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| SUBJECT NAME |
TEORÍA DE LA MEDIDA |
| CODE |
21152256 |
| SESSION |
2026/2027 |
| DEGREE IN WHICH IT IS OFFERED |
MÁSTER UNIVERSITARIO EN MATEMÁTICAS AVANZADAS
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| TYPE |
CONTENIDOS |
| CREDITS NUMBER |
7,5 |
| HOURS |
187.5 |
| PERIOD |
SEMESTER 1
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| LANGUAGES AVAILABLE |
CASTELLANO |
La teoría de la medida enlaza con un antiquísimo problema histórico: el de medir longitudes, áreas y volúmenes. Se trata de introducir los conceptos abstractos detrás de esas ideas geométricas: las medidas y la integración de funciones contra ellas. Se trabajarán álgebras de conjuntos (objetos a medir), construcciones de medidas (como las medidas producto), medidas con signo, comparaciones entre medidas, descomposiciones y derivadas, funciones medibles e integrables, espacios de funciones medibles, medidas como funcionales, y para finalizar, la existencia de medidas invariantes en una gran cantidad de grupos topológicos (medidas de Haar), y una introducción a las transformaciones que preservan medida y ergodicidad.
En general, conocimientos correspondientes al anterior primer ciclo de la licenciatura, o al Grado actual de la UNED (especialmente las asignaturas optativas de Espacios Normados, de 4º, y de Integral de Lebesgue, también de 4º.
El equipo docente realizará la tutorización a través del curso virtual. El seguimiento del aprendizaje se realizará mediante dicho curso virtual a través de las herramientas abiertas para ese fin. En él se habilitarán, en particular, foros temáticos en los que el alumno podrá plantear sus dudas y trabajar junto con sus compañeros. De forma excepcional se hará tutorización postal y/o telefónica de acuerdo a los siguientes datos: lunes de 9:00 a 13:00 horas. Facultad de Psicología, C/ Juan del Rosal 10, 28040-Madrid. Teléfono: 913987238.
Ver sección de Resultados de Aprendizaje
Conocimientos
CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación
CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios
CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades
CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster.
CE2 - Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos, las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, y las demostraciones rigurosas de los resultados relevantes.
CE1 - Saber abstraer las propiedades estructurales de los objetos matemáticos, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales. Ser capaz de utilizar un objeto matemático en diferentes contextos.
Destrezas y habilidades.
CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio
CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.
CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.
CE3 - Adquirir la capacidad de enfrentarse con la literatura científica a distintos niveles, desde libros de texto con contenidos avanzados hasta artículos de investigación matemática publicados en revistas especializadas.
CE4 - Saber analizar y construir demostraciones matemáticas, así como transmitir conocimientos matemáticos avanzados en entornos especializados.
Competencias:
CG1 Adquirir conocimientos generales avanzados en alguna de las áreas de las matemáticas
CG3 - Adquirir la metodología de la investigación en matemáticas.
MEDIDAS, CONJUNTOS MEDIBLES, FUNCIONES MEDIBLES E INTEGRABLES
- Medidas y conjuntos medibles.
- Funciones medibles.
- Integración de funciones no negativas.
- Integración de funciones arbitrarias.
- La derivada de Radon-Nikodym.
- Introducción a los espacios Lp .
- El Teorema de Riesz de representación de los duales de Lp con 1≤ p< ∞.
CONSTRUCCIONES DE MEDIDAS
- Medida exterior y medida de Carathéodory.
- Construcción de medidas exteriores.
- El Teorema de Carathéodory-Hahn: la extensión de una premedida a una medida.
- Construcciones de medidas particulares:
- Medidas producto: Los Teoremas de Fubini y Tonelli.
- Medida de Lebesgue en Rn.
- Funciones de distribución acumulativas y medidas de Borel en R.
MEDIDA Y TOPOLOGÍA
- Medidas con signo. Descomposiciones de Hahn y de Jordan.
- Medidas de Radon.
- El Teorema de Riesz-Markov.
- El Teorema de Riesz.
MEDIDAS EN GRUPOS TOPOLÓGICOS
- Grupos Topológicos.
- El Teorema de Kakutani del punto fijo.
- Medidas de Borel invariantes en grupos compactos.
- Transformaciones que preservan la medida y ergodicidad.
El sistema fundamental de aprendizaje es el estudio del texto básico. Las preguntas sobre el mismo se realizarán en los foros de la asignatura, siguiendo la metodología usual de enseñanza a distancia de la UNED.
ONSITE TEST
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| Type of exam |
| Type of exam |
Examen de desarrollo |
| Development questions |
| Development questions |
3 |
| Duration of the exam |
| Duration of the exam |
120 (minutes) |
| Material allowed in the exam |
| Material allowed in the exam |
Ningún material
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| Assessment criteria |
| Assessment criteria |
El examen constará de 3 ejercicios que podrán ser de tipo práctico (resolución de problemas y aplicaciones de la teoría) o teórico (cuestiones o demostraciones de resultados teóricos, o preguntas directamente relacionados con ellos).
El examen se puntuará sobre 10 puntos.
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| % Concerning the final grade |
| % Concerning the final grade |
100 |
| Minimum grade (not including continuas assessment) |
| Minimum grade (not including continuas assessment) |
5 |
| Maximum grade (not including continuas assessment) |
| Maximum grade (not including continuas assessment) |
10 |
| Minimum grade (including continuas assessment) |
| Minimum grade (including continuas assessment) |
5 |
| Coments |
| Coments |
Se realizará una PEC cuya fecha se avisará con antelación en la plataforma, será en diciembre o enero, antes de la semana de examenes. La calificacición del alumno será 90 % la nota del examen + 10% la nota de la PEC, siempre y cuando haya obteneido al menos un 5 en ambas pruebas y dicha nota sea igual o superior a la calificación del examen final. En caso contrario, la calificación final será la obtenida en el examen final.
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| CHARACTERISTICS OF THE IN-PERSON TEST AND/OR THE WORK |
CHARACTERISTICS OF THE IN-PERSON TEST AND/OR THE WORK
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| Requires presence |
| Requires presence |
Si |
| Description |
| Description |
Se realizará una PEC cuya fecha se avisará con antelación en la plataforma, será en diciembre o enero, antes de la semana de examenes. La calificacición del alumno será 90 % la nota del examen + 10% la nota de la PEC, siempre y cuando haya obteneido al menos un 5 en ambas pruebas y dicha nota sea igual o superior a la calificación del examen final. En caso contrario, la calificación final será la obtenida en el examen final.
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| Assessment criteria |
| Assessment criteria |
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| Weighting of the in-person test and/or the assignments in the final grade |
| Weighting of the in-person test and/or the assignments in the final grade |
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| Approximate submission date |
| Approximate submission date |
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| Coments |
| Coments |
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| CONTINUOUS ASSESSMENT TEST (PEC) |
CONTINUOUS ASSESSMENT TEST (PEC)
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| PEC? |
| PEC? |
Si,PEC no presencial |
| Description |
| Description |
Se realizará una PEC cuya fecha se avisará con antelación en la plataforma, será en diciembre o enero, antes de la semana de examenes. La calificacición del alumno será 90 % la nota del examen + 10% la nota de la PEC, siempre y cuando haya obteneido al menos un 5 en ambas pruebas y dicha nota sea igual o superior a la calificación del examen final. En caso contrario, la calificación final será la obtenida en el examen final.
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| Assessment criteria |
| Assessment criteria |
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| Weighting of the PEC in the final grade |
| Weighting of the PEC in the final grade |
máximo del 10%, siempre que el alumno haya obtenido al menos un 5 en ambas pruebas. |
| Approximate submission date |
| Approximate submission date |
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| Coments |
| Coments |
la fecha de la PEC se publicará con antelación en la plataforma, será en diciembre o enero, antes de la semana de examenes.
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OTHER GRADEABLE ACTIVITIES
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| Are there other evaluable activities? |
| Are there other evaluable activities? |
No |
| Description |
| Description |
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| Assessment criteria |
| Assessment criteria |
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| Weighting in the final grade |
| Weighting in the final grade |
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| Approximate submission date |
| Approximate submission date |
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| Coments |
| Coments |
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How to obtain the final grade?
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Se realizará una PEC cuya fecha se avisará con antelación en la plataforma, será en diciembre o enero, antes de la semana de examenes. La calificacición del alumno será 90 % la nota del examen + 10% la nota de la PEC, siempre y cuando haya obteneido al menos un 5 en ambas pruebas y dicha nota sea igual o superior a la calificación del examen final. En caso contrario, la calificación final será la obtenida en el examen final.
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Los alumnos deben disponer del texto base, sobre el que pueden formular preguntas.
Existen otras ediciones del libro de texto Real Analysis. Aunque se seguirá la 4ª edición, la 3ª edición también es recomendable.
El curso virtual, y la atención en foros, correo electrónico y teléfono.
Horarios de
TEORÍA DE LA MEDIDA
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