Asignaturas - Master 215201

Introducción general

Este curso está dedicado a explorar algunos de los resultados fundamentales en la teoría de Ramsey, un campo central dentro de la combinatoria moderna. Parafraseando a varios autores, existen muchos teoremas en matemáticas que afirman que, en estructuras suficientemente grandes, es inevitable encontrar subsistemas altamente organizados, a menudo más estructurados que el sistema original.

Un ejemplo sencillo de esta idea: en una reunión con al menos 2n - 1 personas, al menos n de ellas tienen el mismo sexo. Otro ejemplo, más representativo de la teoría de Ramsey, plantea que en cualquier grupo lo suficientemente grande, se puede encontrar un subconjunto de tres personas que o bien se conocen mutuamente, o bien son mutuamente desconocidas. Aunque este principio parece intuitivo, su formulación rigurosa y el cálculo del menor tamaño necesario del grupo conducen directamente al Teorema de Ramsey, demostrado por Frank P. Ramsey en 1930.

Este resultado marca el inicio de la teoría de coloraciones, un enfoque combinatorio que ha tenido repercusiones profundas tanto dentro de las matemáticas como en campos como la informática teórica y la teoría de la información.

Contenidos del curso

1. Coloraciones combinatorias clásicas

Estudiaremos el Teorema de Ramsey finito, que garantiza que para toda coloración finita de subconjuntos de un conjunto grande, existe un subconjunto homogéneo (todos sus subconjuntos del tamaño dado tienen el mismo color). Analizaremos también el Teorema de Ramsey dual, que introduce una perspectiva inversa sobre la existencia de patrones inevitables.

2. Estructuras geométricas y aritméticas

La teoría se extiende a estructuras más ricas:

• Teorema de Hales–Jewett: todo sistema suficientemente grande de palabras contiene una estructura combinatoria homogénea. Este resultado es clave para obtener muchos otros teoremas tipo Ramsey.

• Teorema de Van der Waerden: toda coloración de los números naturales contiene progresiones aritméticas largas en un mismo color.

• Teorema de Folkman: existen conjuntos tales que todas las sumas posibles de elementos distintos están en el mismo color, lo que revela organización aritmética profunda.

3. Versión infinita y compacidad

Los resultados anteriores tienen versiones infinitas con formulaciones sorprendentemente potentes:

• Teorema de Ramsey infinito: toda coloración finita de los subconjuntos finitos de \mathbb{N} contiene un conjunto infinito cuyos subconjuntos del tamaño dado están todos en un mismo color.

• Teorema de Hindman: dado cualquier coloración finita de los naturales, existe un conjunto infinito A tal que todas las sumas finitas de elementos distintos de A están en el mismo color.

Estos teoremas, además de su contenido propio, permiten recuperar muchos resultados finitos mediante el principio de compacidad, una herramienta lógica fundamental que también se estudiará en el curso. Asimismo, se presentará una elegante demostración del teorema de Hindman basada en el uso de ultrafiltros idempotentes, introduciendo técnicas propias de la topología y la lógica combinatoria.

4. Coloraciones de subconjuntos infinitos: Teorema de Galvin–Prikry

Cerramos el curso analizando el Teorema de Galvin–Prikry, una generalización infinitaria profunda. En lugar de colorear subconjuntos de tamaño fijo, este teorema considera coloraciones de todos los subconjuntos infinitos de \mathbb{N}. Aunque el resultado no es cierto para cualquier coloración (hay contraejemplos construidos con el axioma de elección), Galvin y Prikry demostraron que sí se cumple para coloraciones definibles (por ejemplo, borelianas). Este resultado introduce los denominados espacios de Ramsey, un contexto abstracto en el que se pueden generalizar sistemáticamente estos fenómenos de regularidad.

Aplicaciones de la teoría de Ramsey

Pese a su origen puramente combinatorio, la teoría de Ramsey ha encontrado aplicaciones notables en numerosos campos:

• Informática teórica: análisis de algoritmos, teoría de la computación distribuida, estructuras de datos, verificación automática.

• Teoría de grafos: modelos de redes sociales, estructura de cliques y conjuntos independientes, algoritmos de detección de patrones.

• Teoría de números: existencia de progresiones aritméticas en conjuntos densos o esparcidos, combinatoria aditiva, resultados en teoría analítica de los números (como el teorema de Green–Tao).

• Lógica matemática: uso de compacidad, modelos infinitos, demostraciones con ultrafiltros, conexiones con teoría de conjuntos y cardinalidades.

• Teoría de la información: codificación, aleatoriedad, generación de claves criptográficas, estructuras homogéneas en datos codificados.

Objetivos del curso

• Comprender la formulación y demostración de los principales teoremas de Ramsey y sus variantes.

• Analizar cómo surgen estructuras ordenadas inevitables dentro del caos aparente.

• Explorar técnicas avanzadas de demostración, como compacidad y ultrafiltros.

• Introducir los espacios de Ramsey como marco unificador para teoremas infinitos.

• Valorar las aplicaciones de estas ideas en distintas áreas de las matemáticas y la ciencia.

El curso es autocontenido, pero   se requieren unos mínimos conocimientos de combinatoria y un poco de topología.

Jueves de 16 a 20 horas.

COMPETENCIAS BÁSICAS

CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación.
CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.
CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.
CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades.
CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

COMPETENCIAS GENERALES

CG1 - Adquirir conocimientos generales avanzados en tres de las principales áreas de las matemáticas.
CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster.
CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

CE1 - Saber abstraer las propiedades estructurales de los objetos matemáticos, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales. Ser capaz de utilizar un objeto matemático en diferentes contextos.  

CE2 - Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos, las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, y las demostraciones rigurosas de los resultados relevantes. 

CE4 - Saber analizar y construir demostraciones matemáticas, así como transmitir conocimientos matemáticos avanzados en entornos especializados.

* Conocimientos:

• Conocer y comprender ciertos conceptos y terminología combinatoria (coloraciones, conjuntos monocromáticos, subespacios combinatorios, ordenación combinatorio vs desorden, notación “flecha”)
• Conocer y comprender las diversas versiones del teorema de Ramsey.
• Conocer y comprender el teorema de Hales-Jewett (ordenación geométrica).
• Conocer y comprender los teoremas de Van der Waerden y Folkman (Organización aritmética).
• Conocer y comprender el teorema dual de Ramsey
• Conocer y comprender las versiones infinitas de los resultados anteriores (en particular el teorema de Galvin-Prikry)
• Conocer y comprender los argumentos de compacidad en este contexto.
• Conocer y comprender los ultrafiltros idempotentes para demostrar resultados sobre coloraciones (en particular el teorema de Ellis)

* Destrezas y habilidades.

• Saber dar diferentes ejemplos de teoremas sobre coloraciones
• Estar familiarizado con las demostraciones por inducción de algunos de los teoremas sobre coloraciones (en particular el teorema de Ramsey o Van der Waerden)
• Familiarizarse y saber utilizar correctamente los ultrafiltros idempotentes para demostrar teoremas sobre coloraciones.
• Saber utilizar diversas técnicas de la teoría descriptiva de conjuntos para demostrar el teorema de Galvin-Prikry sobre coloraciones Borelianas.

La  asignatura  no  tiene  clases  presenciales.  Los  contenidos teóricos se imparten a distancia y de acuerdo con las normas y estructuras de soporte telemático de la enseñanza en la UNED. 

Se organizarán reuniones virtuales periódicas.

Además  de la bibliografía básica mencionada, se seguirán unas notas personales en preparación y que contienen los resultados principales de este curso

Hay diversas notas en la web y en su momento recomendaré algunas de ellas.