asignatura master 2024

El objetivo de este curso es presentar la teoría y las aplicaciones contemporáneas del álgebra lineal avanzada.

Suele ser común encontrar dificultades al pasar de las matemáticas básicas a las matemáticas avanzadas. Uno de los objetivos del curso es hacer esa transición lo más suave posible en el campo del álgebra lineal. Por tanto, cada sección contiene un material básico junto con explicaciones accesibles, y también ejemplos y ejercicios variados. Además cada sección también contiene partes que profundizan bastante en la materia y ejemplos para hacer pensar, y ejercicios que guían al estudiante a temas avanzados.

El álgebra lineal está en el núcleo de las ciencias aplicadas, pero no hay consenso sobre lo que se considera álgebra lineal aplicada. Por un lado hay aplicaciones bastante académicas y, por otro, temas más prácticos como pueden ser precisión numérica, eficiencia, etc. En este curso se tratarán ambos tipos de aplicaciones, en especial consideraciones prácticas de tipo numérico y de implementación de algoritmos.

Es necesario que el alumno haya realizado un curso básico de álgebra lineal.

Conceptos que se darán por asumido son:
 -Ecuaciones lineales: resolución por el método de eliminación de Gauss.
 -Álgebra matricial: multiplicación de matrices, inversas, determinantes.
 -Espacios vectoriales: subespacios, núcleo, imagen, independencia lineal, bases, dimensión, rango, transformaciones lineales, cambios de base.

El libro de la bibliografía básica trata estos temas en las primeras 4 secciones, por tanto, puede ser recomendable un repaso de estos conceptos, para habituarse a la notación y para afianzar los conceptos mediante los ejemplos y las aplicaciones propuestas.

El Equipo Docente realizará la tutorización y el seguimiento de los estudiantes fundamentalmente a través del curso virtual de la asignatura. El estudiante también se podrá poner en contacto con el Equipo Docente los miércoles lectivos de 15:30 a 19:30h, de las siguientes formas:

• Telefónica:  913988775
• e-mail: rcanogar@mat.uned.es

COMPETENCIAS BÁSICAS

CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación

CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio

CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios

CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades

CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

COMPETENCIAS GENERALES

CG1 - Adquirir conocimientos generales avanzados en tres de las principales áreas de las matemáticas.

CG2 - Conocer algunas de las líneas de investigación dentro de las áreas cubiertas por el Máster.

 CG4 - Aprender a redactar resultados matemáticos.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

CE1 - Saber abstraer las propiedades estructurales de los objetos matemáticos, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales. Ser capaz de utilizar un objeto matemático en diferentes contextos.

CE2 - Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos, las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, y las demostraciones rigurosas de los resultados relevantes.

CE4 - Saber analizar y construir demostraciones matemáticas, así como transmitir conocimientos matemáticos avanzados en entornos especializados.

1. Conocimientos:
   • Conocer la factorización LU, Ortogonalización de Gram-Schmidt, reducción de Householder y la reducción de Givens.
   • Conocer la descomposición en valores singulares.
   • Conocer la forma canónica de Jordan y la teoría de funciones sobre matrices.
   • Conocer los métodos de ecuaciones de diferencias.
   • Entender teoría de Perron-Frobenius
2. Destrezas y habilidades
   • Comparación de los métodos para reducir una matriz a triangular superior (Gauss, Gram-Schmidt, Householder y Givens).
   • Saber calcular la forma canónica de Jordan de cualquier matriz y cómo calcular la imagen de una función a una matriz cualquiera.
   • Saber aplicar los métodos de Jacobi, Gauss-Seidel y SOR.
   • Poder aplicar la teoría de Perron-Frobenius a casos concretos y en especial a las cadenas de Markov.
3. Competencias
   • Conocer los diferentes métodos para resolver un sistema lineal y conocer en qué contextos es mejor uno que otro.
   • Aplicar los conocimientos de la forma canónica de Jordan para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
   • Poder implementar los métodos de ecuaciones de diferencias.
   • Saber analizar cadenas de Markov concreta.

Tomado de la introducción del libro básico:

"Reaccionando a las críticas por la falta de motivación en sus escritos, Gauss comentó que los arquitectos de las grandes catedrales no oscurecían la belleza de su trabajo dejando los andamios permanentemente. Su filosofía caracteriza la presentación formal y la educación en matemáticas durante el siglo XIX y XX. La eficiencia y la belleza de la materia son comprometidas si uno se aleja demasiado del punto de vista de Gauss. Sin embargo, como muchas cosas en la vida, el darse cuenta de la belleza de las cosas va precedido del entendimiento junto con la madurez, y en matemáticas esto se consigue al ver parte del andamiaje.

Para mostrar parte del andamiaje, se utilizan narraciones, ejemplos y resúmenes, en lugar del clásico desarrollo de definición-teorema-demostración. Pero mientras que un buen ejemplo puede ser más efectivo para el entendimiento de la materia que una demostración rigurosa, es importante que los estudiantes tengan a su disposición el rigor. Por tanto, aunque la lógica y el rigor no serán el principal empuje, siempre estarán disponibles. En el texto no se utilizan las denominaciones de definiciones, teoremas y definiciones, sin embargo las definiciones, los teoremas y las definiciones existen y sin nombrarlos explícitamente serán claramente visibles."

Esto hace que el texto base sea idóneo para su estudio sin el complemento de clases presenciales, pero con el apoyo a distancia del profesor.
 

 Esta asignatura tiene varios recursos de apoyo:

* El curso virtual será el principal apoyo de estudio.

* Al comprar el libro de texto, se incluyen dos materiales adicionales:

  1. Un manual de soluciones de los ejercicios propuestos en el libro de texto.

  2. Un CD con el libro de texto en PDF y con material de soporte como son biografías de matemáticos, referencias históricas sobre cálculo de autovalores, etc.

La segunda edición del libro es de Mayo de 2023 y se puede pedir en diferentes librerías online o la recomendada por al editorial:

https://www.eurospanbookstore.com/book/detail/matrix-analysis-and-applied-linear-algebra/?k=9781611977431

También se puede utilizar la primera edición para estudiar la asignatura.