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| SUBJECT NAME |
| SUBJECT NAME |
INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DE HILBERT |
| CODE |
| CODE |
61023044 |
| SESSION |
| SESSION |
2023/2024 |
| DEPARTMENT |
| DEPARTMENT |
MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES
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| DEGREE IN WHICH IT IS OFFERED |
| DEGREE IN WHICH IT IS OFFERED |
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GRADO EN MATEMÁTICAS
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| COURSE |
| COURSE |
TERCER
COURSE
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| PERIOD |
SEMESTER 1
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| TYPE |
OBLIGATORIAS |
| CREDITS NUMBER |
| CREDITS NUMBER |
6 |
| HOURS |
| HOURS |
150 |
| LANGUAGES AVAILABLE |
| LANGUAGES AVAILABLE |
CASTELLANO |
La teoría de los espacios de Hilbert puede considerarse como una continuación natural de la teoría de los espacios euclídeos: un espacio de Hilbert es un espacio normado completo cuya norma procede de un producto interno. El producto interno permite introducir conceptos como ángulo, ortogonalidad o proyección ortogonal; la completitud permite introducir el concepto de base ortonormal. Todos estos conceptos de espacios euclídeos ascienden a espacios vectoriales de dimensión infinita tales como algunos espacios vectoriales de sucesiones de números complejos o de funciones. Son estos espacios infinito dimensionales los que confieren una gran utilidad a la teoría de los espacios de Hilbert por sus múltiples aplicaciones.
Introducción a los Espacios de Hilbert es una asignatura que en el plan de estudios de la titulación figura en el primer cuatrimestre del tercer curso. Tiene carácter obligatorio y se le asignan 6 ECTs.
La estructura operativa de los espacios de Hilbert es una herramienta fundamental en campos de las matemática, física e ingeniería como las ecuaciones en derivadas parciales, la mecánica cuántica, la teoría de la señal, la teoría de los procesos estocásticos de cuadrado integrable, la modelización de los mercados financieros, etc.
La teoría de los espacios de Hilbert constituye el núcleo a partir del cual se desarrolló el análisis funcional. Los conceptos subyacentes en los espacios de Hilbert son los conceptos de espacio vectorial y de producto interno. El producto interno define una norma aunque no toda norma proviene de un producto interno. En consecuencia, esta asignatura extiende por una lado el estudio de los espacios euclídeos y por otro lado tendrá una extensión a los espacios normados en una asignatura posterior.
Los conocimientos previos necesarios son esencialmente básicos y quedan perfectamente cubiertos con los contenidos de las siguientes asignaturas:
Funciones de una variable (I y II), Funciones de varias variables (I y II), Álgebra lineal (I y II).
Se requiere a su vez manejar con soltura los cálculos con números complejos. p.e, lo que se estudia en la asignatura Lenguaje matemático, conjuntos y números. Ocasionalmente, en algunos ejemplos, se utiliza algún resultado de la asignatura Variable Compleja aunque no se desarrolla ningún método de análisis complejo.
Recomendaciones generales: Al final de cada capítulo del texto base aparecen ejercicios propuestos de los que recomendamos que al menos se hagan de ocho a diez cada semana. Es muy importante que se intenten hacer insistentemente antes de consultar las soluciones propuestas en el apartado final del libro.
El equipo docente realizará la tutorización fundamentalmente a través del Curso Virtual. El Seguimiento del Aprendizaje se realizará mediante el curso virtual y los foros abiertos para ese fin. En él se habilitarán foros temáticos en los que el alumno podrá plantear sus dudas y trabajar junto con sus compañeros.
Tutorización telefónica en los horarios de guardia del profesor de la sede Central.
Tutorización postal.
Tutorización presencial (previa cita) en la Sede Central en los horarios de guardia del profesor.
Horario de guardia:
Martes de 10:00 a 14:00 horas.
Despacho: 2.95
Tfno 91 398 7350
Facultad de Psicología, C/ Juan del Rosal 10
COMPETENCIAS GENERALES
| CG4- Análisis y Síntesis |
| CG5- Aplicación de los conocimientos a la práctica |
| CG6- Razonamiento crítico |
| CG8- Seguimiento, monitorización y evaluación del trabajo propio o de otros |
| CG10- Comunicación y expresión escrita |
| CG13- Comunicación y expresión matemática, científica y tecnológica |
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COMPETENCIAS ESPECíFICAS
| CED1- Comprensión de los conceptos básicos y familiaridad con los elementos fundamentales para el estudio de las Matemáticas superiores |
| CED2- Destreza en el razonamiento cuantitativo, basado en los conocimientos adquiridos |
| CEP1- Habilidad para formular problemas procedentes de un entorno profesional, en el lenguaje matemático, de manera que faciliten su análisis y resolución |
| CEA4- Habilidad para detectar inconsistencias de razonamiento ya sea de forma teórica o práctica mediante la búsqueda de contraejemplos |
| CEA7- Habilidad para presentar el razonamiento matemático y sus conclusiones de manera clara y precisa, de forma apropiada a la audiencia a la que se dirige, tanto en la forma oral como escrita |
| CEA8- Capacidad de relacionar distintas áreas de las matemáticas |
| CE1- Razonamiento crítico, capacidad de evaluar trabajos propios y ajenos |
| CEP4- Resolución de problemas |
Los resultados específicos de la asignatura son:
Reconocer si un espacio vectorial tiene estructura de espacio de Hilbert o no. Estudiar la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la fórmula del paralelogramo.
Conocer las estructuras básicas en los espacios de Hilbert reales y complejos. Estudiar la herramienta básica: ortogonalidad.
Descomponer algunos espacios de Hilbert como suma directa de un subespacio cerrado y su ortogonal.
Encontrar mejores aproximaciones de vectores. Manejar los conceptos de proyección y sus aplicaciones.
Construir bases ortonormales en espacios de Hilbert concretos. Manejar los conceptos de desarrollo en bases ortonormales, el método de ortogonalización de Gram-Schmidt y las propiedades mas importantes de los espacios de Hilbert.
Familiarizarse con las propiedades básicas de los espacios l2 y L2.
Desarrollar funciones sencillas en serie de Fourier. Calcular la suma de series numéricas mediante series de Fourier. Conocer y ser capaz de estudiar la convergencia puntual y uniforme de algunas series de Fourier.
Verificar el teorema de representación de Riesz en casos concretos. Utilizar la dualidad en los espacios de Hilbert. Teoremas de caracterización de las formas lineales continuas en un espacio de Hilbert. Estudiar los operadores autoadjuntos y unitarios.
Conocer las propiedades básicas de la transformada de Fourier y de los operadores de convolución.
Reconocer los espacios de Hilbert con núcleo reproductor y en particular los espacios de Paley-Wiener. Aplicar el teorema de muestreo de Shannon.
2. Espacios con producto interno
3. El problema de la mejor aproximación
4. Bases ortonormales en un espacio de Hilbert
5. Series de Fourier clásicas
6. Operadores lineales acotados
7. La transformada de Fourier
8. Espacios de Hilbert con núcleo reproductor
El plan de trabajo se referirá al texto base Espacios de Hilbert y Análisis de Fourier: los primeros pasos, 2ª edición revisada, 2020, (A. García García y M.J. Muñoz Bouzo). En él se fijan tanto los contenidos del estudio como la notación, que puede cambiar en los distintos libros que tratan de la materia. En el Plan de Trabajo, se darán orientaciones concretas para el estudio de los temas, se insistirá en el tipo de ejercicios sobre los que el alumno deberá trabajar, y se indicará un cronograma temporal sobre la distribución de contenidos.
Gran parte de la formación recae sobre el trabajo personal del alumno con la bibliografía recomendada, básica y complementaria, siempre con la ayuda del profesor de la Sede Central de la UNED, los tutores y las tecnologías de ayuda de la UNED.
Los contactos con el equipo docente pueden ser: por teléfono, en su horario de guardia, presenciales en la Sede Central, previa cita, por e-mail, correo postal, y el curso virtual. Vamos a hacer hincapié en el curso virtual, porque está siendo una herramienta de enorme utilidad para los estudiantes en los últimos años.
En el foro de consultas generales se plantearán preferentemente cuestiones de caracter burocrático, de gestión o de procedimientos de evaluación.
En el foro de alumnos se podrán comunicar con los otros alumnos, no es un foro tutelado por lo que los profesores no se responsabilizarán del contenido del mismo.
Finalmente se crearán foros de cuestiones concretas: foros específicos de dudas sobre contenidos, que estarán orientados a la profundización y comprensión de los distintos temas. Los alumnos podrán realizar consultas razonadas y concisas sobre el tema.
ONSITE TEST
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| Type of exam |
| Type of exam |
Examen de desarrollo |
| Development questions |
| Development questions |
4 |
| Duration of the exam |
| Duration of the exam |
120 (minutes) |
| Material allowed in the exam |
| Material allowed in the exam |
Ninguno |
| Assessment criteria |
| Assessment criteria |
La Prueba consistirá en un examen escrito con varios problemas teóricos o prácticos, que podrán tener diversos apartados, y que no superarán en dificultad a los del Texto base. Se evaluarán los siguientes aspectos: -
Comprensión de los aspectos básicos -
Resolución de problemas en los que se demuestren las habilidades adquiridas. -
Formulación correcta en lenguaje matemático (claridad y precisión). - Desarrollo de argumentos lógicos con clara identificación de las hipótesis y las conclusiones.
De manera general conviene recordar de que todas las soluciones de los ejercicios de la Prueba Presencial deberán estar suficientemente justificadas. También se tendrá en cuenta la presentación de los ejercicios de la Prueba Presencial. La notación utilizada en las Pruebas Presenciales será la del texto base, existiendo la obligación de conocerla. |
| % Concerning the final grade |
| % Concerning the final grade |
90 |
| Minimum grade (not including continuas assessment) |
| Minimum grade (not including continuas assessment) |
5 |
| Maximum grade (not including continuas assessment) |
| Maximum grade (not including continuas assessment) |
10 |
| Minimum grade (including continuas assessment) |
| Minimum grade (including continuas assessment) |
4 |
| Coments |
| Coments |
Si el alumno no ha realizado la PEC, o si la nota de la Prueba Presencial de Febrero no alcanza el 4, la calificación de la asignatura es la nota de la prueba presencial. Para mayor precisión veáse el apartado, "¿Cómo se obtiene la nota final ?". La nota mínima en el examen para contabilizar la PEC es 4. En esta asignatura la nota de la PEC (calificada entre 0 y 1) se suma a la nota de la prueba presencial. La nota de la asignatura, cuando la calificación en la P.P. es mayor o igual 4, se la suma de ambas notas, siempre que esta suma no supere el 10. Para mayor precisión veáse el apartado, "¿Cómo se obtiene la nota final ?". |
CONTINUOUS ASSESSMENT TEST (PEC)
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| PEC? |
| PEC? |
Si |
| Description |
| Description |
La prueba de evaluación continua será opcional para los alumnos. Se realizará mediante: Cuestionario en línea, accesible a través de la plataforma virtual de la UNED. La prueba se realizará entre el día 1 y el 22 de diciembre. |
| Assessment criteria |
| Assessment criteria |
El cuestionario consiste en varias preguntas de desarrollo y / o tipo test. |
| Weighting of the PEC in the final grade |
| Weighting of the PEC in the final grade |
10% |
| Approximate submission date |
| Approximate submission date |
Entre el 1 y el 22 de diciembre |
| Coments |
| Coments |
En caso de que el alumno decida no realizar el cuestionario de evaluación continua la nota final será la de la Prueba Presencial. |
OTHER GRADEABLE ACTIVITIES
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| Are there other evaluable activities? |
| Are there other evaluable activities? |
No |
| Description |
| Description |
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| Assessment criteria |
| Assessment criteria |
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| Weighting in the final grade |
| Weighting in the final grade |
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| Approximate submission date |
| Approximate submission date |
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| Coments |
| Coments |
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How to obtain the final grade?
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La calificación final se obtendrá de la manera siguiente: si N es la nota obtenida en la Prueba Presencial de Febrero y T es la nota obtenida en la prueba de Diciembre (PEC), la nota final es: si N es estrictamente menor que 4, la nota es N. si N ≥ 4, la nota es: mínimo( N+T,10), es decir, el mínimo entre la nota de la Prueba Presencial de Febrero mas la nota de la PEC (evaluada entre 0 y 1) y 10. En la convocatoria de Septiembre no se tendrá en cuenta la nota de la P.E.C. |
Espacios de Hilbert y Análisis de Fourier: los primeros pasos
Autores: Antonio García García y María José Muñoz Bouzo
Ed: Sanz y Torres (2ª Edición Revisada), 2020.
El alumno seguirá las notaciones y terminología del libro en su estudio, pues ésta puede variar de unos libros a otros. La oficial será la del libro base.
El texto desarrolla los contenidos básicos de la asignatura "Introducción a los espacios de Hilbert". Se ha pretendido que el texto sea autocontenido.
Consta de un primer capítulo de introducción donde se resaltan algunas diferencias entre los espacios de dimensión finita y los de dimensión infinita y se introducen algunos ejemplos de espacios que se utilizarán a lo largo de todo el libro.
Los capítulos restantes (del 2 al 8) están dedicados específicamente a los contenidos de esta asignatura. Los conceptos fundamentales de cada tema van acompañados de un buen número de ejemplos. Los ejercicios al final de cada capítulo deben permitir al estudiante comprobar la adquisición de conocimientos. La segunda edición incorpora la corrección de las erratas detectadas y un capítulo final donde se resuelven los ejercicios propuestos en cada capítulo. La senda edición revisada incorpora además un capítulo final con más ejercicios propuestos y resueltos.
A lo largo del libro aparecen ciertos detalles técnicos, relacionados con la integración de Lebesgue, que se salvan de una manera formal. Aunque su conocimiento no es imprescindible para poder seguir la mayoría de los contenidos de este libro, se ha decidido incluir un apéndice en el que se introducen, de manera somera, los fundamentos y resultados más importantes de la integral de Lebesgue. También se comparan con los de la integral de Riemman.
Introduction to Hilbert Space de S.K. Berberian
Existen diversas impresiones en distintas editoriales de la segunda edición, p.e., en Oxford University Press (1961) o incluso una edición en castellano en la editorial Teide (1970) que aunque está descatalogada, sí existe en muchas bibliotecas. Libro de introducción a los espacios de Hilbert con númerosos ejercicios. No estudia sin embargo ni las series de Fourier clásicas, ni la transformada de Fourier ni operadores de convolución ni los espacios de Hilbert con núcleo reproductor.
An Introduction to Hilbert Space de N. Young
Es un texto de introducción a los espacios de Hilbert que se complementa con aplicaciones de la teoría a las soluciones de las ecuaciones en derivadas parciales y a la aproximación de funciones de variable compleja. Contiene númerosos ejemplos y ejercicios. No cubre la transformada de Fourier ni operadores de convolución ni los espacios de Hilbert con núcleo reproductor.
Fourier Analysis and Applications de C. Gasquet y P. Witomski
Es un magnífico texto de ampliación donde las nociones fundamentales del Análisis de Fourier se aplican en análisis de señales (análisis de tiempo-frecuencia, tiempo-escala y el procesado de señales). El libro original es en francés (ed. Dunod) aunque existe una traducción al inglés (1999, ed. Springer Verlag).
Curso Virtual. La UNED pone a disposición de los alumnos un curso virtual atendido por profesores en el cual se abren posibilidades como la comunicación con un tutor virtual que resolverá las dudas tanto generales como específicas de la asignatura, la comunicación entre alumnos de la asignatura en el foro de alumnos y además se irán abriendo foros con cuestiones específicas de temas concretos en el que los alumnos podrán intercambiar soluciones, correcciones a otros alumnos y en el que el profesor sólo intervendrá cuando sea necesario para reconducir el debate.
