Asignaturas - Master 215201

Presentación

El Análisis Funcional surge históricamente del estudio de las ecuaciones en derivadas parciales, pero pronto se desarrolló como una disciplina independiente que proporciona un marco general para el análisis de espacios funcionales y operadores lineales. Su núcleo es el estudio de los espacios de Banach, los espacios de Hilbert y los operadores continuos entre ellos.

Los resultados alcanzados en esta teoría han permitido avances significativos en otras áreas de las matemáticas, en particular en la teoría de ecuaciones diferenciales, lo que pone de manifiesto los estrechos lazos que existen entre ambas disciplinas. No obstante, este curso se centrará exclusivamente en los fundamentos teóricos del análisis funcional, sin abordar sus aplicaciones a ecuaciones en derivadas parciales.

Objetivos del curso

• Estudiar los conceptos fundamentales y los resultados estructurales más relevantes del análisis funcional moderno.

• Comprender la importancia de las topologías inducidas por el espacio dual, en particular la topología débil, como herramienta esencial en el análisis de convergencia en espacios de Banach.

• Familiarizarse con los principales espacios funcionales y con las propiedades de ciertos operadores lineales fundamentales.

• Introducir la teoría de bases de Schauder como generalización infinito-dimensional de los sistemas de coordenadas.

Contenidos principales

1. Teoremas fundamentales

   El curso se articula en torno a una serie de resultados clásicos que son piedra angular de la teoría funcional:

   • Teorema de Hahn–Banach: extensión de funcionales lineales dominados, clave para la separación de conjuntos y la dualidad.

   • Teorema de Banach–Steinhaus (Principio de acotación uniforme): regularidad de familias de operadores.

   • Teorema de la aplicación abierta: equivalencia entre continuidad y apertura de aplicaciones lineales sobreyectivas.

   • Teorema de la gráfica cerrada: continuidad de operadores con gráfica cerrada.

   • Teorema de representación de Riesz (versión de Hilbert-Schmidt) para operadores compactos en espacios de Hilbert.

2. Topología débil

   El uso de la topología débil es esencial para estudiar fenómenos de convergencia más sutiles que los que ofrece la norma. En espacios como C[0,1], mientras que la convergencia en norma equivale a la convergencia uniforme, la convergencia débil se relaciona con la convergencia puntual. Esta distinción es clave en la teoría de compactitud y dualidad.

3. Espacios funcionales clásicos

   Se analizarán con detalle ejemplos fundamentales de espacios de Banach y de Hilbert:

   • Espacios L^p y \ell^p: estructuras normadas definidas a partir de integrabilidad y sumabilidad.

   • Espacios de Hilbert: dotados de producto escalar, permiten el desarrollo de geometría interna y proyecciones ortogonales.

   • Se explorará la estructura dual y la reflexividad en estos espacios.

4. Operadores compactos

   Un papel central lo ocupan los operadores compactos, especialmente entre espacios de Hilbert. Estos operadores, que pueden verse como límites de operadores de rango finito, admiten representaciones similares a la diagonalización de matrices simétricas, lo que permite trasladar intuiciones de álgebra lineal finito-dimensional al contexto funcional.

5. Bases de Schauder

   El curso culmina con una introducción a las bases de Schauder, sistemas de coordenadas (posiblemente infinitos) que permiten representar cualquier elemento de un espacio de Banach como una combinación lineal convergente de una familia de vectores. Su estudio revela una rica interacción entre la topología, el álgebra y la geometría de los espacios funcionales.

        Para los estudiantes que proceden del grado de matemáticas de la UNED es importante que hayan cursado la asignatura optativa de espacios normados de 4º curso.

Para estudiantes procedentes de otras universidades es importante que hayan conozcan en detalle la topologia usual de Rⁿ y de forma más general los conceptos básicos de topología y de los espacio normados. 

  Jorge López-Abad

Horario de Guardia: Jueves de 16 a 20 horas

Teléfono.- 913987234

Correo electrónico:  abad@mat.uned.es

Despacho 2.95
Departamento de Matemáticas Fundamentales
Facultad de Psicología UNED
c/ Juan  del Rosal, 14
28040 Madrid

COMPETENCIAS BÁSICAS

CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación

CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio

CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios

CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades

CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

COMPETENCIAS GENERALES

CG1 - Adquirir conocimientos generales avanzados en tres de las principales áreas de las matemáticas.

CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster.

 CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

CE1 - Saber abstraer las propiedades estructurales de los objetos matemáticos, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales. Ser capaz de utilizar un objeto matemático en diferentes contextos.

CE2 - Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos, las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, y las demostraciones rigurosas de los resultados relevantes.

CE4 - Saber analizar y construir demostraciones matemáticas, así como transmitir conocimientos matemáticos avanzados en entornos especializados.

       El objetivo principal que se pretende es el de dar a los alumnos una formación avanzada mínima en análisis funcional. 

   Conocimientos.

• Conocer y comprender bien el teorema de Hahn-Banach en sus dos versiones, la analítica y la geométrica. 
• Conocer y comprender bien los otros teoremas fundamentales del análisis funcional: 
  • Teorema de Banach-Steinhaus
  • Teorema de la aplicación abierta
  • Teorema de la gráfica cerrada
• Comprender bien las topologías débiles en espacios normados.
• Comprender bien la reflexividad de un espacio.
• Comprender bien las propiedades fundamentales de los espacios de Lebesgue
• Comprender bien las propiedades fundamentales de los espacios de Hilbert y entender correctamente las diferencias principales con un espacio de Banach arbitrario.
• Conocer y comprender bien los principios básicos de los operadores compactos y en particular el teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos en un espacio de Hilbert.
• Conocer y comprender bien la noción de base de Schauder y su uso para caracterizar la reflexividad.

   Destrezas y habilidades.

 Saber utilizar los anteriores conocimientos en ejemplos particulares. 

 Para alcanzar los resultados de aprendizaje planteados en este curso el estudiante deberá empezar repasando los contenidos teóricos propuestos en el material de apoyo que se facilita a traves de la plataforma virtual, para poder abordar el estudio de los contenidos teoricos del texto base. 

Las dudas y dificultades que el estudiante vaya encontrando serán atendidas por el equipo docente a través de los foros del curso virtual.

Se pondrá a disposición del estudiante unos apuntes propios.

El libro principal es el Brezis que se utiliza para todos los temas, salvo el último, que no está cubierto. Para el  tema de bases se utilizará el Albiac-Kalton (partes de los capítulos 1-3).

  El principal medio de apoyo al estudio es la tutoría virtual que dispone de foros por medio de los cuales el estudiante podrá contactar con el Equipo Docente de la asignatura así como con los demás estudiantes matriculados en el curso.

Otras formas de contactar con el Equipo Docente se detallan en el apartado "horario de atención al estudiante"