Esta asignatura es una introducción a la Geometría Diferencial. En ella se estudian las variedades diferenciables y los principales objetos y técnicas asociados como el espacio tangente, los campos, las formas diferenciales, la diferencial exterior, la integración formas y las métricas riemannianas. 

La geometría diferencial trata de las variedades diferenciables que es la generalización lógica del concepto de curva y de superficie. Este curso es un primer paso en la geometría diferencial, campo de gran amplitud, tanto en conocimientos como en investigación. Esta asignatura es también una iniciación a la geometría riemanniana y la topología diferencial y es importante para estudiar geometría diferencial compleja o geometría algebraica, por poner algunos ejemplos.

Como requisitos necesarios para el estudio de la asignatura se supone que el alumno conoce correctamente el análisis en varias variables, tanto diferencial como integral, la topología general y el álgebra lineal elemental.

Correo electrónico del profesor: jvallejo@mat.uned.es

Teléfono  91 398 7228: martes y jueves de 12:00 a 14:00. 

COMPETENCIAS BÁSICAS

CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación

CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio

CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios

CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades

CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

COMPETENCIAS GENERALES

CG1 - Adquirir conocimientos generales avanzados en tres de las principales áreas de las matemáticas.

CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster.

 CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

CE1 - Saber abstraer las propiedades estructurales de los objetos matemáticos, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales. Ser capaz de utilizar un objeto matemático en diferentes contextos.

CE2 - Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos, las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, y las demostraciones rigurosas de los resultados relevantes.

CE4 - Saber analizar y construir demostraciones matemáticas, así como transmitir conocimientos matemáticos avanzados en entornos especializados.

Objetivo general: Adquirir los conocimientos básicos de la Geometría Diferencial.

Conocimientos:

· Variedades diferenciables.

· Espacios tangente.

· Aplicaciones diferenciables.

· Subvariedades.

· Campos y formas.

· Derivada de Lie.

· Cohomología  de de Rham.

- Orientación de variedades diferenciables.

· Integración de formas

· Teorema de Stokes.

Destrezas:

· Saber reconocer las variedades diferenciables.

· Manejar los conceptos de diferencial y espacio tangente.

· Determinar si una aplicación entre variedades es diferenciable o no.

· Saber reconocer las subvariedades de un variedad diferenciable.

· Manejar correctamente la derivada exterior y la derivada de Lie de una forma.

· Calcular correctamente la integral de una forma.

· Aplicar el Teorema de Stokes para transformar algunas integrales.

Competencias (o Aptitudes):

· Saber plantear y resolver problemas en el contexto de la Geometría Diferencial.

· Estar en condiciones para proseguir estudios más avanzados en Geometría Diferencial tales como geometría riemanniana, conexiones en fibrados o geometría diferencial compleja.

Enseñanza a distancia con la metodología de la UNED.

Cursos virtuales (Enseñanza virtualizada).

Resolución de problemas y ejercicios por parte del alumno (Voluntario)

El material básico del curso se asienta en las notas

“Variedades diferenciales”

de Ángel Montesinos (Universitat de valència), que se pueden descargar gratuitamente de la URL https://www.uv.es/montesin/Apuntes/VarDifMain.pdf, y las notas

"Differentiable Manifolds"

de Nigel Hitchn (Oxford university), disponibles en la URL http://people.maths.ox.ac.uk/~joyce/Nairobi2019/Hitchin-DifferentiableManifolds.pdf