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| NOMBRE DE LA ASIGNATURA |
| NOMBRE DE LA ASIGNATURA |
PROCESOS ESTOCÁSTICOS |
| CÓDIGO |
| CÓDIGO |
61024055 |
| CURSO ACADÉMICO |
| CURSO ACADÉMICO |
2023/2024 |
| DEPARTAMENTO |
| DEPARTAMENTO |
ESTADÍSTICA, INVESTIGACIÓN OPERATIVA Y CÁLCULO NUMÉRICO
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| TÍTULO EN QUE SE IMPARTE |
| TÍTULO EN QUE SE IMPARTE |
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GRADO EN MATEMÁTICAS
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| CURSO |
| CURSO |
CUARTO
CURSO
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| PERIODO |
SEMESTRE 1
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| TIPO |
OPTATIVAS |
| Nº ECTS |
| Nº ECTS |
5 |
| HORAS |
| HORAS |
125 |
| IDIOMAS EN QUE SE IMPARTE |
| IDIOMAS EN QUE SE IMPARTE |
CASTELLANO |
El Cálculo de Probabilidades trata básicamente del estudio de una o varias variables aleatorias, de la distribución correspondiente y de sus características; pero, salvo excepciones, el número de variables aleatorias es siempre finito. En contraste con ello, la teoría de Procesos Estocásticos estudia familias infinitas, numerables o no, de variables aleatorias. Normalmente el motivo para ello es el análisis de algún fenómeno aleatorio que se desarrolla y se observa a lo largo del tiempo, el cual puede considerarse dividido en una sucesión de etapas discretas o que transcurre de forma continua. En consecuencia, la descripción se realiza mediante una sucesión Xn de variables aleatorias o bien mediante una familia de ellas Xt , donde t toma valores en un intervalo dado de instantes.
En una primera fase, la teoría debe fundamentar el estudio de los Procesos Estocásticos mediante el análisis de los sucesos a los que se puede atribuir una probabilidad, la manera de llevarlo a cabo y la definición adecuada de su distribución. Son conceptos generales que presentan ciertas dificultades, sobre todo en el caso de tiempo continuo.
Más adelante, la teoría se ocupa de diversas clases especiales de Procesos Estocásticos que verifican propiedades específicas que simplifican y enriquecen su estudio. Entre ellas, destaca el caso de los Procesos Markovianos cuya evolución futura queda determinada por su situación actual, sin que dependa de la evolución en el pasado. Si se supone además que las variables que describen el proceso son variables aleatorias discretas, surge el concepto de Cadena de Markov, con tiempo discreto o continuo. Estas son las que se han elegido como objetivo principal del curso, para que puedan servir de introducción al estudio de otros tipos de Procesos Estocásticos, que no pueden ser incluidos en un curso introductorio. Además, las cadenas de Markov tienen un buen número de propiedades específicas, que se estudiarán con detalle, así como permiten la formulación de multitud de modelos Markovianos útiles en la descripción de fenómenos reales.
En el contexto general del Grado, esta asignatura se encuadra en el cuarto curso y tiene el carácter de optativa.
La teoría de los Procesos Estocásticos es la prolongación natural del Cálculo de Probabilidades y no se introducen en esta asignatura elementos relacionados con la Inferencia estadística ni con las Técnicas de optimización. Sin embargo, forma parte sin duda de los conocimientos básicos de cualquier matemático especializado en el área de Estadística o Investigación Operativa, debido al uso frecuente que se hace en el conjunto de estas disciplinas de los conceptos y resultados propios de los Procesos Estocásticos.
Se requieren fundamentalmente los conocimientos propios del Cálculo de Probabilidades 2, adquiridos en la asignatura correspondiente del tercer curso del Grado; así como la formación básica adquirida en las asignaturas de Análisis Matemático y Álgebra de los primeros cursos del Grado. También se requieren conocimientos de ecuaciones diferenciales lineales en varias dimensiones.
Los alumnos podrán ponerse en contacto con el profesor del equipo docente por teléfono (91 398 78 12) o mediante entrevista personal los lunes lectivos del primer semestre de 10:00 a 14:00 en el despacho 1.93 del edficio de la Facultad de Psicología (calle Juan del Rosal 10, Madrid). También pueden enviar un correo electrónico a tprieto@ccia.uned.es
El período lectivo de la asignatura comprende desde el comienzo del curso académico hasta el último día lectivo antes del comienzo de las Pruebas Presenciales de febrero. Fuera de este período, no se atenderá ninguna duda de contenido de la asignatura. Asimismo, tampoco se atenderán dudas durante las vacaciones de Navidad. A tal efecto, los foros de consultas de la asignatura permanecerán cerrados durante las vacaciones de Navidad y a partir del final del período lectivo del primer semestre, manteniéndose abierto únicamente el foro de estudiantes.
| CE1 - Razonamiento crítico, capacidad de evaluar trabajos propios y ajenos |
| CEA1 - Destreza en el razonamiento y capacidad para utilizar sus distintos tipos, fundamentalmente por deducción, inducción y analogía |
| CEA2 - Capacidad para tratar problemas matemáticos desde diferentes planteamientos y su formulación correcta en lenguaje matemático, de manera que faciliten su análisis y resolución. Se incluye en esta competencia la representación gráfica y la aproximación geom |
| CEA3 - Habilidad para crear y desarrollar argumentos lógicos, con clara identificación de las hipótesis y las conclusiones |
| CEA4 - Habilidad para detectar inconsistencias de razonamiento ya sea de forma teórica o práctica mediante la búsqueda de contraejemplos |
| CEA6 - Habilidad para extraer información cualitativa a partir de información cuantitativa |
| CEA7 - Habilidad para presentar el razonamiento matemático y sus conclusiones de manera clara y precisa, de forma apropiada a la audiencia a la que se dirige, tanto en la forma oral como escrita |
| CED1 - Comprensión de los conceptos básicos y familiaridad con los elementos fundamentales para el estudio de las Matemáticas superiores |
| CED2 - Destreza en el razonamiento cuantitativo, basado en los conocimientos adquiridos |
| CEP4 - Resolución de problemas |
Esta asignatura proporciona al estudiante la formación sustentada en los siguientes resultados del aprendizaje:
- Conocer el concepto general de Proceso Estocástico, de su distribución y de los datos necesarios para determinarla.
- Distinguir si un Proceso Estocástico cumple la condición de Markov de independencia entre el futuro y el pasado, cuando se conoce el presente.
- Saber analizar las diversas propiedades de las Cadenas de Markov
- en tiempo discreto y
- en tiempo continuo.
- Aplicar las técnicas de Procesos Estocásticos y, más concretamente, de Cadenas de Markov a la formulación de modelos estocásticos y markovianos de fenómenos reales.
Capítulo 1. Procesos Estocásticos
Capítulo 2. Procesos Markovianos
Capítulo 3. Cadenas de Markov en tiempo discreto
Capítulo 4. Cadenas de Markov en tiempo continuo
La primera parte, sobre Conceptos generales, debe ser leída con atención a fin de adquirir las ideas fundamentales sobre el tratamiento de los Procesos Estocásticos en las circunstancias más generales posibles; así como las nociones básicas que intervendrán al tratar las Cadenas de Markov.
El estudio de la segunda parte, que incluye la teoría de las Cadenas de Markov en tiempo discreto y en tiempo continuo, debe ser estudiada con detenimiento, no sólo para entender sus propiedades características, sino para ser capaz de formular modelos prácticos y aprender a utilizar dichas propiedades en el contexto del modelo considerado. Para este fin, es importante examinar detalladamente los ejemplos y ejercicios tratados en el texto y dedicarle una parte sustancial del esfuerzo dedicado a cada uno de estos dos temas; ello supone, además, el principal procedimiento de autoevaluación que asegure un dominio suficiente de cada técnica estudiada. Por el contrario, los métodos de demostración de los resultados son accesorios, en el sentido de que sólo son útiles en la medida que aclaran el contenido de cada afirmación.
A la hora de seguir el plan de trabajo, el alumno debe tener en cuenta las siguientes indicaciones suplementarias.
- Los Capítulos 1 y 2, sobre conceptos generales, tienen la finalidad de fijar el marco global de los Procesos Estocásticos, dentro del cual se encuadran las Cadenas de Markov de los Capítulos 3 y 4, que constituyen el objetivo fundamental del curso. Por tanto, es suficiente un conocimiento básico de los dos capítulos iniciales, prescindiendo incluso en primera lectura de las secciones 1.8 y 2.6.
- La exposición de las Cadenas de Markov, en los Capítulos 3 y 4, debe seguirse con mayor detenimiento. Sin embargo, las técnicas de demostración de los enunciados (marcadas entre los símbolos de tres puntitos en el comienzo y un cuadrado en el final) no son lo más relevante, sino su utilización práctica. De manera que es importante comprender los conceptos expuestos, entender los resultados obtenidos y, sobre todo, aprender a utilizarlos. A tal fin el texto contiene, en estos capítulos, numerosos ejemplos y ejercicios a los que es conveniente prestar mucha atención.
- En el Capítulo 3 puede prescindirse de las secciones 3.9.1 y 3.9.2 y de las aplicaciones de la sección 3.13, así como prestar menor atención a las secciones 3.10 y 3.12.2.
- En el Capítulo 4, la sección 4.4 tiene menor importancia práctica que las restantes; en cambio, las aplicaciones de la sección 4.7 aportan ejemplos importantes.
- Los Apéndices A y B incluyen aspectos –teóricamente muy relevantes– que deben consultarse en la medida en que sea necesario para aclarar alguna duda teórica. En cambio, el Apéndice C contiene un resumen acerca de las ecuaciones recurrentes que resulta de utilidad en numerosos ejemplos y ejercicios.
TIPO DE PRUEBA PRESENCIAL
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| Tipo de examen |
| Tipo de examen |
Examen de desarrollo |
| Preguntas desarrollo |
| Preguntas desarrollo |
5 |
| Duración |
| Duración |
120 (minutos) |
| Material permitido en el examen |
| Material permitido en el examen |
En el examen se podrá utilizar calculadora (esta podrá ser programable o no) y el libro de texto (bibliografía básica) de la asignatura. |
| Criterios de evaluación |
| Criterios de evaluación |
El alumno realizará la Prueba Presencial (examen) en algún Centro Asociado de la UNED, en las convocatorias de febrero (ordinaria) o de septiembre (extraordinaria) de cada curso académico. El examen constará de un problema de carácter práctico dividido en cinco preguntas. Este problema será similar a los que el alumno ha encontrado en los ejemplos y ejercicios del libro de texto. La duración del examen será de dos horas, y el alumno podrá realizar el examen ayudado de una calculadora y del libro de texto de la asignatura. Las respuestas que dé el alumno deben estar correctamente redactadas (por ejemplo, no es admisible que la respuesta a un ejercicio sea una sucesión de símbolos matemáticos y ecuaciones, sin ninguna frase explicativa); se valorará asimismo la claridad de la presentación y el uso correcto de la notación matemática. Se podrá restar puntos de la calificación por faltas de ortografía graves, mala redacción, mala presentación, o por uso incorrecto de la notación matemática. Las respuestas tendrán espacio tasado: una página (una cara de una hoja) por pregunta, debiendo el alumno seleccionar la información que proporcionará en su respuesta. |
| % del examen sobre la nota final |
| % del examen sobre la nota final |
100 |
| Nota mínima del examen para aprobar sin PEC |
| Nota mínima del examen para aprobar sin PEC |
5 |
| Nota máxima que aporta el examen a la calificación final sin PEC |
| Nota máxima que aporta el examen a la calificación final sin PEC |
10 |
| Nota mínima en el examen para sumar la PEC |
| Nota mínima en el examen para sumar la PEC |
5 |
| Comentarios y observaciones |
| Comentarios y observaciones |
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PRUEBAS DE EVALUACIÓN CONTINUA (PEC)
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| ¿Hay PEC? |
| ¿Hay PEC? |
Si |
| Descripción |
| Descripción |
Para realizar esta prueba, el alumno tiene que proponer un problema que sea una variante de alguno de los ejemplos o ejercicios resueltos en el libro, indicando explícitamente de cuál proviene, y resolver de manera rigurosa y razonada ese problema. Por variante se entiende una modificación no trivial del enunciado del problema de partida. La resolución del problema que proponga el alumno podrá basarse en el método de resolución del problema de partida, incorporando los elementos adicionales necesarios. El alumno entregará las Pruebas de Evaluación Continua en el curso virtual subiendo un archivo en formato pdf. La entrega de la Prueba estará abierta hasta el día 19 de enero de 2024. No hay entrega de Prueba de Evaluación Continua para la convocatoria extraordinaria de septiembre. |
| Criterios de evaluación |
| Criterios de evaluación |
Terminado el plazo de entrega de las Pruebas de Evaluación Continua, el Equipo Docente calificará el problema enviado por el alumno con una nota comprendida entre cero y dos puntos. La nota de la Prueba de Evaluación Continua se sumará a la nota de la Prueba Presencial siempre que esta última sea mayor o igual que cinco. Esto se hará tanto en la convocatoria ordinaria (febrero) como en la convocatoria extraordinaria (septiembre), en caso de que el alumno resultara suspenso o no presentado en febrero. También se guardará la nota de la Prueba de Evaluación Continua de cursos anteriores a los alumnos repetidores. En este caso, el alumno deberá ponerse en contacto con el Equipo Docente para informarle de esta circunstancia. |
| Ponderación de la PEC en la nota final |
| Ponderación de la PEC en la nota final |
Hasta dos puntos |
| Fecha aproximada de entrega |
| Fecha aproximada de entrega |
19/01/2024 |
| Comentarios y observaciones |
| Comentarios y observaciones |
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OTRAS ACTIVIDADES EVALUABLES
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| ¿Hay otra/s actividad/es evaluable/s? |
| ¿Hay otra/s actividad/es evaluable/s? |
No |
| Descripción |
| Descripción |
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| Criterios de evaluación |
| Criterios de evaluación |
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| Ponderación en la nota final |
| Ponderación en la nota final |
0 |
| Fecha aproximada de entrega |
| Fecha aproximada de entrega |
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| Comentarios y observaciones |
| Comentarios y observaciones |
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¿Cómo se obtiene la nota final?
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La calificación final del alumno se determina según la siguiente regla. - La Prueba Presencial será calificada con una nota comprendida entre cero y diez puntos.
- Si la calificación de la Prueba Presencial (en convocatoria ordinaria o extraordinaria) es menor que cinco, entonces la calificación del alumno será de suspenso.
- Si la calificación de la Prueba Presencial (en convocatoria ordinaria o extraordinaria) es mayor o igual que cinco, entonces la nota final del alumno se determinará sumando las notas de la Prueba Presencial y de la Prueba de Evaluación Continua, con un máximo de diez puntos.
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Título: Procesos Estocásticos.
Autores: Ricardo Vélez Ibarrola - Tomás Prieto Rumeau.
Editorial UNED, 2013.
ISBN: 978-84-362-6700-6
Ante cualquier duda sobre la asignatura, puede consultar al equipo docente. La UNED pone a disposición de los alumnos diversos medios de apoyo, como el curso virtual en el que se puede entrar en contacto con otros estudiantes, las bibliotecas de los Centros Asociados, etc.
