Se trata de exponer  algunos resultados importantes en la teoría de  Ramsey sobre coloraciones. Se trata de un campo matemático englobado dentro de la combinatoria.  Parafraseando a varios autores

hay numerosos teoremas en matemáticas que afirman, a grosso modo, que cualquier sistema de un cierto tipo siempre tiene un subsistema grande con más grado de organización que el sistema original.

Ilustremos esto con dos ejemplos:  En una reunión con al menos 2n-1 personas, al menos n entre ellas tienen el mismo sexo.   

El segundo es un poco más complejo: Queremos saber si en un grupo de personas P₁,...,P_n podemos encontrar al menos tres P_k,P_m,P_n que se conocen entre sí, o que ninguna de ellas se conoce entre sí. El ``sentido común'' nos dice que si el grupo es suficientemente grande, esto será así. La cuestión es, primero saber si esto es siempre cierto, y si eso es así, estimar al menor de esos números n.

El ejemplo que acabamos de explicar es un caso particular de  un principio matemático general, denominado Teorema de Ramsey, demostrado por el filósofo y matemático F. P. Ramsey, y que se puede decir es el origen de la teoría de las coloraciones.  El teorema de Ramsey y variaciones de él ha sido muy utilizado tanto en otras áreas de la matemática como, por ejemplo, en informática teórica (estudio de algoritmos) o en teoría de la información.

También se estudiarán resultados tipo Ramsey donde el orden deseado es geométrico o aritmético, como:

• El Teorema de Hales-Jewett.  Coloraciones de palabras. Organización geométrica.

• Teoremas de Van der Waerden y Folkman. Existencia de progresiones aritméticas largas y muchas sumas. Organización aritmética.

Dualizando los resultados, se estudiará el teorema de Ramsey dual.

Hay versiones infinitas de los resultados anteriores, aunque hay que precisar qué se quiere decir por infinita.  De hecho, algunos de los teoremas presentados anteriormente son consecuencia, via un argumento de compacidad, de su versión  infinita: 

• El teorema de Ramsey infinito.
• El teorema de Hindman (versión infinita del resultado de Folkman)

Este resultado tiene una demostración muy elegante utilizando los ultrafiltros idempotentes, otro de los objetivos de este curso.

Como principio general, las versiones infinitas de los resultados implican la finita por un argumento llamado de compacidad, que es otro de los objetivos. 

Existe también  otro tipo de versiones infinitas de los resultados anteriores. Para ilustrarlo mencionaremos el Teorema de Galvin-Prikry. En el teorema de Ramsey se colorean los subconjuntos finitos de cardinalidad exactamente d. ¿Se puede tener un resultado similar cuando se colorean los subconjuntos infinitos de números naturales?   El resultado que buscamos es el siguiente: ¿es cierto que para toda coloración finita de todos los subconjuntos infinitos de naturales  en uno de los colores tenemos un conjunto infinito A y todos sus subconjuntos infinitos? Este resultado es falso en general, aunque la coloración mala es "artificial", al estar construida utilizando el axioma de elección. Sin embargo, el resultado de Galvin y Prikry nos dice que para coloraciones definibles (en este caso, borelianas) el resultado es cierto. 

El curso finaliza analizando una demostración teorema de Galvin-Prikry, y que sirve para introducir los denominados espacios de Ramsey.

El curso es autocontenido, pero   se requieren unos mínimos conocimientos de combinatoria y un poco de topología.

Jueves de 16 a 20 horas.

COMPETENCIAS BÁSICAS

CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación.
CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.
CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.
CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades.
CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

COMPETENCIAS GENERALES

CG1 - Adquirir conocimientos generales avanzados en tres de las principales áreas de las matemáticas.
CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster.
CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

CE1 - Saber abstraer las propiedades estructurales de los objetos matemáticos, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales. Ser capaz de utilizar un objeto matemático en diferentes contextos.  

CE2 - Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos, las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, y las demostraciones rigurosas de los resultados relevantes. 

CE4 - Saber analizar y construir demostraciones matemáticas, así como transmitir conocimientos matemáticos avanzados en entornos especializados.

* Conocimientos:

• Conocer y comprender ciertos conceptos y terminología combinatoria (coloraciones, conjuntos monocromáticos, subespacios combinatorios, ordenación combinatorio vs desorden, notación “flecha”)
• Conocer y comprender las diversas versiones del teorema de Ramsey.
• Conocer y comprender el teorema de Hales-Jewett (ordenación geométrica).
• Conocer y comprender los teoremas de Van der Waerden y Folkman (Organización aritmética).
• Conocer y comprender el teorema dual de Ramsey
• Conocer y comprender las versiones infinitas de los resultados anteriores (en particular el teorema de Galvin-Prikry)
• Conocer y comprender los argumentos de compacidad en este contexto.
• Conocer y comprender los ultrafiltros idempotentes para demostrar resultados sobre coloraciones (en particular el teorema de Ellis)

* Destrezas y habilidades.

• Saber dar diferentes ejemplos de teoremas sobre coloraciones
• Estar familiarizado con las demostraciones por inducción de algunos de los teoremas sobre coloraciones (en particular el teorema de Ramsey o Van der Waerden)
• Familiarizarse y saber utilizar correctamente los ultrafiltros idempotentes para demostrar teoremas sobre coloraciones.
• Saber utilizar diversas técnicas de la teoría descriptiva de conjuntos para demostrar el teorema de Galvin-Prikry sobre coloraciones Borelianas.

La  asignatura  no  tiene  clases  presenciales.  Los  contenidos teóricos se imparten a distancia y de acuerdo con las normas y estructuras de soporte telemático de la enseñanza en la UNED. 

Se organizarán reuniones virtuales periódicas.

Además  de la bibliografía básica mencionada, se seguirán unas notas personales en preparación y que contienen los resultados principales de este curso

Hay diversas notas en la web y en su momento recomendaré algunas de ellas.