Históricamente el Análisis Funcional tiene sus raices en el estudio de las ecuaciones en derivadas parciales, pero su desarrollo posterior engloba la teoria en un marco mas amplio: el estudio de los espacios de Banach y de los operadores definidos entre ellos. Los logros obtenidos en Análisis Funcional han permitido un avance importante en la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales, lo cual muestra los extrechos lazos que se dan entre ambas teorías. En este curso no se tratarán estos usos, y nos centraremos y nos centraremos en los fundamentos teóricos. Para ello   se abordan algunos de los teoremas mas importantes del análisis funcional como  el teorema de Hahn-Banach, el teorema de Banach-Steinhaus, el teorema de la aplicación abierta, el teorema de la gráfica cerrada y el teorema de representación de Hilbert-Schmidt.

Para abordar el estudio de los espacios de Banach es fundamental utilizar la topología débil que se construye usando los elementos del espacio dual. Para tener una intuición sobre esto, en el espacio de funciones continuas C[0,1] sobre el intervalo unidad, dada una sucesión de funciones continuas (f_n)_n de norma (del supremo) <=1, mientras que la convergencia en norma  es la convergencia uniforme, la convergencia para la topología débil corresponde a la convergencia  puntual. 

Ejemplos destacados de espacios de Banach son los espacios de funciones L_p, los espacios de sucesiones l_{p y} los espacios de Hilbert  a todos los cuales se decicará una parte de este curso. Entre los operadores se hará especial incapié  en los operadores compactos entre espacios de Hilbert por su peculiar representación, y que representan la versión infinito dimensional de las diagonalizaciones de ciertas matrices.

El curso finaliza con una introducción a la teoría de bases de Schauder, los sistemas de coordenadas naturales en espacios de Banach.  

        Para los estudiantes que proceden del grado de matemáticas de la UNED es importante que hayan cursado la asignatura optativa de espacios normados de 4º curso.

Para estudiantes procedentes de otras universidades es importante que hayan conozcan en detalle la topologia usual de Rⁿ y de forma más general los conceptos básicos de topología y de los espacio normados. 

  Jorge López-Abad

Horario de Guardia: Jueves de 16 a 20 horas

Teléfono.- 913987234

Correo electrónico:  abad@mat.uned.es

Despacho 2.95
Departamento de Matemáticas Fundamentales
Facultad de Psicología UNED
c/ Juan  del Rosal, 14
28040 Madrid

COMPETENCIAS BÁSICAS

CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación

CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio

CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios

CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades

CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

COMPETENCIAS GENERALES

CG1 - Adquirir conocimientos generales avanzados en tres de las principales áreas de las matemáticas.

CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster.

 CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

CE1 - Saber abstraer las propiedades estructurales de los objetos matemáticos, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales. Ser capaz de utilizar un objeto matemático en diferentes contextos.

CE2 - Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos, las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, y las demostraciones rigurosas de los resultados relevantes.

CE4 - Saber analizar y construir demostraciones matemáticas, así como transmitir conocimientos matemáticos avanzados en entornos especializados.

       El objetivo principal que se pretende es el de dar a los alumnos una formación avanzada mínima en análisis funcional. 

   Conocimientos.

• Conocer y comprender bien el teorema de Hahn-Banach en sus dos versiones, la analítica y la geométrica. 
• Conocer y comprender bien los otros teoremas fundamentales del análisis funcional: 
  • Teorema de Banach-Steinhaus
  • Teorema de la aplicación abierta
  • Teorema de la gráfica cerrada
• Comprender bien las topologías débiles en espacios normados.
• Comprender bien la reflexividad de un espacio.
• Comprender bien las propiedades fundamentales de los espacios de Lebesgue
• Comprender bien las propiedades fundamentales de los espacios de Hilbert y entender correctamente las diferencias principales con un espacio de Banach arbitrario.
• Conocer y comprender bien los principios básicos de los operadores compactos y en particular el teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos en un espacio de Hilbert.
• Conocer y comprender bien la noción de base de Schauder y su uso para caracterizar la reflexividad.

   Destrezas y habilidades.

 Saber utilizar los anteriores conocimientos en ejemplos particulares. 

 Para alcanzar los resultados de aprendizaje planteados en este curso el estudiante deberá empezar repasando los contenidos teóricos propuestos en el material de apoyo que se facilita a traves de la plataforma virtual, para poder abordar el estudio de los contenidos teoricos del texto base. 

Las dudas y dificultades que el estudiante vaya encontrando serán atendidas por el equipo docente a través de los foros del curso virtual.

Se pondrá a disposición del estudiante unos apuntes propios.

El libro principal es el Brezis que se utiliza para todos los temas, salvo el último, que no está cubierto. Para el  tema de bases se utilizará el Albiac-Kalton (partes de los capítulos 1-3).

  El principal medio de apoyo al estudio es la tutoría virtual que dispone de foros por medio de los cuales el estudiante podrá contactar con el Equipo Docente de la asignatura así como con los demás estudiantes matriculados en el curso.

Otras formas de contactar con el Equipo Docente se detallan en el apartado "horario de atención al estudiante"