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La asignatura de Criptografía (7,5 ECTS) se constituye como un pilar fundamental dentro del Máster en Matemáticas Avanzadas.
Su propósito es el estudio formal de los métodos para transformar mensajes con el fin de asegurar su confidencialidad, integridad y autenticidad. Sin embargo, más allá de su vertiente técnica, la criptografía representa una de las aplicaciones más brillantes y sofisticadas del pensamiento abstracto a problemas reales de la civilización.
Perspectiva Histórica: Del Arte a la Ciencia
La historia de la criptografía es, en esencia, una carrera armamentística intelectual que se remonta a milenios atrás. Desde los albores de la escritura, la humanidad ha sentido la necesidad de proteger la información:
- La Era de la Criptografía Clásica: En sus inicios, la criptografía fue un "arte" basado en la intuición y la sustitución manual. El Cifrado César en la Roma antigua o la Escítala espartana son ejemplos de métodos que, aunque hoy resultan elementales, sentaron las bases del pensamiento algorítmico. Durante siglos, el Cifrado de Vigenère fue considerado le chiffre indéchiffrable, hasta que el análisis de frecuencias y la estadística permitieron su ruptura.
- La Revolución Mecánica y la Segunda Guerra Mundial: El siglo XX marcó un punto de inflexión con la aparición de máquinas de cifrado rotatorio. El caso de la máquina Enigma es el más emblemático: su criptoanálisis por parte de Alan Turing y su equipo en Bletchley Park no solo acortó la guerra, sino que catalizó el nacimiento de la computación moderna. En este punto, la criptografía dejó de ser una rama de la lingüística para convertirse en una disciplina matemática y de ingeniería.
- El Nacimiento de la Criptografía de Clave Pública: En la década de 1970, el trabajo de Whitfield Diffie, Martin Hellman y, posteriormente, de Rivest, Shamir y Adleman (RSA), revolucionó el campo al proponer que dos partes pudieran comunicarse de forma segura sin haber compartido previamente una clave secreta. Este salto conceptual se basó en la Teoría de Números, transformando problemas como la factorización de grandes enteros en escudos digitales.
Importancia en la Sociedad Contemporánea
Hoy en día, la criptografía es el sistema nervioso de la sociedad de la información. Su relevancia trasciende el ámbito académico y militar para instalarse en la vida cotidiana:
- Seguridad Global y Privacidad: Sin la criptografía, las transacciones bancarias, el comercio electrónico y la privacidad de las comunicaciones digitales serían imposibles. El protocolo SSL/TLS, que protege la navegación web, descansa sobre los pilares algebraicos que se estudian en esta asignatura.
- Soberanía de Datos y Blockchain: El auge de las criptomonedas y las tecnologías de registro distribuido (Blockchain) ha devuelto la criptografía al centro del debate público, utilizándola para garantizar la inmutabilidad y transparencia de los datos sin necesidad de autoridades centrales.
- El Desafío Cuántico: Nos encontramos en un momento crítico ante la llegada de la computación cuántica. Algoritmos que hoy consideramos seguros (como RSA o las Curvas Elípticas) podrían volverse obsoletos. Por ello, esta asignatura no solo mira hacia su pasado y presente, sino que contextualiza la necesidad de la Criptografía Post-cuántica.
Contextualización en el Máster
Dentro del Máster de Matemáticas, esta asignatura permite al estudiante ver en acción teorías que a menudo se presentan como abstractas. Conceptos de Teoría de Números, Estructuras Algebraicas (Cuerpos de Galois) y Geometría Proyectiva (Curvas Elípticas) se revelan aquí como herramientas de una potencia extraordinaria. El estudiante no sólo aprenderá a "cifrar", sino que comprenderá la profundidad matemática que hace que un problema sea "computacionalmente difícil", adquiriendo un criterio sólido para evaluar la seguridad de la tecnología presente y futura.
Al tratarse de una asignatura de Máster en Matemáticas Avanzadas, se requiere que el estudiante tenga un dominio mínimo de algunas de las asignaturas básicas que se cursan en los grados de matemáticas (en particular, en los grados de la UNED):
- Álgebra y Estructuras Algebraicas: Teoría de grupos, matrices, anillos, etc. Especialmente, van a jugar un papel fundamental los cuerpos finitos y la aritmética modular en enteros.
- Teoría de Números: Divisibilidad, congruencias y teoremas fundamentales en el caso de los anillos de enteros y polinomios.
- Geometría: Se recomienda haber cursado previamente asignaturas con contenidos de Geometría Afín y Proyectiva de cara al bloque sobre Curvas Elípticas, aunque este aspecto no es de vital importancia, y se puede realizar el estudio de las Curvas Elípticas sin estudiar esto en profundidad.
Sin embargo, y con el fin de que la asignatura sea autocontenida, se incluye un primer tema en el que se repasan los preliminares algebraicos necesarios y que son relativos a estos estudios entre los contenidos de la asignatura.
La Tutorización de esta asignatura se realiza a través del Curso Virtual.
Para cualquier consulta relacionada con la asignatura, si se trata de un asunto de interés general (Temario, PEC, Pruebas Presenciales, etc.), realizar la consulta a través del Foro de Consultas Generales; mientras que, si se trata de un asunto de índole particular (certificados por parte del equipo docente, consulta de retroalimentación en actividades, feedback de la asignatura, etc.), escribir un correo electrónico al coordinador de la asignatura (andoni.dearriba@mat.uned.es).
En caso de necesitar una reunión presencial (en el despacho), telefónica (llamando al número de teléfono del despacho del coordinador), o virtual (mediante Microsoft Teams), concertar cita previa siempre al coordinador de la asignatura, mediante correo electrónico (andoni.dearriba@mat.uned.es).
Cualquier reunión presencial, telefónica o virtual únicamente se llevará a cabo durante el horario de guardia para atención a los estudiantes, siendo este los
Martes (lectivos), de 11:30 a 13:30 (turno de mañana), y de 14:30 a 16:30 (turno de tarde).
Despacho 2.91 (Facultad de Psicología de la UNED).
Despacho 1.D.05 (Facultad de Ciencias de la UNED).
Facultad de Ciencias, UNED.
Departamento de Matemáticas Fundamentales.
Dirección: Sede Central de la UNED.
Teléfono: 91398-7291.
Correo electrónico: andoni.dearriba@mat.uned.es.
Véase en la Sección de Resultados de Aprendizaje.
Conocimientos:
CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación.
CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.
CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades.
CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster.
CE2 - Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos, las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, y las demostraciones rigurosas de los resultados relevantes.
CE1 - Saber abstraer las propiedades estructurales de los objetos matemáticos, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales. Ser capaz de utilizar un objeto matemático en diferentes contextos.
Destrezas y habilidades:
CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.
CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.
CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.
CE3 - Adquirir la capacidad de enfrentarse con la literatura científica a distintos niveles, desde libros de texto con contenidos avanzados hasta artículos de investigación matemática publicados en revistas especializadas.
CE4 - Saber analizar y construir demostraciones matemáticas, así como transmitir conocimientos matemáticos avanzados en entornos especializados.
Competencias:
CG1 Adquirir conocimientos generales avanzados en alguna de las áreas de las matemáticas
CG3 - Adquirir la metodología de la investigación en matemáticas.
Capítulo 0: Preliminares en Álgebra y Geometría.
El objetivo de este capítulo es el de dotar a los estudiantes, que pueden proceder de distintas áreas de conocimiento (matemáticas, ingeniería, etc.), de las nociones, fundamentalmente algebraicas y geométricas, mínimas necesarias para abordar la asignatura.
Este está basado en algunos contenidos del grado en matemáticas de la UNED (Matemática Discreta, Álgebra Lineal I y II, Estructuras Algebraicas y Álgebra) para la parte algebraica, mientras que la parte geométrica requerida se toma del Capítulo VII del Manual de Criptografía.
Capítulo 1: Criptografía de Clave Privada. Sistemas Criptográficos Clásicos.
El objetivo de este capítulo es el de hacer un rápido repaso histórico de los sistemas criptográficos clásicos, con orígenes militares y diplomáticos, formalizando estos sistemas criptográficos matemáticamente.
Este está basado en los Capítulos II y III del Manual de Criptografía.
Capítulo 2: Criptografía de Clave Pública. RSA. Curvas Elípticas.
El objetivo de este capítulo es el de abordar la criptografía introducida a partir de mediados del siglo XXI, cuyas principales aplicaciones pasan a ser de todo tipo de comunicación electrónica (transacciones bancarias, mensajes telefónicos, etc.).
En particular, se estudiarán el criptosistema RSA, basado en la imposibilidad (práctica) de factorización de números primos grandes, y la criptografía de las Curvas Elípticas, que son una familia concreta de curvas algebraicas proyectivas con una gran importancia criptográfica.
Este está basado en los Capítulos IV, V, VI y VII del Manual de Criptografía.
La metodología de esta asignatura es la propia de la UNED, basada en la enseñanza a distancia y apoyada en el uso de una plataforma tecnológica (Curso Virtual) que permite la interacción entre el estudiante y el Equipo Docente.
Dado el nivel de Máster, la metodología se orienta hacia el aprendizaje autónomo, la investigación dirigida y la evaluación crítica.
Las actividades formativas se distribuyen en tres grandes ejes:
Trabajo Autónomo y Estudio Teórico
Consiste en el estudio sistemático de los contenidos del temario mediante la bibliografía básica y complementaria. Se aconseja siempre hacer una lectura rápida de los contenidos de la asignatura, para después realizar una segunda lectura crítica, en la que se estudien las demostraciones de los resultados en profundidad, así como se realice la resolución de los ejercicios propuestos en el Curso Virtual.
El estudiante debe realizar:
- Lectura crítica: Comprensión de las demostraciones matemáticas y los algoritmos del Manual de Criptografía.
- Resolución de problemas de autoevaluación: Práctica individual de los ejercicios propuestos al final de cada tema del manual para asegurar la comprensión de la aritmética modular y el álgebra lineal aplicada.
Metodología de Coevaluación (Aprendizaje por Pares)
Esta es una de las innovaciones metodológicas centrales de la asignatura.
El estudiante participa en un sistema de evaluación cruzada de problemas prácticos:
- Rol de Resolutor: El alumno debe resolver boletines de problemas asignados y entregarlos en el formato académico requerido (LaTeX).
- Rol de Evaluador: El alumno corrige anónimamente el trabajo de un compañero siguiendo una rúbrica formal.
- Objetivo Pedagógico: Esta metodología desarrolla la capacidad de detectar errores ajenos, fomenta el rigor en la presentación de resultados y permite al estudiante ver diferentes enfoques ante un mismo problema matemático.
Investigación y Comunicación (PEC)
Orientada a la adquisición de competencias investigadoras en un título de posgrado:
- Investigación Dirigida: El alumno elige un tema avanzado de criptografía (fuera del temario básico) y elabora una memoria original siguiendo el rigor científico.
- Entrevista Oral: El alumno debe defender sus resultados en una sesión síncrona pública. Esta actividad fomenta la capacidad de síntesis, la oratoria técnica y la habilidad para argumentar bajo presión ante las preguntas del tribunal y de sus iguales.
Interacción en el Curso Virtual
El Curso Virtual es la herramienta fundamental de comunicación.
El Coordinador de la asignatura utilizará esta plataforma para:
- Tablón de Anuncios: Comunicaciones y fechas importantes.
- Foro de Consultas Generales: Consultas de índole burocrática o de interés general del curso sobre aspectos que no estén claros en la Guía de la Asignatura.
- Foros Temáticos y de Actividades de Coevaluación: Foros en los que se resolverán dudas sobre los contenidos de la asignatura, ya sean de índole teórico o práctico (incluyendo, en este último caso, los problemas de coevaluación). Estos tienen como objetivo fomentar debates matemáticos.
- Foro de la PEC: Foro destinado a realizar consultas sobe la Prueba de Evaluación Continua, o asuntos relacionados.
- Foro de la Prueba Presencial: Foro en el que se debate sobre las Pruebas Presenciales, una vez realizadas estas en cada convocatoria.
- Microsoft Teams: Se habilitará una sala de Teams que permanecerá abierta durante todo el periodo lectivo de la asignatura, en la que los estudiantes y el docente podrán intercambiar opiniones. Esta se encontrará pública para todos los estudiantes de la asignatura.
ONSITE TEST
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| Type of exam |
| Type of exam |
Examen de desarrollo |
| Development questions |
| Development questions |
4 |
| Duration of the exam |
| Duration of the exam |
120 (minutes) |
| Material allowed in the exam |
| Material allowed in the exam |
Ninguno.
No se permite el uso de calculadoras, libros, apuntes ni dispositivos electrónicos.
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| Assessment criteria |
| Assessment criteria |
En la calificación del examen se valorarán de forma estricta los siguientes aspectos:
- Rigor y fundamentación: La correcta argumentación matemática en cada paso de la resolución, fundamentando los cálculos en los teoremas y propiedades estudiados.
- Precisión analítica: La ejecución correcta y sin errores de los algoritmos estudiados.
- Claridad expositiva: El uso adecuado de la notación matemática, el orden, la limpieza y la estructuración lógica de las demostraciones. Un resultado final correcto sin el desarrollo analítico que lo justifique carecerá de validez.
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| % Concerning the final grade |
| % Concerning the final grade |
60 |
| Minimum grade (not including continuas assessment) |
| Minimum grade (not including continuas assessment) |
5 |
| Maximum grade (not including continuas assessment) |
| Maximum grade (not including continuas assessment) |
10 |
| Minimum grade (including continuas assessment) |
| Minimum grade (including continuas assessment) |
5 |
| Coments |
| Coments |
La Prueba Presencial consistirá en la resolución autónoma de problemas y demostraciones matemáticas. Previsiblemente, habrá una pregunta en el examen por cada bloque de contenidos de la asignatura, que se especificarán en el Curso Virtual.
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| CHARACTERISTICS OF THE IN-PERSON TEST AND/OR THE WORK |
CHARACTERISTICS OF THE IN-PERSON TEST AND/OR THE WORK
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| Requires presence |
| Requires presence |
Si |
| Description |
| Description |
La Prueba Presencial se realizará presencialmente en el Centro Asociado de la UNED en donde el estudiante se encuentra matriculado, un día que se fijará en el Calendario de Exámenes Oficial de la UNED.
Además de la prueba presencial, aquellos alumnos que opten por evaluación cointinua realizarán un trabajo de investigación cuya defensa se realizará por Microsoft Teams, un día acordado entre los estudiantes y el Equipo Docente. La sesión e será pública.
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| Assessment criteria |
| Assessment criteria |
Cada actividad evaluable sigue sus propios criterios de evaluación.
Consultar en cada caso cómo se determinan estos.
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| Weighting of the in-person test and/or the assignments in the final grade |
| Weighting of the in-person test and/or the assignments in the final grade |
Dependiente de la modalidad de evaluación escogida. |
| Approximate submission date |
| Approximate submission date |
Véase Calendario Oficial de la UNED. |
| Coments |
| Coments |
Aunque la modalidad de referencia es la de evaluación continua, el sistema de evaluación ofrece diferentes itinerarios, pero requiere una elección expresa y vinculante por parte del estudiante.
Durante el primer mes del curso, el alumno deberá comunicar formalmente al Equipo Docente (a través del cauce que se habilitará en el Curso Virtual) la modalidad de evaluación a la que desea acogerse para el cómputo de su calificación final:
- Evaluación Continua (Recomendada):
- Examen Presencial (60%) + Memoria Escrita sobre el trabajo de investigación (10%) + Entrevista Oral Síncrona sobre el trabajo de investigación (20%) + Problemas de Evaluación por Pares (10%).
- Evaluación No Continua: Examen Presencial (100% de la Calificación Final).
AVISO IMPORTANTE: La modalidad elegida será firme.
En caso de que el estudiante no realice ninguna comunicación durante el primer mes de curso, se entenderá por defecto que opta por la Evaluación No Continua, y su nota final dependerá de manera exclusiva de la calificación obtenida en la Prueba Presencial.
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| CONTINUOUS ASSESSMENT TEST (PEC) |
CONTINUOUS ASSESSMENT TEST (PEC)
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| PEC? |
| PEC? |
Si,PEC no presencial |
| Description |
| Description |
La PEC consiste en el desarrollo de un trabajo de investigación original y de rigor matemático sobre una temática avanzada de criptografía, que va más allá de los contenidos obligatorios estudiados en el temario de la asignatura y en el cual se debe realizar una entrevista con el coordinador en abierto (a la que podrán asistir el resto de compañeros).
El proceso consta de tres partes:
- Elección y Consenso: Se deberá elegir una temática del "Listado Definitivo de Propuestas de Trabajo” que se facilitará en el Curso Virtual. Esta elección debe ser validada y consensuada obligatoriamente por el Coordinador de la asignatura antes de iniciar el trabajo.
- Memoria Técnica: Redacción de una memoria estructurada, formalizada en LaTeX, con una extensión comprendida entre las 8 y las 15 páginas.
- Entrevista Síncrona (online): El alumno realizará una entrevista oral online síncrona (empleando los medios telemáticos de la UNED), donde los estudiantes deferendán su trabajo y responderán a las preguntas realizadas por el Equipo Docente u otros compañeros. Esta entrevista tendrá una duración máxima de 15 minutos. Si durante la entrevista se detecta que el trabajo no ha sido realizado por el estudiante, se calificará el trabajo completo con un 0.
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| Assessment criteria |
| Assessment criteria |
En lo que respecta a la PEC (trabajo de investigación), sólo se valorará con un 10% la memoria del trabajo presentado, y con un 20% la entrevista correspondiente.
Memoria Escrita (10% de la Calificación Final):
Desarrollo y redacción de la memoria escrita de un trabajo de investigación sobre una temática avanzada de criptografía, que va más allá de los contenidos obligatorios estudiados en el temario de la asignatura. Se tendrá en cuanta en la evalaución de dicha memoria:
- Rigor Analítico y Formalismo: Uso impecable de la terminología, la notación y la argumentación matemática en las demostraciones y desarrollos algebraicos o geométricos presentados en la memoria.
- Calidad Documental y Formato: Correcto uso de LaTeX, estructuración lógica del documento, citación adecuada de las fuentes y pertinencia de la bibliografía académica consultada.
- Originalidad: Enfoque propio, evitando la mera transcripción.
Entrevista Oral (20% de la Calificación Final):
- Claridad Expositiva.
- Claridad en la Comunicación.
- Capacidad de Síntesis.
- Dominio Técnico de la Temática de Investigación del Trabajo.
- Solvencia en las Respuestas a las Preguntas planteadas.
La redacción de la memoria mediante herramientas de Inteligencia Artificial Generativa será castigada con un suspenso inmediato (un cero), tanto en el trabajo escrito como en la exposición oral.
Se puede utilizar la Inteligencia Artificial a modo de apoyo en la actividad (a saber, búsqueda de bibliografía, ayuda en la comprensión de conceptos, etc.); sin embargo, se debe recordar que la elaboración del trabajo consiste en la redacción de un trabajo académico original, y el uso de la Inteligencia Artificial, para la elaboración de alguna de las partes del documento o la resolución de los problemas planteados se considera plagio académico, ya sea esto en una pequeña parte o en su totalidad.
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| Weighting of the PEC in the final grade |
| Weighting of the PEC in the final grade |
30% |
| Approximate submission date |
| Approximate submission date |
Entrega de la Memoria: 18 de Diciembre. Entrevista Oral: Enero de 2026. |
| Coments |
| Coments |
Fechas aproximadas para realizar la entrega de la memoria y la entrevista oral:
- Entrega de la Memoria Técnica: Antes del inicio de las vacaciones de Navidad (salvo motivo, excepcionalmente justificado y consensuado, previamente, con el Coordinador de la asignatura).
- Entrevista Oral (a través de los medios telemáticos de la UNED): Esta tendrá una duración máxima de 15 minutos, en donde el estudiante responderá a las preguntas del Equipo Docente sobre la memoria entregada con anterioridad. Las entevistas orales se realizarán a lo largo del mes de enero (dentro del horario lectivo de la UNED), y finalizarán antes del periodo de celebración de las Pruebas Presenciales de la Convocatoria Ordinaria.
Nota mínima para ser tenida en cuenta en la Calificación Final:
5 (sobre 10).
Naturaleza de la tarea:
Este trabajo de investigación es una actividad estrictamente individual.
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OTHER GRADEABLE ACTIVITIES
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| Are there other evaluable activities? |
| Are there other evaluable activities? |
Si,no presencial |
| Description |
| Description |
Esta actividad consiste en la resolución de ejercicios y su posterior evaluación por pares (coevaluación). El proceso, que abarca el temario del programa teórico, se divide en dos fases obligatorias para cada tema:
- Fase de Resolución: A cada estudiante se le asignará la redacción y resolución de problemas distintos de un listado que se facilitará en el Curso Virtual, lo que garantiza la creación de un banco de problemas diverso. El alumno deberá resolver su asignación de forma rigurosa y entregar el documento final en el enlace facilitado en el Curso Virtual.
- Fase de Evaluación (Feedback): Una vez entregados los problemas, la plataforma asignará de forma cruzada los ejercicios entre los alumnos. Cada estudiante deberá asumir el rol de evaluador, revisando la solución de sus compañeros y redactando un feedback cualitativo, justificado y constructivo.
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| Assessment criteria |
| Assessment criteria |
Se tendrá en cuenta la doble faceta del estudiante (como autor y como revisor), en base a los criterios siguientes:
- Como autor de la resolución del problema: Se evaluará la exactitud matemática de la solución, el rigor en la argumentación de cada paso, el uso correcto de la notación y la claridad expositiva.
- Como evaluador (revisor por pares): Se valorará la madurez matemática, la profundidad, la precisión y el tono constructivo de la retroalimentación proporcionada. Se premiará la capacidad de detectar errores conceptuales o de cálculo en el trabajo ajeno y la habilidad para sugerir vías alternativas de resolución de forma fundamentada.
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| Weighting in the final grade |
| Weighting in the final grade |
10% |
| Approximate submission date |
| Approximate submission date |
Cada tres semanas (aproximadamente). |
| Coments |
| Coments |
Fechas aproximadas para realizar la entrega de problemas y su evaluación:
Las entregas y las fases de la evaluación por pares se realizarán de forma escalonada y periódica a lo largo del cuatrimestre, acompasadas con el avance del temario de la asignatura. Las fechas exactas de apertura y cierre de cada listado de problemas se publicarán en el calendario del Curso Virtual.
Nota mínima para ser tenida en cuenta en la Calificación Final:
No hay nota mínima. Cualquier puntuación obtenida en esta actividad se tendrá en cuenta a la hora de computar la calificación final.
Naturaleza de la tarea:
Esta es una actividad estrictamente individual.
La asignación de problemas diferentes a cada alumno asegura que la fase de resolución deba abordarse con total autonomía técnica e intelectual.
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How to obtain the final grade?
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La Calificación Final (CF) de la asignatura se calculará en función de la modalidad de evaluación por la que el estudiante haya optado de forma vinculante.
Requisitos indispensables para el cálculo:
Para poder sumar a la nota del examen presencial las calificaciones obtenidas en las actividades continuas (trabajo de investigación y ejercicios de evaluación por pares), se deben cumplir los siguientes requisitos:
- Haber obtenido una calificación de al menos 5 puntos (sobre 10) en la Prueba Presencial. Si esta nota es inferior a 5, la asignatura estará suspensa, independientemente de las notas de las actividades prácticas (aunque estas se conservan para la Convocatoria Extraordinaria de Septiembre).
- Haber obtenido una calificación de al menos 5 puntos (sobre 10) en la Entrevista Oral del Trabajo de Investigación.
- Para los Problemas de Evaluación por Pares o la Redacción de la Memoria Escrita del Trabajo de Investigación, no existe nota mínima; cualquier puntuación obtenida sumará a la nota final, en el porcentaje correspondiente.
Fórmulas de cálculo de la Calificación Final (CF):
- Evaluación Continua: CF = (Nota del Examen × 0,6) + (Nota de la memoria escrita x 0.1) +(Nota de la entrevista oral × 0,2) + (Nota de los Problemas de Evaluación por Pares × 0,1).
- Evaluación No Continua: CF = Nota Examen.
Criterios de Calificación y Matrículas de Honor:
- La asignatura se supera (APTO) con una calificación de al menos 5 puntos en la CF. Se obtiene una calificación de aprobado entre 5 y 6,9 puntos. Entre 7 y 8,9 puntos, se obtiene notable. Con 9 o más puntos, se obtiene un sobresaliente.
- Las matrículas de honor (que están limitadas por el número de alumnos, sólo pueden ser adjudicadas a aquellos estudiantes que obtengan al menos un 9 en la CF), se otorgarán exclusivamente entre los alumnos que opten por la evaluación continua y que obtengan las mejores calificaciones, a propuesta del equipo docente, teniendo que realizarse una última actividad extra, que se les comunicará a lo largo de Febrero de 2027 mediante correo electrónico en caso de poder optar a ella.
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La referencia básica principal de la asignatura es la siguiente:
- ISBN (13): 9788413114637 (Edición digital).
- Título: Manual de Criptografía: Fundamentos matemáticos de la Criptografía para un estudiante de Grado.
- Autor/es: Plaza Martín, Francisco José.
- Editorial: Ediciones Universidad de Salamanca.
La referencia principal la debe adquirir todo estudiante de la asignatura. Esta será la referencia básica en la que se encuentran los principales contenidos teóricos de la asignatura de los Temas 2, 3 y 4.
También se consideran referencias básicas aquellas sobre teoría de grupos, anillos, cuerpos finitos y álgebra lineal, propias de una asignatura de Grado en Matemáticas, que se corresponden con el Tema 1 de la asignatura sobre Preliminares Algebraicos, siendo esta un recordatorio sobre Teoría de Números y Álgebra (Matrices y Estructuras) de cualquier Grado en Matemáticas
A modo de referencia, se exponen aquellas correspondientes al Grado en Matemáticas de la UNED. Sin embargo, cualquier referencia de un grado de Matemáticas de cualquier universidad en la que se traten estos contenidos puede utilizarse.
MATEMÁTICA DISCRETA:
- ISBN (13): 9788496094611.
- Título: Elementos de Matemática Discreta (3ª Edición).
- Autor/es: Bujalance García, Emilio; Bujalance García, José Antonio; Costa González, Antonio F.; y Martínez García.
- Editorial: Sanz y Torres.
ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA VECTORIAL:
- ISBN (13): 9788417765040.
- Título: Álgebra Lineal y Geometría Vectorial (2ª Edición Revisada).
- Autor/es: Borobia Vizmanos, Alberto; y Estrada López, Beatriz.
- Editorial: Sanz y Torres.
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS:
- ISBN (13): 9788436273786.
- Título: Teoría Elemental de Grupos (3ª Edición).
- Autor/es: Bujalance García, Emilio; Etayo Gordejuela, José Javier; y Gamboa Mutuberría, José Manuel.
- Editorial: Sanz y Torres.
ÁLGEBRA (MATEMÁTICAS):
- ISBN (13): 9788417765057.
- Título: Anillos y Cuerpos. Curso Básico.
- Autor/es: Gamboa Mutuberría, José Manuel; y Ruiz Sancho, Jesús M.ª.
- Editorial: Sanz y Torres.
En concreto, nos interesan las secciones siguientes:
- Elementos de Matemática Discreta: Tema 1. Secciones 1, 2, 4, 5 y 6 (Números Primos y Congruencias en Números Enteros).
- Álgebra Lineal y Geometría Vectorial: Capítulos 1 y 3 (Matrices y Espacios Vectoriales sobre Cuerpos Finitos).
- Teoría Elemental de Grupos: Tema 1 (Generalidades).
- Anillos y Cuerpos: Temas 1, 2, 3 y 4 (Anillos y Cuerpos Finitos).
Estas referencias complementarias se exponen para ampliar los contenidos de la asignatura.
En algunos casos, se tratan de referencias mucho más amplias a la principal básica de la asignatura; mientras que, en otros, se tratan de referencias con contenidos mucho más amplios a los mínimos que se requieren en la asignatura.
En concreto, las dos primeras, corresponden a un temario que se ha decidido dejar fuera de los contenidos de la asignatura, sobre Preliminares Geométricos, y que ha quedado como uno de los temas que se proponen para una PEC (en la que se relacionen los conceptos generales sobre Geometría Afín y Proyectiva con las Curvas Elípticas que se van a trabajar en el Tema 4 de la asignatura). Como ya se ha dicho, estas referencias se corresponden a las relativas al Grado en Matemáticas en la UNED, pero pueden emplearse referencias sobre este mismo tema de cualquier otra universidad.
Al igual que pasa con la parte correspondiente sobre Preliminares Algebraicos, estos Preliminares Geométricos se pueden encontrar en diversos Grados en Matemáticas, y tienen un carácter básico y obligatorio, pero, a modo de referencia, se exponen aquellas correspondientes al grado en Matemáticas de la UNED.
GEOMETRÍA AFÍN:
- ISBN (13): 9788492948611.
- Título: Curso de Geometría Afín y Geometría Euclidiana.
- Autor/es: Lafuente López, Javier; y Costa González, Antonio F.
- Editorial: Sanz y Torres.
GEOMETRÍA PROYECTIVA:
- ISBN (13): 9788416466498.
- Título: Geometría Lineal: Espacios Afines y Proyectivos.
- Autor/es: Fernando Galván, José Francisco; y Gamboa Mutuberría, José Manuel.
- Editorial: Sanz y Torres.
El resto de las referencias complementarias son algunas referencias clásicas sobre Criptografía que pueden resultar útiles para completar algunos aspectos de la referencia principal básica expuesta, así como para coger ideas sobre la posible PEC, ya sea para los temas propuestos, o para otros que puedan proponerse.
REFERENCIA 1:
- ISBN (13): 9780849385230.
- Título: Handbook of Applied Cryptography.
- Autor/es: Menezes, Alfred J.; van Oorschot, Paul C.; y Vanstone, Scott A.
- Editorial: CRC Press.
REFERENCIA 2:
- ISBN (13): 9781138197015.
- Título: Cryptography: Theory and Practice (4th Edition).
- Autor/es: Stinson, Douglas R.; y Paterson, Maura B.
- Editorial: CRC Press.
REFERENCIA 3:
- ISBN (13): 9781119096726.
- Título: Applied Cryptography: Protocols, Algorithms, and Source Code in C (20th Anniversary Edition).
- Autor/es: Schneier, Bruce.
- Editorial: John Wiley & Sons.
Se explica a continuación brevemente en qué consisten las mismas, por si alguien estuviera interesado:
- El texto Handbook of Applied Cryptography es considerado por muchos la referencia enciclopédica por excelencia sobre Criptografía.
- El texto Cryptography: Theory and Practice (4th Edition) es un clásico de rigor matemático, a un buen nivel para una asignatura de máster, sobre Criptografía.
- El texto Applied Cryptography: Protocols, Algorithms, and Source Code in C (20th Anniversary Edition) es un clásico sobre la computación (algoritmos y complejidad), así como sobre los protocolos criptográficos.
El estudiante contará con diversos recursos de apoyo fundamentales para superar con éxito la asignatura, estructurados de la siguiente manera:
1. El Curso Virtual (Plataforma Ágora):
El curso virtual será el entorno principal de aprendizaje y comunicación. Los estudiantes tendrán a su disposición:
- Foros de debate: Moderados por el Equipo Docente, estructurados por bloques temáticos para la resolución de dudas teóricas.
- Módulo de Coevaluación: Herramienta integrada en la plataforma Ágora, donde se publicarán los listados de problemas y se gestionarán las entregas y las revisiones cruzadas (evaluación por pares).
- Materiales complementarios: Repositorio de ejercicios, fe de erratas, contenidos complementarios, etc.
2. Herramientas de Software y Edición Analítica:
Dado el carácter aplicado y algorítmico de la criptografía moderna, se recomienda encarecidamente el uso de las siguientes herramientas:
- Para la redacción matemática: Es obligatorio el uso de LaTeX para la elaboración de la memoria de la PEC, y, más aún, este es muy recomendable para la entrega de los problemas de coevaluación.
- Para la computación algebraica: Para testear algoritmos de criptoanálisis, se sugiere el uso de software libre orientado a matemáticas, como SageMath (basado en Python, excepcional para aritmética modular y curvas elípticas).
3. Webgrafía y Repositorios de Investigación:
Para la realización del trabajo de investigación (PEC), se recomiendan las siguientes fuentes abiertas y de acceso gratuito:
- El texto complementario Handbook of Applied Cryptography, pues los autores permiten la descarga gratuita y legal de los capítulos de este libro de referencia desde su web oficial: http://cacr.uwaterloo.ca/hac/.
- arXiv.org: Para los alumnos que elijan temáticas de investigación vanguardista, el repositorio de la Universidad de Cornell (sección de Ciencias de la Computación / Criptografía y Seguridad) es indispensable para acceder a artículos recientes.
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