Asignatura grado en matemáticas

En esta primera unidad didáctica se introducen las nociones básicas de la teoría de la medida y se construye el marco necesario para definir la integral de Lebesgue. El hilo conductor de la unidad es claro: primero se estudian las clases de conjuntos adecuadas para definir medidas; después se introducen las medidas y los procedimientos de extensión; a continuación se construye la medida de Lebesgue en R; y, finalmente, se estudian las funciones medibles y algunos resultados estructurales fundamentales sobre ellas. Esta unidad proporciona la base conceptual sobre la que se apoyará toda la asignatura.

Tema 1. Clases de conjuntos (I).
En este tema se introducen algunas de las familias de conjuntos más simples sobre las que puede comenzar a desarrollarse una teoría de la medida. La idea es disponer de colecciones estables bajo ciertas operaciones básicas, de manera que tenga sentido definir en ellas funciones aditivas con buenas propiedades.

1. Anillos de conjuntos. Se estudian familias de subconjuntos cerradas bajo uniones finitas y diferencias. Estas estructuras constituyen un primer marco natural para definir medidas aditivas.
2. Un anillo de intervalos. Se analiza un ejemplo concreto especialmente importante: el anillo formado por intervalos de la recta real. Este ejemplo servirá después como punto de partida para la construcción de la medida de Lebesgue.
3. sigma-álgebras de conjuntos. Se introduce la noción de sigma-álgebra, esencial en teoría de la medida, ya que permite trabajar con uniones e intersecciones numerables y proporciona el marco adecuado para definir espacios medibles.

Tema 2. Clases de conjuntos (II).
Este tema completa el estudio de las clases de conjuntos introduciendo estructuras cerradas bajo operaciones numerables y analizando sus propiedades básicas. El objetivo es entender con precisión cuáles son las colecciones de conjuntos adecuadas para desarrollar la teoría de la medida con toda generalidad.

1. Definición y propiedades de las sigma-álgebras. Se estudian con detalle las propiedades fundamentales de las sigma-álgebras y su papel como objeto básico de la teoría.
2. Operaciones con sigma-álgebras. Se consideran intersecciones, sigma-álgebras generadas y otros procedimientos de construcción. Este punto es importante porque muchas de las sigma-álgebras relevantes aparecen precisamente generadas por ciertas familias iniciales de conjuntos.

Tema 3. Medida y medida exterior.
Una vez fijadas las clases de conjuntos adecuadas, en este tema se introduce la noción de medida, que asigna un tamaño compatible con la estructura de la sigma-álgebra. También se presenta la noción de medida exterior, que desempeña un papel fundamental en los procesos de construcción y extensión de medidas.

1. Espacios medibles, medidas y espacios de medida. Se definen los conceptos básicos de espacio medible, medida y espacio de medida, y se estudian los primeros ejemplos.
2. Propiedades básicas de las medidas. Se analizan propiedades como la monotonía, la subaditividad numerable y el comportamiento respecto de sucesiones crecientes o decrecientes de conjuntos. Estas propiedades son esenciales en toda la teoría posterior.

Tema 4. Extensiones de medidas.
En este tema se aborda uno de los problemas centrales de la teoría: cómo pasar de una medida definida inicialmente sobre una clase relativamente pequeña de conjuntos a una medida definida sobre una sigma-álgebra más amplia. Este procedimiento es indispensable para la construcción de la medida de Lebesgue.

1. Teorema de extensión de Hahn. Se estudia un resultado fundamental que permite extender ciertas medidas definidas en clases más elementales a contextos más generales.
2. Extensiones de medidas sigma-finitas. Se considera el caso especialmente importante de las medidas sigma-finitas, que es el que aparece en muchas situaciones relevantes del análisis y en particular en la construcción de la medida de Lebesgue.

Tema 5. Medida de Lebesgue-Stieltjes en R.
Este tema constituye uno de los momentos centrales de la primera unidad. A partir de la noción elemental de longitud de intervalos se construyen medidas sobre la recta real y se obtiene, como caso principal, la medida de Lebesgue. Se trata de una primera realización concreta de la teoría abstracta desarrollada en los temas anteriores.

1. Medida de Lebesgue-Stieltjes en R. Se introduce esta clase de medidas asociadas a funciones crecientes, que amplían de manera natural la idea de longitud y proporcionan una familia muy importante de ejemplos.
2. Medida de Lebesgue en R. Se obtiene como caso particular la medida de Lebesgue en la recta real, que será la referencia fundamental para el resto del curso y el punto de partida de la teoría de integración.

Tema 6. Funciones medibles.
Una vez construida la medida, el siguiente paso natural es estudiar las funciones compatibles con ella. En este tema se introduce la noción de función medible y se analizan sus propiedades estructurales básicas. Además, se estudian dos resultados fundamentales, los teoremas de Egoroff y de Lusin, que muestran que las funciones medibles comparten, en gran medida, comportamientos próximos a los de las funciones continuas.

1. Propiedades de las funciones medibles. Se estudia la estabilidad de la clase de funciones medibles bajo operaciones algebraicas y paso al límite, así como distintos criterios prácticos de medibilidad.
2. Teorema de Egoroff. Se demuestra que, bajo hipótesis adecuadas, la convergencia puntual de funciones medibles implica convergencia uniforme fuera de un conjunto de medida pequeña. Este resultado permite controlar mejor el paso al límite.
3. Teorema de Lusin. Se estudia el hecho de que una función medible puede aproximarse por funciones continuas en conjuntos grandes desde el punto de vista de la medida. Este teorema expresa de manera muy precisa la cercanía entre medibilidad y continuidad.

En esta segunda unidad didáctica se desarrolla la teoría de la integral de Lebesgue propiamente dicha. Una vez introducidas la medida de Lebesgue y las funciones medibles en la unidad anterior, el objetivo ahora es definir la integral, estudiar sus propiedades fundamentales y demostrar los teoremas de convergencia que la convierten en una herramienta especialmente potente. La unidad incluye además el estudio de los productos de espacios de medida, los teoremas de Fubini y Tonelli y una primera introducción a los espacios L^p, que desempeñan un papel central en el análisis moderno.

Tema 7. Integración (I).
En este tema se introduce la integral de Lebesgue en el caso de funciones no negativas. La construcción se realiza de manera progresiva, comenzando con funciones simples y extendiéndose después a funciones medibles generales. Junto a la definición, se estudian ya algunas de sus propiedades básicas y aparecen los primeros teoremas de convergencia, que muestran la gran robustez de esta teoría frente al paso al límite.

1. Integrales de funciones no negativas. Se define la integral de una función característica como la medida del conjunto correspondiente, después la de funciones simples no negativas y, finalmente, la integral de funciones medibles no negativas mediante un proceso de aproximación.
2. Aditividad de la integral con respecto al integrando. Se estudian las primeras propiedades lineales de la integral, fundamentales para su manejo posterior.
3. Teoremas de convergencia. Se introducen y demuestran resultados básicos como el lema de Fatou y el teorema de convergencia monótona, que constituyen una parte esencial de la teoría.

Tema 8. Integración (II).
Una vez construida la integral para funciones no negativas, en este tema se extiende al caso general de funciones integrables. A partir de la descomposición en parte positiva y parte negativa se define la integral de una función real o compleja y se estudian sus propiedades fundamentales. El tema culmina con el teorema de convergencia dominada de Lebesgue, uno de los resultados más importantes de toda la asignatura.

1. Funciones integrables e integrales. Se introduce la noción de función integrable a partir de sus partes positiva y negativa y se define su integral correspondiente.
2. Propiedades elementales de la integral. Se estudian propiedades estructurales como linealidad, monotonicidad, estimaciones básicas y compatibilidad con el valor absoluto.
3. Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue. Se demuestra uno de los resultados centrales de la teoría, que permite intercambiar límite e integral bajo una hipótesis de dominación adecuada.

Tema 9. Productos de espacios de medida (I).
En este tema se introduce la construcción de productos de espacios medibles y de espacios de medida. El objetivo es preparar el terreno para trabajar con funciones de varias variables y para construir la medida de Lebesgue en Rⁿ a partir de la medida en la recta real. Se trata de un paso fundamental para entender la integración en varias variables desde el punto de vista de la teoría de la medida.

1. Productos de espacios medibles. Se define la estructura medible producto a partir de los rectángulos medibles y de la sigma-álgebra generada por ellos.
2. Productos de espacios de medida. Se construye la medida producto y se estudian sus propiedades básicas.
3. Medida de Lebesgue en Rⁿ. Se aplica la construcción anterior al caso euclídeo, obteniendo la medida de Lebesgue en dimensión finita como una medida producto convenientemente completada.

Tema 10. Productos de espacios de medida (II).
Este tema completa el estudio de los productos de medidas con algunos de sus resultados más importantes. En particular, se desarrollan los teoremas de Fubini y Tonelli, que permiten calcular integrales sobre espacios producto mediante integrales iteradas. Se trata de resultados fundamentales tanto desde el punto de vista teórico como en las aplicaciones.

1. Productos tensoriales de medidas. Se profundiza en la estructura del producto de medidas y en su interpretación dentro del marco general de la teoría.
2. Teoremas de Fubini y de Tonelli. Se estudian los resultados que relacionan la integral sobre un espacio producto con las integrales iteradas sobre cada uno de los espacios de partida. Estos teoremas son esenciales para la integración en varias variables.
3. Complección del producto de medidas. Se analiza el paso a la compleción del producto de medidas y su relación con la medida de Lebesgue en espacios euclídeos.

Tema 11. Espacios de Lebesgue.
En este tema se introducen los espacios L^p, una de las familias de espacios funcionales más importantes de todo el análisis. A partir de la integral de Lebesgue se definen sus normas, se estudian desigualdades fundamentales y se analizan propiedades estructurales como la completitud, la densidad y la dualidad. Este tema muestra con claridad cómo la teoría de la medida y la integración desemboca de manera natural en el análisis funcional.

1. Desigualdades fundamentales. Se estudian las desigualdades de Hölder y de Minkowski, básicas para el trabajo con normas p y para el desarrollo de la teoría de los espacios L^p.
2. Teoremas de convergencia. Se analizan distintos resultados de convergencia en los espacios L^p y se prueba la completitud de estos espacios.
3. Espacios L^p(mu), 1 menor o igual que p menor que infinito. Se introducen los espacios L^p asociados a una medida arbitraria y se estudian sus propiedades principales.
4. El espacio L^infinito(mu). Se considera el caso p = infinito, que presenta características propias y requiere un tratamiento específico.
5. El espacio conjugado de L¹(mu). Se estudia la descripción del dual de L1.
6. Los espacios conjugados de L^p(mu), 1 menor que p menor que infinito. Se presentan los resultados fundamentales de dualidad para los espacios L^p.
7. Propiedades de densidad. Se estudian distintas familias densas en L^p, entre ellas las funciones continuas o las funciones simples, según el contexto.

En esta tercera unidad didáctica se amplía el marco de la teoría de la medida más allá de las medidas positivas. Se introducen las medidas signadas y complejas, se estudian sus descomposiciones fundamentales y se presentan algunos de los resultados más profundos y estructurales del curso, entre ellos el teorema de Radon-Nikodym y la descomposición de Lebesgue. Esta unidad ofrece una visión más amplia y madura de la teoría, y muestra hasta qué punto las ideas introducidas en los temas anteriores pueden desarrollarse en contextos más generales.

Tema 12. Medidas signadas.
En este tema se introducen las medidas signadas como generalización natural de las medidas positivas. Su estudio permite extender diversos conceptos y resultados de la teoría básica y conduce a descomposiciones muy importantes desde el punto de vista estructural.

1. Propiedades elementales de las medidas signadas. Se definen las medidas signadas y se estudian sus propiedades más básicas, prestando especial atención a la sigma-aditividad.
2. Teoremas de Hahn y de Jordan. Se presentan las descomposiciones fundamentales de una medida signada, que permiten entenderla como diferencia de medidas positivas adecuadas.
3. Las integrales como medidas signadas. Se interpreta la integración respecto de una función o de una medida en el marco de las medidas signadas, lo que permite conectar la teoría de la integración con la de las descomposiciones.

Tema 13. Medidas complejas.
Este último tema extiende todavía más el marco de la teoría al considerar medidas con valores complejos. En este contexto aparecen algunos de los resultados más profundos de la asignatura, que describen la relación entre medidas y densidades y permiten descomponer una medida con respecto a otra.

1. Propiedades elementales de las medidas complejas. Se introducen las medidas complejas y se analizan sus propiedades básicas, en particular las relacionadas con la sigma-aditividad y la variación total.
2. Teorema de Radon-Nikodym. Se estudia uno de los resultados fundamentales de la teoría de la medida, que caracteriza las medidas absolutamente continuas respecto de otra medida en términos de integración frente a una función densidad.
3. Descomposición de Lebesgue. Se presenta la descomposición de una medida en una parte absolutamente continua y una parte singular respecto de otra medida, culminando así una de las ideas estructurales más importantes del curso.