Las ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) es uno de los campos de las matemáticas que mas se han desarrollado a lo largo del siglo XX y principios del XXI, motivado principlamente por su aplicaciones a las C.C. Físicas, las C.C. Naturales o la Ingeniería,  las EDPs han sido objeto de estudio desde distintos puntos de vista: Análsis Matemático, Física  Matemática, Análisis numérico o Aplicaciones a problemas de otras ciencias o ingenierías. 

La asignatura se centra en el estudio de las EDPs  desde la perspectiva del análisis matemático. Dicho  análisis nos  permite obtener una serie de propiedades cualitativas de la solución sin necesidad de obtener la solución explícita, algo que en la mayoria de los casos no ha sido posible hasta el momento. 

A lo largo de la asignatura  se utilizan métodos de análisis funcional para el estudio teórico de las ecuaciones, para ello es necesario una serie de conocimientos básicos de análisis funcional.

Para cursar la asignatura es necesario haber cursado los estudios obligatorios  para acceder al Master de Matemátocas Avanzadas. Es altamente recomendable haber cursado  un curso introductorio de "Ecuaciones en Derivadas Parciales" además de tener conociminetos básicos sobre espacios de Hilbert. Estos conocimientos son los adquiridos al cursar  las asignaturas obligatorias del grado en matemáticas    de la UNED  "Introducción a los espacios de Hilbert" y  "Análisis de Fourier  y Ecuaciones en Derivadas Parciales".

A aquellos alumnos que no han cursado asignaturas básicas con conocimientos similares se les recomienda adquirir dichos conocimientos con la lectura de los libros

-Espacios de Hilbert y Análisis de Fourier: los primeros pasos
Autores: Antonio García García y María José Muñoz Bouzo
Ed: Sanz y Torres (2ª Edición Revisada), 2020.

-Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

Autor: Hans F. Weinberger

Ed: Reverté (2ª Edición)

El equipo docente realizará la tutorización fundamentalmente a través del Curso Virtual. El Seguimiento del Aprendizaje se realizará mediante el curso virtual y los foros abiertos para ese fin. En él se habilitarán foros temáticos en los que el alumno podrá plantear sus dudas que estarán visibles para el resto de alumnos.
Tutorización telefónica en los horarios de guardia del profesor de la sede Central.
Tutorización postal.
Tutorización presencial   en la Sede Central en los horarios de guardia del profesor.

Horario de guardia:
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Facultad de Ciencias

COMPETENCIAS BÁSICAS

CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación.
CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.
CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades.
CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

COMPETENCIAS GENERALES

CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster.
CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

CE2 - Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos, las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, y las demostraciones rigurosas de los resultados relevantes.
CE3 - Adquirir la capacidad de enfrentarse con la literatura científica a distintos niveles, desde libros de texto con contenidos avanzados hasta artículos de investigación matemática publicados en revistas especializadas.
CE4 - Saber analizar y construir demostraciones matemáticas, así como transmitir conocimientos matemáticos avanzados en entornos especializados.

Conocimientos

1-Conocimiento de las propiedades básicas de los espacios de Sobolev y otros espacios de funciones, así como sus inclusiones compactas.

2-Formulación variacional de problemas en derivadas parciales.

3-Conocimiento de los teoremas de Lax Milgram y del principio del máximo, descomposición espectral de operadores compactos lineales.

4- Conocimiento de los siguientes teoremas: 

Teorema de Ambrosetti-Rabinovich, Teorema del punto fijo de Browder y Teoremas de la Función implícita e inversa en el contexto de las EDPs.

5-Problemas de evolución: Teorema de Hille Yosida.

Destrezas y habilidades.

1. Construir la formulación variacional de un problema elíptico de segundo orden.
2. Aplicar el Teorema de Lax Milgram a problemas lineales elípticos y el principio del máximo
3. Obtener los autovalores y autofunciones del laplaciano en dominios sencillos
4. Aplicar métodos variacionales y de punto fijo para obtener la existencia de soluciones de problemas no-linelaes.
5. Obtener existencia de soluciones para problemas de evolución mediante el teorema de Hille-Yosida

En cada capítulo se debe llevar a cabo el estudio del siguiente modo: 

-    Estudio del texto o textos base que se indican en cada capítulo

-    Realización de los ejercicios propuestos en los textos base ademas de los que se sugieren en las notas  del profesor.

Gran parte de la formación recae sobre el trabajo personal del alumno con la bibliografía recomendada, básica y complementaria, siempre con la ayuda del profesor de la Sede Central de la UNED, y las tecnologías de ayuda de la UNED. Los contactos con el equipo docente pueden ser: por teléfono, en su horario de guardia, presenciales en la Sede Central, previa cita, por e-mail, correo postal, y el curso virtual. Vamos a hacer hincapié en el curso virtual, porque está siendo una herramienta de enorme utilidad para los estudiantes en los últimos años. En el foro de consultas generales se plantearán preferentemente cuestiones de caracter burocrático, de gestión o de procedimientos de evaluación. En el foro de alumnos se podrán comunicar con los otros alumnos, no es un foro tutelado por lo que los profesores no se responsabilizarán del contenido del mismo. Finalmente se crearán foros de cuestiones concretas: foros específicos de dudas sobre contenidos, que estarán orientados a la profundización y comprensión de los distintos temas. Los alumnos podrán realizar consultas razonadas y concisas sobre el tema.

Haim Brezis - Analisis Funcional, Teoria y Aplicaciones. 1987.  Editorial: Alianza editorial, colección Alianza Universidad.  ISBN: 978-84-206-8088-0

L. Evans - Partial differential equations (Second Edition). 2010 Editorial: Americal Mathematical Society.   ISBN 10:8125080007

J. Ignacio Tello. Apuntes de la asignatura que aparecen en el curso virtual. 

Para los temas 1 y 2  se seguirán las notas del profesor de la asignatura, para el capítulo 3, el libro de  L. Evans - Partial differential equations y para el capítulo 4, el libro de Haim Brezis - Analisis Funcional, Teoria y Aplicaciones. 

Lucio Boccardo y Gisella Croce.  Elliptic Partial Differential Equations: Existence and Regularity of Distributional Solutions. 2013. Editorial De Gryter. Colección:  De Gruyter Studies in Mathematics, 55

David Gilbarg y Neil S. Trudinger. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. (Segunda edicción) 1983 Editorial: Springer Verlag. 

José Ignacio Tello del Castillo. Ecuaciones en derivadas parciales. Editorial Sanz y Torres 2023.

En el curso virtual se encuentran materiales de apoyo al estudio, acceso al foro y las direcciones  de correo electrónicos de los profesores  de la asignatura.