asignatura master 2025

La teoría de la medida enlaza con un antiquísimo problema histórico: el de medir longitudes, áreas y volúmenes. Se trata de introducir los conceptos abstractos detrás de esas ideas geométricas: las medidas y la integración de funciones contra ellas. Se trabajarán álgebras de conjuntos (objetos a medir), construcciones  de medidas (como las medidas producto), medidas con signo, comparaciones entre medidas, descomposiciones y derivadas, funciones medibles e integrables, espacios de funciones medibles, medidas como funcionales, y para finalizar, la existencia de medidas invariantes en una gran cantidad de grupos topológicos (medidas de Haar), y una introducción a las transformaciones que preservan medida y ergodicidad.

En general, conocimientos correspondientes al anterior primer ciclo de la licenciatura, o al Grado actual de la UNED (especialmente las asignaturas optativas de Espacios Normados, de 4º, y de Integral de Lebesgue, también de 4º.

Se llevará principalmente por la virtualización de la asignatura. El equipo docente y los tutores intercampus (si los hay) atenderán las consultas generales y de contenidos a través de los distintos foros del curso virtual.

Extraordinariamente también se puede utilizar el teléfono: 913987238 o el correo electrónico: cescudero@mat.uned.es. El horario de atención es: martes lectivos de 10:00 a 14:00 horas.

COMPETENCIAS BÁSICAS

CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación

CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio

CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios

CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades

CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

COMPETENCIAS GENERALES

CG1 - Adquirir conocimientos generales avanzados en tres de las principales áreas de las matemáticas.

CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster.

 CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

CE1 - Saber abstraer las propiedades estructurales de los objetos matemáticos, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales. Ser capaz de utilizar un objeto matemático en diferentes contextos.

CE2 - Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos, las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, y las demostraciones rigurosas de los resultados relevantes.

CE4 - Saber analizar y construir demostraciones matemáticas, así como transmitir conocimientos matemáticos avanzados en entornos especializados.

El objetivo principal que se pretende es facilitar el acceso a herramientas relacionadas con la medida e integración, que resultan esenciales en el estudio de diversas ramas del Análisis Matemático tales como el Análisis Funcional, las Ecuaciones Diferenciales, el Análisis de Fourier y la Teoría de la Probabilidad. Se procurará proporcionar así mismo una serie de destrezas relacionadas con el cálculo práctico para los espacios de medida más habituales y para funciones concretas, y también para saber aplicar teoremas fundamentales de convergencia y otros. Finalmente, se intentará trasladar hábitos, métodos e ideas útiles para una futura actividad investigadora.

Conocimientos.

• Conocer y comprender ciertas clases de conjuntos (anillos, álgebras, σ-anillos, σ-álgebras, clases monótonas, etc.), y sus propiedades.
• Conocer bien las medidas aditiva, completamente aditiva (o σ-aditiva), y exterior.
• Conocer las funciones medibles e integrables, y sus propiedades.
• Conocer los teoremas de convergencia, en relación con la integración; incluido el teorema de convergencia dominada de Lebesgue.
• Entender y saber demostrar los teoremas de Fubini y de Hobson-Tonelli.
• Conocer la compleción de una medida y, en particular, de un producto de medidas.
• Conocer las medidas con signo y sus propiedades. Interpretar las integrales como medidas con  signo.
• Conocer la derivación de medidas de Radon, para dimensión finita, y la derivación de integrales.
• Conocer los principales conceptos relacionados con la derivación en la recta real.

Destrezas y habilidades.

• Saber dar diferentes ejemplos de clases fundamentales de conjuntos.
• Poder demostrar con detalle el teorema de extensión de Hahn, y los resultados principales sobre extensiones de medidas.
• Saber aplicar la medida de Lebesgue-Stieltjes en R, y sus propiedades.
• Saber demostrar los Teoremas de Egoroff y de Lusin.
• Manejar con soltura distintos tipos de integrales. 
• Familiarizarse con los productos de espacios medibles y de espacios de medidas; y con los productos tensoriales de medidas.
• Saber demostrar los teoremas de Hahn y de Jordan, y el teorema de recubrimiento de Vitali.
• Manejar los espacios normales, completamente regulares, y localmente compactos.

Competencias.

• Poder construir con detalle la medida de Lebesgue. 
• Utilizar, en distintas situaciones, las medidas de Radon, y los teoremas de Lusin y de representación de Riesz, y sus respectivas demostraciones.
• Relacionar conceptos topológicos con las medidas de Borel regulares, las medidas de Baire, y sus aplicaciones.
• Poder desarrollar y aplicar los principales resultados relativos a los espacios de Lebesgue.

El sistema fundamental de aprendizaje es el estudio del texto básico. Las preguntas sobre el mismo se realizarán en los foros de la asignatura, siguiendo la metodología usual de enseñanza a distancia de la UNED.

Los alumnos deben disponer del texto base, sobre el que pueden formular preguntas.

Existen otras ediciones del libro de texto Real Analysis. Aunque se seguirá la 4ª edición, la 3ª edición también es recomendable. 

El curso virtual, y la atención en foros, correo electrónico y teléfono.