En esta asignatura, que está dentro de la especialidad de Álgebra, Geometría y Topología, se toma contacto con uno de los aspectos más importantes de la matemática actual: la teoría de superficies de Riemann. De los distintos enfoques desde los que se puede introducir el concepto de superficie de Riemann, en este curso se ha elegido una doble perspectiva: el de superficie topológica dotada de un atlas analítico, y el de cociente del plano hiperbólico bajo la acción de un grupo discreto. Esta dos perspectivas son, actualmente, objeto de investigación de muchos matemáticos, y por ello esta asignatura contribuirá al perfil investigador del alumno.

La teoría de superficies de Riemann ha acaparado las energías de algunos de los mejores matemáticos de todos los tiempos: Riemann, Jacobi, Abel, Weierstrass, Cauchy, etc. Desde sus orígenes ocupa una posición indiscutiblemente central en las Matemáticas, relacionando análisis, geometría hiperbólica, teoría de números, geometría algebraica, teoría de grupos, topología, etc. Es por ello que esta asignatura tiene relaciones con otras de su misma especialidad, como Topología o Geometría Diferencial, e incluso con el Análisis Complejo de la especialidad de Análisis Matemático.

Dentro de este amplísimo campo, se han elegido algunos temas para que el alumno encuentre algún punto de interés, que puedan llevarle a sus primeras singladuras como investigador.

El prerrequisito fundamental para abordar el estudio de esta asignatura comprende un primer curso de funciones de una variable compleja. En los capítulos iniciales del libro de texto, que no son materia de examen, así como en sus apéndices finales, se pueden recordar algunos de los conceptos más básicos del análisis holomorfo.

Además, la transversalidad de las superficies de Riemann hace recomendable manejar con soltura conceptos básicos de otras ramas de las Matemáticas, como la topología, la geometría diferencial o la teoría de grupos.

La tutorización se realizará principalmente a través de los foros del curso virtual de la asignatura.

Además, se puede contactar con el equipo docente enviando un correo electrónico a jcirre@mat.uned.es o llamando al teléfono 91 398 72 35 en el horario de guardia (martes de 16:00 a 20:00 horas). También se puede contactar por correo postal escribiendo a Francisco Javier Cirre Torres, Departamento de Matemáticas Fundamentales, C/ Juan del Rosal, 10, Madrid 28040.

COMPETENCIAS BÁSICAS

CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación

CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio

CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios

CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades

CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

COMPETENCIAS GENERALES

CG1 - Adquirir conocimientos generales avanzados en tres de las principales áreas de las matemáticas.

CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster.

 CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

CE1 - Saber abstraer las propiedades estructurales de los objetos matemáticos, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales. Ser capaz de utilizar un objeto matemático en diferentes contextos.

CE2 - Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos, las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, y las demostraciones rigurosas de los resultados relevantes.

CE4 - Saber analizar y construir demostraciones matemáticas, así como transmitir conocimientos matemáticos avanzados en entornos especializados.

• Profundizar en los conceptos de función analítica y función meromorfa.
• Conocer y manejar el grupo de isometrías del plano hiperbólico.
• Entender el problema de la clasificación de superficies de Riemann compactas y de sus grupos de automorfismos.

La metodología es la típica de la educación a distancia apoyada por el uso de las TIC. Las actividades formativas para que el estudiante alcance los resultados de aprendizaje se distribuyen entre el trabajo autónomo (estudio de los contenidos teóricos, resolución de problemas y ejercicios, etc.) y el tiempo de interacción con el equipo docente y con otros alumnos (consulta y resolución de dudas, participación en los foros del curso virtual, etc.).

Una estrategia a seguir por parte del alumno puede ser articular su trabajo en cada una de las siguientes fases:

- Primera fase: lectura explorativa. Se intentan entender los objetivos de cada tema y se incide en la comprensión de las definiciones y enunciados de los problemas.

- Segunda fase: lectura comprensiva. Se afianzarán los puntos más importantes y se buscará entender los detalles más técnicos de las demostraciones.

- Tercera fase: lectura afianzativa. El alumno tratará de resolver el mayor número posible de los problemas que aparecen al final de cada capítulo.

El Curso Virtual de la asignatura es la mejor forma de comunicación tanto entre el alumno y el profesor como entre los propios alumnos. Por ello, es especialmente recomendable que el alumno use dicho curso virtual. El espacio en el que se produce dicha comunicación son los foros de discusión y los foros temáticos creados por el Equipo Docente. En ellos se puede proyectar cualquier tipo de duda, pregunta, sugerencia, etc. relacionada  con la asignatura. Es una herramienta que cobra relevancia capital en la UNED. Se puede acceder al Curso Virtual desde el portal de la UNED, entrando al servicio Acceso al Campus.