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asignatura master 2024

asignatura master 2025

OPTIMIZACIÓN CONVEXA EN INGENIERÍA (PLAN 2024)

Código Asignatura: 28010394

PRESENTACIÓN Y CONTEXTUALIZACIÓN

OPTIMIZACIÓN CONVEXA EN INGENIERÍA (PLAN 2024)
28010394
2024/2025
TÍTULOS DE MASTER EN QUE SE IMPARTE MÁSTER UNIVERSITARIO EN INVESTIGACIÓN EN TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES
CONTENIDOS
5
125
SEMESTRE 1
CASTELLANO

En esta asignatura se presentan los conceptos y las herramientas teóricas imprescindibles para reconocer, formular y resolver problemas de optimización convexa. Se estudian tanto los con­ceptos teóricos básicos, como alguna aplicación práctica.

La asignatura de Optimización Convexa en Ingeniería constituye un complemento formativo muy re­co­mendable para quienes deseen completar su formación matemática orientada a la inves­tigación en tecnologías industriales, muy particularmente, para quienes hayan escogido el itinerario de Matemática Industrial.

Aunque el término ciencia de datos no empezó a emplearse hasta la década de los ochenta del siglo pasado, veinte años antes el matemático John Tukey expuso en su artículo fundacional The Future of Data Analysis una descripción de la disciplina, que incluiría, entre otras cosas: procedimientos para analizar datos, técnicas para interpretar los resultados de tales procedimientos, formas de planificar la recopilación de datos para hacer su análisis más fácil, más preciso o más exacto, y toda la maquinaria y los resultados de la estadística (matemática) que se aplican al analizar datos.

Si añadimos la disponibilidad de ingentes cantidades de datos, el enorme aumento de la potencia computacional y las prácticamente ilimitadas capacidades para la transferencia y almacenamiento que se han producido en los últimos cincuenta años, podremos hacernos una idea de lo que significa ciencia de datos.

En el mencionado artículo, Tukey dedica un apartado a responder a la pregunta  ¿Por qué la optimización? Es natural y deseable, dice, que un matemático optimice: así, centra la atención en un pequeño subconjunto de todas las posibilidades que, a menudo, conducen a principios generales y alienta a afinar los conceptos, particularmente cuando los óptimos intuitivamente erróneos se consideran como razones para reexaminar conceptos y criterios. Para Tukey, el peligro solo aparece cuando los resultados se toman demasiado en serio. La solución de un problema de optimización sería más una guía que una respuesta.

Entendiendo así la importancia de la optimización, sin tomar sus resultados demasiado en serio, ¿por qué poner el énfasis en la optimización convexa (la que tiene función objetivo y restricciones convexas, en nuestro caso, siempre en dimensión finita)? Tenemos razones intrínsecas (como la elegancia de los resultados matemáticos), extrínsecas (por ejemplo, muchos problemas de aprendizaje automático requieren la minimización de funciones convexas, como pueden ser las normas) y, lo que es más importante, razones puramente prácticas (aunque no encontraremos normalmente soluciones cerradas, como en el ajuste por mínimos cuadrados, existen algoritmos eficientes para resolver la gran mayoría de los problemas convexos).

Para hacernos una idea del tipo de problemas que se tratan en esta asignatura, supongamos que queremos diseñar un algoritmo que permita distinguir fotografías de perros de fotografías de gatos. Un enfoque simple e ingenuo, hasta cierto punto, consistiría en considerar cada fotografía como una matriz (bidimensional, si es en escala de grises o de más dimensiones, si la fotografía es a color); extraeríamos, un poco a ciegas, N características de cada una de esas matrices correspondientes a una gran cantidad de fotos, ya clasificadas como de perros o de gatos (por decir algo, pensemos en la media de los valores de sus celdas, las medias de los valores de sus columnas, la desviación típica de esos valores, etc.). De esa manera, obtendríamos de cada foto un vector de un espacio N dimensional. Si encontramos un hiperplano de ese espacio N dimensional (a fin de cuentas, un vector N dimensional) que separe los puntos correspondientes a perros de los puntos correspondientes a gatos, tendremos un procedimiento muy eficiente para clasificar una nueva fotografía: se convierte en vector N dimensional la nueva fotografía y se introduce en la ecuación del hiperplano (solo sumas y multiplicaciones), de manera que el resultado positivo corresponderá perro y el negativo, a gato.

Simplificando mucho, el proceso de cálculo del hiperplano sería el aprendizaje y se puede formular como un problema de optimización convexa.

De todo lo anterior se deduce que Optimización Convexa en Ingenería desempeña un papel básico en el itinerario de Matemática Industrial. Aunque podemos hallar vínculos con todas las asignaturas del itinerario, la dependencia más robusta se da con las dos asignaturas que mejor la complementan Álgebra Lineal Numérica Aplicada a la Ingeniería y Modelos variacionales en ingeniería. En cierto sentido, la primera precede a Optimización Convexa en Ingeniería, mientras que la segunda la continúa.

Además de la adquisición de unos conocimientos básicos de análisis convexo, se pretende que, al completar el curso, el alumno sea capaz de seguir mejorando su com­petencia matemática de for­ma autónoma y continuada, consultando tanto textos escritos como bases de datos en línea. En este sentido, se procurará generar en los alumnos una actitud positiva hacia la mejora e innovación de los métodos matemáticos que se aplican en la investigación en ingeniería.