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| SUBJECT NAME |
| SUBJECT NAME |
GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS Y SUPERFICIES |
| CODE |
| CODE |
61023067 |
| SESSION |
| SESSION |
2024/2025 |
| DEPARTMENT |
| DEPARTMENT |
MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES
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| DEGREE IN WHICH IT IS OFFERED |
| DEGREE IN WHICH IT IS OFFERED |
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GRADO EN MATEMÁTICAS
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| COURSE |
| COURSE |
TERCER
COURSE
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| PERIOD |
SEMESTER 2
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| TYPE |
OBLIGATORIAS |
| CREDITS NUMBER |
| CREDITS NUMBER |
6 |
| HOURS |
| HOURS |
150 |
| LANGUAGES AVAILABLE |
| LANGUAGES AVAILABLE |
CASTELLANO |
La geometría es una de las materias centrales de las matemáticas. Además de ser una de las disciplinas más antiguas, es también una de las que ofrece mayor número de aplicaciones.
Esta asignatura es una introducción a la rama de la geometría que se conoce por geometría diferencial. Es la geometría que surge al utilizar los métodos de cálculo diferencial e integral en el estudio de las figuras geométricas. Se estudian las curvas y superficies en el espacio euclidiano tridimensional que son los objetos más sencillos dentro de este tipo de geometría.
La geometría diferencial de curvas y superficies es la materia donde se introducen por primera vez las herramientas básicas de geometría diferencial. La geometría diferencial es una de las ramas más activas en investigación y tiene aplicaciones fuera y dentro de las matemáticas. Por ejemplo, fuera de las matemáticas, en física relativista o en diseño asistido por ordenador y dentro de las matemáticas podemos señalar que la conjetura de Poincaré, uno de los problemas más importantes dentro de la topología ha sido demostrada usando técnicas de geometría diferencial.
En la asignatura Geometría Diferencial, optativa de cuarto curso, se profundizará en el estudio de esta rama de la geometría.
Esta asignatura es integradora y es capaz de reunir y aplicar métodos de campos distintos de las matemáticas que el alumno debe conocer, al menos básicamente.
Se recomienda haber cursado previamente las siguientes asignaturas del grado:
Lenguaje matemático, conjuntos y números
Geometría básica
Funciones de una variable I y II
Funciones de varias variables I y II
Álgebra lineal I y II
Geometrías lineales
Introducción a las ecuaciones diferenciales
Campos y formas
Topología
Se llevará principalmente por la virtualización de la asignatura. El equipo docente y los tutores intercampus (si los hay) atenderán las consultas generales y de contenidos a través de los distintos foros del curso virtual.
Extraordinariamente también se puede utilizar el teléfono: 913987238 o el correo electrónico: cescudero@mat.uned.es. El horario de atención es: martes lectivos de 10:00 a 14:00 horas.
Competencias generales:
CG1 Iniciativa y motivación
CG2 Planificación y organización
CG3 Manejo adecuado del tiempo
CG4 Análisis y Síntesis
CG6 Razonamiento crítico
CG7 Toma de decisiones
CG8 Seguimiento, monitorización y evaluación del trabajo propio o de otros
CG9 Motivación por la calidad
CG10 Comunicación y expresión escrita
CG13 Comunicación y expresión matemática, científica y tecnológica
CG14 Competencia en el uso de las TIC
CG15 Competencia en la búsqueda de información relevante
CG16 Competencia en la gestión y organización de la información
CG18 Habilidad para coordinarse con el trabajo de otros
CG19 Compromiso ético (por ejemplo en la realización de trabajos sin plagios, etc.)
Competencias específicas:
CED1 Comprensión de los conceptos básicos y familiaridad con los elementos fundamentales para el estudio de las Matemáticas superiores
CED2 Destreza en el razonamiento cuantitativo, basado en los conocimientos adquiridos
CEP4 Resolución de problemas
CEA1 Destreza en el razonamiento y capacidad para utilizar sus distintos tipos, fundamentalmente por deducción, inducción y analogía
CEA2 Capacidad para tratar problemas matemáticos desde diferentes planteamientos y su formulación correcta en lenguaje matemático, de manera que faciliten su análisis y resolución. Se incluye en esta competencia la representación gráfica y la aproximación geométrica
CEA3 Habilidad para crear y desarrollar argumentos lógicos, con clara identificación de las hipótesis y las conclusiones
CEA4 Habilidad para detectar inconsistencias de razonamiento ya sea de forma teórica o práctica mediante la búsqueda de contraejemplos
CEA6 Habilidad para extraer información cualitativa a partir de información cuantitativa
CEA7 Habilidad para presentar el razonamiento matemático y sus conclusiones de manera clara y precisa, de forma apropiada a la audiencia a la que se dirige, tanto en la forma oral como escrita
CE1 Razonamiento crítico, capacidad de evaluar trabajos propios y ajenos
Conocimientos:
- Saber que es una curva o una superficie diferenciable.
- Conocer los invariantes locales del estudio de curvas y superficies: curvatura, torsión, primera y segunda formas fundamentales, curvatura media y de Gauss.
- Conocer los teoremas fundamentales y más importantes dentro de la teoría elemental de geometría diferencial de curvas y superficies.
- Conocer algunos teoremas globales de geometría diferencial.
- Conocer de modo básico la geometría intrínseca en una superficie, así como los objetos básicos dentro de esa geometría: métrica y geodésicas. Saber que la geometría intrínseca en una superficie puede ser muy diferente a la geometría euclidiana.
- Conocer el teorema egregio de Gauss y el teorema de Gauss para triángulos geodésicos y la relación entre elementos de geometría intrínseca y curvatura.
- Conocer el teorema de Gauss-Bonnet y la relación entre la curvatura y la topología.
Destrezas y habilidades:
- Dotar a un objeto de una estructura de curva o superficie diferenciable y así poder aplicar los métodos del análisis para la resolución de problemas referidos a tal objeto.
- Definir curvas y superficies por parametrizaciones, atlas y por ecuaciones implícitas.
- Cálculo de rectas y planos tangentes y normales.
- Cálculo de los invariantes de curvatura para curvas y superficies.
- Distinguir gráficamente el signo de la curvatura para una curva plana y el signo de la torsión en una curva espacial.
- Distinguir los puntos de una superficie que son elípticos, parabólicos e hiperbólicos.
- Distinguir propiedades e invariantes globales y locales.
- Medir ángulos y distancias en geometría intrínseca de una superficie.
- Obtención de geodésicas en ejemplos sencillos.
- Distinguir gráficamente lo que es una geodésica en una superficie.
- Relacionar la topología con la curvatura total de una superficie.
Competencias:
- Abre la posibilidad del estudio de la geometría diferencial más avanzada.
- Aplicar a problemas reales (ingeniería, diseño, visión por ordenador, teoría de control) herramientas avanzadas de análisis matemático dotando de estructura diferencial (de curva o superficie) a los objetos a estudiar.
- Abre la posibilidad de entender la física moderna: cosmología, relatividad, mecánica.
Curvas en el plano.
- Curvas en el plano.
- Recta tangente.
- Orientación, velocidad, longitud de arco.
- Sistema de referencia móvil.
- Curvatura.
- Fórmulas de Frenet.
- Interpretación geométrica de la curvatura.
- Teorema fundamental de curvas planas.
Curvas en el espacio.
- Curvas en el espacio.
- Recta tangente y plano osculador.
- Orientación, velocidad, longitud de arco.
- Sistema de referencia móvil.
- Curvatura y torsión de curvas espaciales.
- Fórmulas de Frenet.
- Interpretación geométrica de la torsión.
- Teorema fundamental de curvas espaciales.
Superficies.
- Cartas y superficies en el espacio.
- Superficies en implícitas.
- Curvas en una superficie. Plano tangente. Vector normal.
- Orientabilidad.
- Aplicaciones entre superficies.
- Aplicación tangente.
Geometría intrínseca.
- Primera forma fundamental.
- Medida de ángulos, longitudes de curvas y áreas en geometría intrínseca.
- Geodésicas.
- Entornos y coordenadas geodésicas.
- Isometrías.
Teoría clásica de superficies.
- Operador de Weingarten.
- Segunda forma fundamental. Secciones normales.
- Direcciones y curvaturas principales. Líneas de curvatura.
- Curvatura de Gauss y curvatura media.
- Direcciones y líneas asintóticas.
- Algunos teoremas globales.
Geometría intrínseca y curvatura de Gauss.
- Símbolos de Chistoffel.
- Teorema Egregio de Gauss.
- Teorema fundamental de superficies.
- Curvatura geodésica.
- Fórmula de Gauss-Bonnet y aplicaciones.
- El teorema de Gauss-Bonnet global.
El sistema fundamental de aprendizaje es el estudio del texto básico:
- Antonio F. Costa, Manuel Gamboa y Ana M. Porto, Geometría Diferencial de Curvas y Superficies, Sanz y Torres, Madrid 2018.
A la vez que se estudian los capítulos se deben realizar los ejercicios propuestos.
Se debe completar su estudio con los vídeos en el curso virtual de la asignatura.
ONSITE TEST
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| Type of exam |
| Type of exam |
Examen de desarrollo |
| Development questions |
| Development questions |
3 |
| Duration of the exam |
| Duration of the exam |
120 (minutes) |
| Material allowed in the exam |
| Material allowed in the exam |
Ningún tipo de material |
| Assessment criteria |
| Assessment criteria |
Corrección de los argumentos matemáticos. Redacción y presentación. Se penalizarán los errores matemáticos graves. |
| % Concerning the final grade |
| % Concerning the final grade |
90 |
| Minimum grade (not including continuas assessment) |
| Minimum grade (not including continuas assessment) |
5 |
| Maximum grade (not including continuas assessment) |
| Maximum grade (not including continuas assessment) |
10 |
| Minimum grade (including continuas assessment) |
| Minimum grade (including continuas assessment) |
4 |
| Coments |
| Coments |
Aunque aparece que el valor de la prueba presencial sobre la nota final es el 90%, en realidad puede llegar a ser el 100% si no se realiza la PEC. Ver final: ¿Cómo se obtiene la nota final? |
CONTINUOUS ASSESSMENT TEST (PEC)
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| PEC? |
| PEC? |
Si |
| Description |
| Description |
La prueba consistirá en la resolución de uno o dos ejercicios prácticos y será depositada por el alumno en la virtualización. La fecha de realización se anunciará en el curso virtual de la asignatura. |
| Assessment criteria |
| Assessment criteria |
Se valorará principalmente la corrección matemática. También se valorará la redacción y presentación. Todas las respuestas deben ser justificadas. |
| Weighting of the PEC in the final grade |
| Weighting of the PEC in the final grade |
Hasta el 10%, ver apartado final ¿Cómo se obtiene la nota final? |
| Approximate submission date |
| Approximate submission date |
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| Coments |
| Coments |
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OTHER GRADEABLE ACTIVITIES
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| Are there other evaluable activities? |
| Are there other evaluable activities? |
Si |
| Description |
| Description |
Durante el curso se valorará la posibilidad de entrega de ejercicios por parte de los estudiantes. Quienes entreguen los ejercicios hechos con la mayor calidad resolutiva y de presentación, podrán ver incrementada su nota ligeramente. Será, en todo caso, un proceso competitivo, y solo quienes realicen los ejercicios con mayor calidad verán su calificación incrementada. |
| Assessment criteria |
| Assessment criteria |
Se valorará principalmente la corrección matemática. También se valorará la redacción y presentación. Todas las respuestas deben ser justificadas. |
| Weighting in the final grade |
| Weighting in the final grade |
Redondeo de la nota hacia arriba. |
| Approximate submission date |
| Approximate submission date |
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| Coments |
| Coments |
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How to obtain the final grade?
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1. Si el estudiante realiza la PEC: a. Si obtiene en la Prueba Presencial o en la PEC una calificación inferior a 4: Nota final = Nota Prueba Presencial b. Si obtiene en la Prueba Presencial y en la PEC una calificación superior o igual a 4: Nota final = min (Nota Prueba Presencial + Nota PEC×0,1, 10) 2. Si el estudiante no realiza la PEC, o si obtiene una nota inferior a 4 en la PEC: Nota final = Nota Prueba Presencial |
Es conveniente adquirir la última impresión-edición del texto (hay una del año 2020), pues todos los años se corrigen las erratas detectadas.
- Otros libros de consulta:
- Amores Lázaro, A.M., Curso básico de curvas y superficies, Sanz y Torres, Madrid 2001.
- Cordero, L.A., Fernández, M., Gray, A., Geometría diferencial de curvas y superficies con Mathematica, Addison-Wesley Iberoamericana, S. A., Wilmintong, Delaware, E. U. A., 1995.
- do Carmo, M. P., Geometría diferencial de curvas y superficies, Alianza Universidad Textos, Madrid 1990.
- Hsiung, C-C., A first course in Differential Geometry, International Press, Cambridge MA, 1997.
- Millman, R. S. and Parker, G. D., Elements of Differential Geometry, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ., 1977.
- Montiel S. y Ros A., Curvas y superficies, Proyecto Sur de Ediciones, S. L., Granada 1997.
- O’Neill, B., Elementos de geometría diferencial, Noriega-Limusa, Mexico 1990.
- Pogorelov, A. V., Geometría Diferencial, Mir, Moscú 1994.
- Struik, D.J., Lectures on classical differential geometry, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1961.
- Thorpe, J.A., Elementary topics in differential geometry, U.T.M., Springer-Verlag, New York 1979.
- Ventura Araújo, P., Geometría Diferencial, IMPA, Rio de Janeiro 1998.
- Libros de ejercicios:
- Fedenko, A. S., Problemas de geometría diferencial, Editorial Mir, Moscú 1991.
- Lipschutz, M., Geometría Diferencial, Serie Schaum, MacGraw-Hill, México 1971. Tiene además una buen resumen teórico en cada tema.
- López de la Rica, A. y de la Villa Cuenca, A., Geometría Diferencial, Universidad Pontificia de Comillas, Madrid, 1997.
En el curso virtual encontrará diversos materiales de apoyo a la asignatura.
En la dirección www.uv.es/montesin/ pueden descargar el programa Superficies que puede ser de ayuda en algunos puntos de la asignatura.
En la siguiente dirección:
https://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Curves/Curves.html
pueden encontrar un catálogo de curvas famosas e históricas.
