrar la correcta asimilación de los contenidos teóricos. En ese sentido es esencial que los estudiantes elaboren sus propias rutinas de programación, evitando utilizar algoritmos ya implementados en códigos de programación o en programas de cálculo simbólico. Un aspecto relevante será también el análisis de la convergencia de los distintos métodos empleados, así como el estudio de la robustez de los métodos de resolución.

Los principales libros de estudio son:

Richard Burden y J. Douglas Faires, Análisis Numérico (9ª edición), Cengage Learning Editores, México, 2012. Alternativamente puede utilizarse cualquiera de las ediciones anteriores a este texto, tanto en su edición en español como en inglés, ya que las diferencias son mínimas (la 10ª edición en inglés es también válida, pero no la 10ª edición en español dado que ha reducido sustancialmente los contenidos). A petición de los estudiantes podrá proporcionarse una tabla de equivalencias entre apartados de una y otra edición.

G. D. Smith, Numerical solution of partial differential equations: Finite difference methods, (3ª edición) Ed. Oxford, Clarendon Press, 1992.

Curtis F. Gerald y Patrick O. Wheatley, Análisis Numérico con Aplicaciones (Sexta edición), Prentice Hall, Pearson Education, México, 2000. Alternativamente puede utilizarse cualquiera de las ediciones anteriores a este texto.

Para realizar los trabajos propuestos es necesario hacer uso de algún programa de cálculo simbólico o lenguaje de programación. Si bien existen soluciones comerciales (como Mathematica o Intel Compiler) es recomendable el uso de software libre o gratuito para el desarrollo de los códigos. Algunas de las librerías más comunes en computación permiten resolver directamente muchos de los problemas planteados. Recordamos que el objetivo de la asignatura no es hacer un uso mecánico de estas librerías, sino desarrollar soluciones propias que, eso sí, pueden compararse con los resultados obtenidos con ellas.

C, C++, FORTRAN

Existen compiladores gratuitos para Linux (gcc), MacOS (Xcode) y Windows (Visual Studio). Algunas librerías como GSL o Armadillo hacen más sencillo el trabajo con álgebra matricial. Librerías como LAPACK resuelven directamente muchos de los problemas planteados en los ejercicios, y pueden usarse para comparar los resultados con respecto a los desarrollos propios.

PYTHON

Es posible usar directamente el compilador de python o alguna de las suites de programación  e IDE más usuales como anaconda, spyder o scipy. Librerías como matplotlib, numpy o pandas pueden facilitar también el trabajo de programación.

PROGRAMAS DE CÁLCULO SIMBÓLICO

Existen programas como maxima u octave orientados al cálculo simbólico que pueden resultar menos complejos que la programación de alto nivel. Estos programas (además de los programas de pago Mathematica o Maple) resuelven con diversos comandos la mayor parte de los problemas planteados, por lo que pueden usarse para comparar las soluciones propias desarrolladas por los estudiantes.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

gnuplot es un programa muy versátil para la representación de datos. Python, maxima y octave permiten también la representación usando funciones o librerías auxiliares. En última instancia, pueden usarse programas de ofimática como LibreOffice, OpenOffice, Excel o Numbers.