Esta asignatura es una introducción al análisis y resolución numérica de problemas de optimización de funcionales cuyas restricciones están definidas por una ecuación variacional de cierto tipo. El ejemplo paradigmático serían los problemas de optimización con restricciones dadas por una ecuación en derivadas parciales (EDP), PDE-constrained Optimization en su denominación estándar en inglés, que es una disciplina de gran auge en Matemática Aplicada. Dentro de las posibles aplicaciones se incluyen modelos matemáticos concretos de gran interés como los siguientes:

• Problemas de identificación de parámetros
• Problemas de control óptimo
• Problemas inversos en ecuaciones diferenciales
• Problemas de cuantificación de la incertidumbre

Es una asignatura paralela a la asignatura de Optimización en Espacios de Banach más especificamente centrada en los modelos con restricciones EDP y que permite introducir de manera natural un método estándar de discretización como es el  método de elementos finitos. Incluye una parte práctica para la implementación de dicho método mediante el uso de software específico de computación numérica. 

Es necesario poseer conocimientos a nivel de Grado en Matemáticas o de grados con fuerte contenido en Matemáticas para afrontar con éxito la asignatura. Es aconsejable tener un conocimiento básico de programación a nivel de lo que se puede estudiar en cualquiera de estos estudios.

La asignatura tiende a ser autocontenida en su temario, el material de estudio incorpora apéndices de recordatorio sobre contenidos teóricos básicos que podrán ser complementados por el Equipo Docente con dicho fin.

Los profesores que forman parte del Equipo Docente de la asignatura actúan de forma coordinada y comparten responsabilidades.

Podrá encontrar información sobre sus actividades investigadoras y docentes en las páginas web personales y en la página web del Departamento de Matemática Aplicada I.

El estudiante podrá ponerse en contacto directo con los profesores en los despachos, teléfonos y correos electrónicos siguientes:

Esther Gil  (egil@ind.uned.es)

UNED, ETSI Industriales 
Departamento de Matemática Aplicada 
Despacho 2.39  (Horario de guardia: Miércoles 10:00-14:00)
Juan del Rosal, 12 
28040 Madrid 

Lidia Huerga  (lhuerga@ind.uned.es)

UNED, ETSI Industriales 
Departamento de Matemática Aplicada 
Despacho 2.51 (Horario de guardia: Martes 10:00-14:00)
Juan del Rosal, 12 
28040 Madrid 

Miguel Sama  (msama@ind.uned.es)

UNED, ETSI Industriales 
Departamento de Matemática Aplicada 
Despacho 2.53 (Horario de guardia: Miércoles 16:00-20:00)
Juan del Rosal, 12 
28040 Madrid 

Fuera de dicho horario también estarán accesibles a través del curso virtual, el correo electrónico y el teléfono, que cuenta con buzón de voz, y también a través del correo postal.

COMPETENCIAS BÁSICAS

CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación
CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.
CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

COMPETENCIAS GENERALES

CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster.
CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

CE2 - Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos, las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, y las demostraciones rigurosas de los resultados relevantes.
CE3 - Adquirir la capacidad de enfrentarse con la literatura científica a distintos niveles, desde libros de texto con contenidos avanzados hasta artículos de investigación matemática publicados en revistas especializadas.
CE5 - Adquirir la competencia científica suficiente que facilite la incorporación a grupos activos de investigación.

Conocimientos

• Conocer las herramientas y resultados básicos en el análisis funcional para el estudio de ecuaciones en derivadas parciales elípticas (Espacios de Hilbert. Espacios Lp. Espacios de Sobolev. Dualidad. Fórmulas de Green. Lema Riesz).
• Conocer de manera somera la clasificación general de las ecuaciones en derivadas parciales en tanto a su tipo (Elíptica, Parabólica y de Ondas) como a sus condiciones de frontera (condiciones Neumann o Dirichlet).
• Conocer algunos de los modelos aplicados de optimización con restricciones en ecuaciones en derivadas parciales más importantes en Ingeniería y Ciencia, en particular los problemas de control óptimo y problemas inversos de identificación de parámetros en ecuaciones diferenciales.
• Conocer la formulación variacional de las ecuaciones en derivadas parciales elípticas de segundo orden y sus principales resultados teóricos (existencia/unicidad, soluciones clásicas, regularidad, principio del máximo).
• Conocer los conceptos básicos del método de elementos finitos para ecuaciones en derivadas parciales elípticas de segundo orden.
• Conocer la discretización de un problema de optimización con restricciones variacionales y algunos de los métodos/algoritmos más usuales para su resolución. Comparar estrategias Optimize-then-Discretize versus Dicretize-then-Optimize.
• Conocer las herramientas de programación Fenics y Python para la programación de elementos finitos y resolución de problemas sencillos de optimización con restricciones dadas por ecuaciones variacionales.

Destrezas y habilidades

• Clasificar una ecuación en derivadas parciales por su tipo y condiciones de frontera.
• Ser capaz de razonar la formulación variacional de una ecuación en derivadas parciales elípticas a partir de su formulación fuerte o clásica.
• Entender el uso de las técnicas de análisis funcional, en particular del uso del Lema de Riesz, en la existencia y unicidad de la solución de una ecuación en derivadas parciales elíptica.
• Modelar un problema con restricciones dadas por una ecuación elíptica como un problema de optimización con restricciones variacionales.
• Entender los conceptos matemáticos básicos del método de elementos finitos para ecuaciones elípticas de segundo orden.
• Implementar de manera directa el método de elementos finitos para ecuaciones elípticas de segundo orden en una dimensión.
• Implementar mediante las herramientas Fenics y Python el método de elementos finitos para ecuaciones elípticas de segundo orden en dos y tres dimensiones.
• Reconocer los distintos solvers para la resolución de problemas de optimización discretos mediante las herramientas Python y Fenics,
• Plantear, y resolver mediante Python/Fenics, los problemas discretos para ejemplos concretos de problemas de optimización con restricciones variacionales, en particular problemas inversos de identificación de parámetros y problemas de control óptimo.

La asignatura sigue la metodología de enseñanza a distancia de la UNED con virtualización y tutorización telemática por parte del equipo docente. Una de las características del método es la atención personalizada al estudiante y el seguimiento que se hace de su aprendizaje teniendo en cuenta sus circunstancias personales y laborales.

De forma resumida la metodología docente tiene las siguientes características:

• Está adaptada a las directrices del EEES.
• La asignatura no tiene clases presenciales. Los contenidos teóricos se imparten a distancia, de acuerdo con las normas y estructuras de los diferentes soportes de la enseñanza en la UNED.
• El seguimiento de las actividades propuestas se realiza a través del curso virtual.
• Los estudiantes se pueden comunicar con los profesores del equipo docente a través de foros establecidos en el curso virtual y también por teléfono en los horarios y días señalados por cada uno de los profesores.

Metodología de estudio

La metodología del trabajo de la asignatura se basa en una planificación temporal de las actividades siguiendo un cronograma de estudio que se publicará en el curso virtual de la asignatura a principios del curso.

El equipo docente, atendiendo a dicho cronograma, irá informando a través de los canales de comunicación del curso virtual (Tablón de noticias, foros de estudios, correo electrónico, etc) los contenidos del libro de texto (véase bibliografía básica) a estudiar, se irán colgando los distintos materiales adicionales de estudio (apuntes, vídeos, ejercicios, etc) y las distintas actividades de evaluación a realizar. Asimismo el equipo docente informará de cualquier novedad relativa a la asignatura a través del curso virtual.

Por tanto es esencial que el estudiante realice un seguimiento continuo del curso virtual, que es el principal canal de comunicación entre los estudiantes y el equipo docente, atendiendo a la información y recursos publicados en éste.

La bibliografía básica de esta asignatura consiste en unos apuntes proporcionados por el equipo docente en el curso virtual. 

A continuación señalamos otra bibliografía de interés en el estudio de la asignatura:

Brezis, H. (2011). Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations.  Springer.

De los Reyes, J. C. (2015). Numerical PDE-constrained optimization. Springer.

Hinze, M., Pinnau, R., Ulbrich, M., Ulbrich, S. (2008). Optimization with PDE constraints (Vol. 23). Springer Science & Business Media.

Langtangen, H. P., Logg, A. (2017). Solving PDEs in python: the FEniCS tutorial I. Springer Nature.

Larson, M. G., Bengzon, F. (2013). The finite element method: theory, implementation, and applications (Vol. 10). Springer Science & Business Media.

Troltzsch, F. (2010). Optimal control of partial differential equations: theory, methods, and applications, vol. 112, American Mathematical Soc.

Vogel, C.R. (2002). Computational methods for inverse problems. Society for Industrial and Applied Mathematics.

 Fundamentalmente via el curso virtual se publicarán diversos materiales y actividades de apoyo al estudio como:

• Apuntes elaborados por el equipo docente.
• Conferencia on-line (individual o en grupo).
• Biblioteca.
• Recursos electrónicos de distinta naturaleza.
• Manuales.