Esta asignatura busca extender los conocimientos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) adquiridos en su formación de grado y presentar algunos elementos destacados de la teoría de sistemas dinámicos.

Para poder seguir la asignatura con comodidad se recomienda haber cursado asignaturas introductorias a las ecuaciones diferenciales ordinarias y a las funciones de variable compleja de nivel universitario.

La atención al estudiante se realizará fundamentalmente a través del curso virtual en donde existen diversas herramientas de comunicación. Además, el estudiante podrá ponerse en contacto con el equipo docente mediante correo electrónico, teléfono¹ (que cuenta con buzón de voz) o acudiendo a las dependencias del departamento:

Daniel Franco Leis

Tfno: 913988134

dfranco@ind.uned.es

Despacho 2.47

Departamento de Matemática Aplicada I

Como norma general, las consultas sobre contenidos o funcionamiento de la asignatura se plantearán en los foros del curso virtual de modo que todos los estudiantes puedan beneficiarse de la respuesta ofrecida por el equipo docente. Para cuestiones que carezcan de interés para otros estudiantes, el método recomendado para ponerse en contacto con el equipo docente es el correo electrónico.

¹ Los mensajes en el buzón de voz de los números arriba indicados deben de incluir el nombre del estudiante, la asignatura y la titulación, y un número de teléfono de contacto.

² Situado en la Ciudad Universitaria de Madrid. La dirección postal es: ETSI Industriales UNED, c/ Juan del Rosal, 12, 28040. Madrid.

COMPETENCIAS BÁSICAS

CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación.
CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.
CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.
CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades.
CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

COMPETENCIAS GENERALES

CG1 - Adquirir conocimientos generales avanzados en tres de las principales áreas de las matemáticas.

CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster. 

CG3 - Adquirir la metodología de la investigación en matemáticas.

CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

CE1 - Saber abstraer las propiedades estructurales de los objetos matemáticos, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales.
Ser capaz de utilizar un objeto matemático en diferentes contextos.
CE2 - Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos, las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, y las demostraciones rigurosas de los resultados relevantes.
CE3 - Adquirir la capacidad de enfrentarse con la literatura científica a distintos niveles, desde libros de texto con contenidos avanzados hasta artículos de investigación matemática publicados en revistas especializadas.
CE4 - Saber analizar y construir demostraciones matemáticas, así como transmitir conocimientos matemáticos avanzados en entornos especializados.
CE5 - Adquirir la competencia científica suficiente que facilite la incorporación a grupos activos de investigación.

Conocimientos:

• Profundizar en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias cubriendo aspectos que no se tratan en el grado de matemáticas: ecuaciones diferenciales en variable compleja y problemas de valor de frontera. En particular, conocer cómo los desarrollos de McLaurin permiten dar un método de resolución para algunas ecuaciones diferenciales en variable compleja y comprender la estrecha relación entre algunos problemas de frontera y la teoría espectral.

• Entender cómo las ecuaciones diferenciales y en diferencias dan lugar a sistemas dinámicos en el caso autónomo.

• Conocer la demostración y el alcance del Teorema de Poincaré-Bendixson.

• Conocer los sistemas Hamiltonianos y sus principales características.

• Conocer algunos métodos de perturbación que se emplean en el estudio de sistemas dinámicos: Teorema KAM y funciones del Melnikov.

• Conocer el Teorema de Hartman-Grobman.

• Conocer el orden de Sarkovskii y el Teorema de Sarkovskii sobre el número de órbitas periódicas para un sistema dinámico discreto unidimensional.

Destrezas y habilidades:

• Utilizar el método de Frobenius para resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden superior y sistemas de ecuaciones diferenciales con singularidades en variable compleja.

• Saber plantear problemas de frontera de Sturm-Liouville como problemas de autovalores para operadores entre espacios de funciones adecuados.

• Utilizar funciones de Lyapunov para estudiar la estabilidad local y global en sistemas dinámicos.

• Ser capaz de emplear el teorema de Poincaré-Bendixson para estudiar la existencia de ciclos límites.

• Saber identificar un sistema Hamiltoniano.

• Calcular variedades estables e inestables tanto de puntos de equilibrio como de soluciones periódicas.

• Saber identificar las principales bifurcaciones que pueden ocurrir en un sistema dinámico discreto y continuo.

• Saber emplear una computadora para facilitar el análisis del comportamiento de las soluciones de ecuaciones diferenciales y en diferencias.

Competencias básicas y generales:

• CG1 - Adquirir conocimientos generales avanzados en tres de las principales áreas de las matemáticas.

• CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster.

• CG3 - Adquirir la metodología de la investigación en matemáticas.

• CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.

• CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación

• CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio

• CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios

• CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades

• CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

La asignatura se imparte con la metodología de la enseñanza a distancia propia de la UNED. Las principales herramientas son el texto-base, material audiovisual que se encuentra en internet y el curso virtual, en particular, sus foros, en los que el alumno deberá consignar regularmente sus avances y dificultades.

El autor del libro, en su página web, permite la descarga de una versión preliminar del libro

https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ode.pdf

La mayoría del contenido que aparece en la primera parte del texto, capítulos 1 a 3, debería ser conocido por el estudiante. En este curso nos centraremos en los capítulos siguientes, capítulos 4 a 12.

En la página 339 del texto base aparecen unas notas sobre la bibliografía que utilizó su autor y referencias para complementar y amplicar lo tratado.

En caso necesario se publicarán en el curso virtual.