La denominación Optimización en Espacios de Banach (Optimization in Banach Spaces) se suele referir al estudio de los problemas de optimización en espacios de dimensión infinita a través de una formulación abstracta formulada mediante espacios normados. Entre otros, su estudio engloba importantes problemas de la matemática aplicada como:  

• Cálculo variacional clásico. 
• Optimización con restricciones dadas por ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales.
• Problemas inversos.
• Problemas de control.
• Optimización vectorial y multiobjetivo.
• Optimización en dimensión finita.

    En este curso se hace una introducción a los principales resultados de esta disciplina como resultados de existencia de extremos, condiciones de optimalidad, teoría de dualidad o regla de multiplicadores, así como los fundamentos matemáticos en análisis funcional, cálculo diferencial en espacios de Banach y analisis convexo necesarios para su estudio. Asimismo se introducirán como aplicación algunos de los modelos concretos más conocidos de esta teoría. 

Es necesario poseer conocimientos a nivel de Grado en Matemáticas o de grados con fuerte contenido en Matemáticas para afrontar con éxito la asignatura. 

La asignatura tiende a ser autocontenida en su temario, el material de estudio incorpora apéndices de recordatorio sobre contenidos teóricos básicos que podrán ser complementados por el Equipo Docente con dicho fin.

Los profesores que forman parte del Equipo Docente de la asignatura actúan de forma coordinada y comparten responsabilidades.

Podrá encontrar información sobre sus actividades investigadoras y docentes en las páginas web personales y en la página web del Departamento de Matemática Aplicada I.

El estudiante podrá ponerse en contacto directo con los profesores en los despachos, teléfonos y correos electrónicos siguientes:

Lidia Huerga  (lhuerga@ind.uned.es)

UNED, ETSI Industriales 
Departamento de Matemática Aplicada 
Despacho 2.51 (Horario de guardia: Martes 10:00-14:00)
Juan del Rosal, 12 
28040 Madrid 

Miguel Sama  (msama@ind.uned.es)

UNED, ETSI Industriales 
Departamento de Matemática Aplicada 
Despacho 2.53 (Horario de guardia: Miércoles 16:00-20:00)
Juan del Rosal, 12 
28040 Madrid 

Fuera de dicho horario también estarán accesibles a través del curso virtual, el correo electrónico y el teléfono, que cuenta con buzón de voz, y también a través del correo postal.

COMPETENCIAS BÁSICAS

CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación.
CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.
CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

COMPETENCIAS GENERALES

CG1 - Adquirir conocimientos generales avanzados en tres de las principales áreas de las matemáticas.
CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster.
CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

CE1 - Saber abstraer las propiedades estructurales de los objetos matemáticos, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales.
Ser capaz de utilizar un objeto matemático en diferentes contextos.
CE2 - Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos, las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, y las demostraciones rigurosas de los resultados relevantes.
CE3 - Adquirir la capacidad de enfrentarse con la literatura científica a distintos niveles, desde libros de texto con contenidos avanzados hasta artículos de investigación matemática publicados en revistas especializadas.

Conocimientos

• Conocer los distintos casos de problemas de optimización con o sin restricciones.
• Conocer las herramientas y resultados básicos en el análisis funcional de espacios de Banach para el estudio de problemas de optimización en dimensión infinita (técnicas de dualidad, reflexividad, teoremas de separación de Hahn-Banach, espacios Lp y de Sobolev, ecuaciones en derivadas parciales).
• Conocer los resultados básicos y técnicas de existencia de mínimo en problemas de dimensión infinita. Teoremas de tipo Weierstrass.
• Conocer las teorías de diferenciación de Gateaux, Hadamard y Fréchet, su relación entre ellas, así como sus resultados básicos de existencia y computación.
• Conocer la teoría de dualidad en problemas de optimización en espacios de dimensión infinita, la definición del problema dual asociado y los teoremas de dualidad débil y fuerte.
• Conocer los resultados básicos para la obtención de condiciones de optimalidad, en especial las reglas de multiplicadores de Lagrange (condiciones Karush-Kuhn-Tucker) para problemas con restricciones y las condiciones de cualificación más usuales para la verificación de las mismas.
• Conocer algunos de los modelos aplicados de optimización en espacios de Banach de mayor relevancia en Ingeniería y Ciencia, como los problemas con restricciones en ecuaciones diferenciales y problemas multiobjetivo.

Destrezas y habilidades

• Clasificar un problema de optimización, determinando su función objetivo, sus funciones de restricción y su conjunto factible en los espacios adecuados.
• Garantizar la existencia y unicidad de solución para un problema de optimización en espacios de Banach dado.
• Estudiar la diferenciabilidad, y en su caso calcular las derivadas de las funciones objetivo y de restricción de un problema de optimización en espacios de Banach.
• Entender el uso de las técnicas de análisis funcional en las demostraciones de existencia y obtención de condiciones de optimalidad para problemas de optimización en espacios de Banach.
• Formular el problema dual de un problema dado y determinar las condiciones de dualidad débil y fuerte.
• Verificar, y en su caso formular y analizar, las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) para un problema de optimización con restricciones.
• Modelar problemas aplicados de optimización en ingeniería y ciencia como un problema abstracto de optimización en espacios de Banach, en particular problemas con restricciones en ecuaciones diferenciales y multiobjetivo.

La asignatura sigue la metodología de enseñanza a distancia de la UNED con virtualización y tutorización telemática por parte del equipo docente. Una de las características del método es la atención personalizada al estudiante y el seguimiento que se hace de su aprendizaje teniendo en cuenta sus circunstancias personales y laborales.

De forma resumida la metodología docente tiene las siguientes características:

• Está adaptada a las directrices del EEES.
• La asignatura no tiene clases presenciales. Los contenidos teóricos se imparten a distancia, de acuerdo con las normas y estructuras de los diferentes soportes de la enseñanza en la UNED.
• El seguimiento de las actividades propuestas se realiza a través del curso virtual.
• Los estudiantes se pueden comunicar con los profesores del equipo docente a través de foros establecidos en el curso virtual y también por teléfono en los horarios y días señalados por cada uno de los profesores.

Metodología de estudio

La metodología del trabajo de la asignatura se basa en una planificación temporal de las actividades siguiendo un cronograma de estudio que se publicará en el curso virtual de la asignatura a principios del curso.

El equipo docente, atendiendo a dicho cronograma, irá informando a través de los canales de comunicación del curso virtual (Tablón de noticias, foros de estudios, correo electrónico, etc) los contenidos del libro de texto (véase bibliografía básica) a estudiar, se irán colgando los distintos materiales adicionales de estudio (apuntes, vídeos, ejercicios, etc) y las distintas actividades de evaluación a realizar. Asimismo el equipo docente informará de cualquier novedad relativa a la asignatura a través del curso virtual.

Por tanto es esencial que el estudiante realice un seguimiento continuo del curso virtual, que es el principal canal de comunicación entre los estudiantes y el equipo docente, atendiendo a la información y recursos publicados en éste.

El libro de texto de la asignatura es el siguiente 

Título: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization 
Autor: Johanes Jahn.
Editorial: Springer, Autor: Johanes Jahn. 
Ediciones: 3^a edición (2007), 4^a edición (2020).

Los contenidos de las asignaturas siguen básicamente los capítulos de dicho libro, tanto la tercera edición (2007) como la cuarta edición (2020) son válidas para seguir la asignatura. El equipo docente complementará los contenidos con materiales adicionales que se irán colgando en el curso virtual de la asignatura.  

A continuación señalamos otra bibliografía de interés en el estudio de la asignatura. En cuanto al estudio de problemas de optimización con una formulación abstracta en espacios normados destacamos las siguientes referencias:

Luenberger,  D.G. (1997). Optimization by vector space methods, John Wiley & Sons, 

Jahn, J. (2009). Vector optimization. Berlin: Springer.

En cuanto a modelos aplicados en espacios de dimensión infinita siguiendo el enfoque de la asignatura destacamos las siguientes referencias:

Attouch, H., Buttazzo, G., Michaille, G. (2014). Variational analysis in Sobolev and BV spaces: applications to PDEs and optimization. Society for Industrial and Applied
Mathematics.

Gerdts, M. (2011). Optimal control of ODEs and DAEs, Walter de Gruyter

Jahn, J. (2009). Vector optimization. Berlin: Springer.

Troltzsch, F. (2010). Optimal control of partial differential equations: theory, methods, and applications, vol. 112, American Mathematical Soc.

 Fundamentalmente via el curso virtual se publicarán diversos materiales y actividades de apoyo al estudio como:

• Apuntes elaborados por el equipo docente.
• Conferencia on-line (individual o en grupo).
• Biblioteca.
• Recursos electrónicos de distinta naturaleza.
• Manuales.