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| SUBJECT NAME |
| SUBJECT NAME |
MÉTODOS MATEMÁTICOS III |
| CODE |
| CODE |
61042053 |
| SESSION |
| SESSION |
2025/2026 |
| DEPARTMENT |
| DEPARTMENT |
FÍSICA INTERDISCIPLINAR
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| DEGREE IN WHICH IT IS OFFERED |
| DEGREE IN WHICH IT IS OFFERED |
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GRADO EN FÍSICA
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| COURSE - PERIOD - TYPE |
-
SEGUNDO
COURSE
-
SEMESTER 2
- OBLIGATORIAS
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| CREDITS NUMBER |
| CREDITS NUMBER |
6 |
| HOURS |
| HOURS |
150 |
| LANGUAGES AVAILABLE |
| LANGUAGES AVAILABLE |
CASTELLANO |
El objetivo de esta asignatura de la materia de Métodos Matemáticos de la Física es profundizar en la formación matemática que el alumno que estudia el Grado en Física debe poseer. Es importante no sólo por sus propios contenidos sino también porque está en la base matemática de algunas de las asignaturas que deberá cursar. Sus contenidos se usarán como herramienta y fundamentación matemática básica de algunas de las disciplinas de la física y es necesario dominarlos para aforntar con éxito asignaturas obligatorias como Física Cuántica I y II, Mecánica Teórica, Electrodinámica Clásica, Métodos Matemáticos IV, Mecánica Estadística y Física de Fluidos.
Se trata de una teoría motivada por la descripción de fenómenos que dependen lineal o nolinealmente del tiempo y del espacio. Se estudiarán las ecuaciones las ecuaciones diferenciales no lineales que aparecen en la formulación de muchos problemas de la física, en mecánica clásica, en óptica, en sistemas dinámicos, en física estadística, etc. y las ecuadiones en derivadas parciales, que como ocurre en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias, tienen soluciones que no son solo valores numéricos, sino funciones. Unas funciones que, además, dependen de otras funciones, en forma de condiciones iniciales y de contorno, las cuales definen su relación con el entorno del dominio de trabajo y cómo es la distribución inicial del sistema estudiado.
Este curso es introductorio y se estudian, únicamente, un reducido conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales y sistemas autónomos de orden dos así como, básicamente, las ecuaciones en derivadas parciales lineales más relevantes de segundo orden. No por ello dejan de limitar severamente el alcance del curso, en tanto en cuanto la riqueza de una ecuación viene definida por la variedad de ámbitos en los que tiene interés, no por la mayor o menor complejidad que tenga. Las ecuaciones del calor-difusión, la de ondas o la de Laplace, a pesar de su simplicidad formal, tienen una presencia incuestionable en multitud de dominios de la física, química, biología e ingeniería. El análisis de estas ecuaciones con la ayuda de muchos problemas, ayudará más a aprehender la esencia de las ecuaciones en derivadas parciales que un recorrido por el inacabable catálogo de todas las euaciones existentes.
Nos fijaremos en la construcción de soluciones explícitas. El número de casos en los que esto es posible es excepcional. Sin embargo, todos estos ejemplos son enormemente instructivos puesto que permiten centrarnos en un análisis de la física del problema, que es mucho más dificultoso, sino imposible, en los casos en los que los códigos de ordenador a los que hay que recurrir, ocultan los procesos físicos de interés.
Es importante que los alumnos que van a estudiar esta asignatura supere previamente las asignaturas de Métodos Matemáticos I y Métodos Matemáticos II, que les van a permitir adquirir los conocimientos básicos necesarios de ecuaciones diferenciales ordinarias y de funciones de variable compleja.
Para abordar el estudio de esta asignatura en las mejores condiciones posibles, es esencial que los alumnos tengan conocimientos matemáticos previos, en concreto de las áreas de análisis matemático, geometría, ecuaciones diferenciales ordinarias y variable compleja. Es importante que los alumnos que van a estudiar esta asignatura superen previamente las asignaturas de Métodos Matemáticos I y Métodos Matemáticos II, que les van a permitir adquirir los conocimientos básicos necesarios de ecuaciones diferenciales ordinarias y de funciones de variable compleja.
Con el fin de facilitar su incorporación a la asignatura, también es muy conveniente el conocimiento de la lengua inglesa, dado que la mayor parte de la bibliografía de esta rama científica está escrita en inglés.
Las labores de tutorización y seguimiento de la asignatura se llevan a efecto a través de las herramientas de comunicación del curso virtual (correo electrónico y foros de debate).
Los Foros moderados por el equipo docente no estarán habilitados en periodos no-lectivos (vacaciones y época de exámenes).
Por otra parte, los estudiantes podrán estar siempre en contacto con los profesores de la asignatura por correo electrónico o entrevista personal.
Las guardias del Equipo Docente serán en los siguientes horarios:
Dr. César Fernández Ramírez (coordinador)
Horario: Martes, de 10:30 a 14:30
Correo electrónico: cefera@ccia.uned.es
Teléfono: 91 398 8902
Despacho: 0.10 (Centro Asociado de Las Rozas) Avda. Esparta s/n - 28232 Las Rozas
Dr. Casiano Hernández San José
Horario: Viernes, de 17:00 a 21:00
Correo electrónico: casianoh@ccia.uned.es
Teléfono: 91 398 7180
Despacho: 0.09 (Centro Asociado de Las Rozas) Avda. Esparta s/n - 28232 Las Rozas
COMPETENCIAS GENERALES
CG01: Capacidad de análisis y síntesis.
CG02: Capacidad de organización y planificación.
CG03: Comunicación oral y escrita en la lengua nativa.
CG04: Conocimiento de inglés científico en el ámbito de estudio.
CG06: Capacidad de gestión de información.
CG07: Resolución de problemas.
CG08: Trabajo en equipo.
CG09: Razonamiento crítico.
CG10: Aprendizaje autónomo.
CG11: Adaptación a nuevas situaciones.
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
CE01: Tener una buena comprensión de las teorías físicas más importantes: su estructura lógica y matemática, su soporte experimental y los fenómenos que describen; en especial, tener un buen conocimiento de los fundamentos de la física moderna.
CE02: Saber combinar los diferentes modos de aproximación a un mismo fenómeno u objeto de estudio a través de teorías pertenecientes a áreas diferentes.
CE04: Ser capaz de identificar las analogías en la formulación matemática de problemas físicamente diferentes, permitiendo así el uso de soluciones conocidas en nuevos problemas.
CE05: Ser capaz de entender y dominar el uso de los métodos matemáticos y numéricos más comúnmente utilizados, y de realizar cálculos de forma independiente, incluyendo cálculos numéricos que requieran el uso de un ordenador y el desarrollo de programas de software.
CE07: Ser capaz de identificar los principios físicos esenciales que intervienen en un fenómeno y hacer un modelo matemático del mismo; ser capaz de hacer estimaciones de órdenes de magnitud y, en consecuencia, hacer aproximaciones razonables que permitan simplificar el modelo sin perder los aspectos esenciales del mismo.
CE08: Ser capaz de adaptar modelos ya conocidos a nuevos datos experimentales.
CE10: Ser capaz de buscar y utilizar bibliografía sobre física y demás literatura técnica, así como cualesquiera otras fuentes de información relevantes para trabajos de investigación y desarrollo técnico de proyectos.
CE11: Ser capaz de trabajar con un alto grado de autonomía y de entrar en nuevos campos de la especialidad a través de estudios independientes.
El estudio de las ecuaciones diferenciales no lineales permitirá a los alumnos distinguir las propiedades de las ecuaciones de evolución y las ecuaciones para problemas estacionarios.
El estudio de las ecuaciones en derivadas parciales permitirá a los alumnos adquirir los conocimientos adecuados para tratar de solucionar los diversos problemas que plantea la física matemática y la técnica en los tiempos actuales. En este marco, se han de procurar alcanzar los siguientes resultados:
- Comprender contextos y situaciones del mundo físico real para poderlas interpretar mediante un modelo matemático.
- Comprender los procesos simbólicos y los procesos numéricos que nos permitan tratar el modelo matemático que más se aproxime al mundo real.
- Conocer la historia y los desarrollos recientes de las aplicaciones de las ecuaciones en derivadas parciales y sus perspectivas futuras, así como las distintas heurísticas o estrategias para el correcto planteamiento y resolución de los problemas de la física y de la técnica.
Para conseguir los resultados anteriores de la forma más eficiente posible, los alumnos deben mantener una actitud que les permita apreciar el valor formativo y cultural de la representación de fenómenos naturales en situaciones concretas mediante modelos de aproximación que permiten ser tratados con la herramienta de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
Tema 1. Las ecuaciones diferenciales no lineales: un primer contacto
La noción de oscilador, y la de vibración, es esencial para el estudio de la dinámica de las evoluciones no monótonas, y constituye un excelente ejemplo para introducirnos en las ideas de estructuración y complejidad en el tiempo. Empezaremos con un repaso al péndulo simple - del que sería un error pensar que es un problema trivial – y su contrapartida natural amortiguada. Nos preguntaremos qué es necesario para mantener las oscilaciones, analizando en detalle los osciladores de van der Pol y paramétrico, como casos de oscilaciones sostenidas que nos llevarán al concepto de ciclo límite.
Tema 2. Estabilidad lineal de puntos críticos
El cambio de comportamiento de un sistema no lineal está ligado a la idea de estabilidad de soluciones de un sistema. Las soluciones más simples las constituyen los puntos críticos y de cuantificarla nos ocuparemos en este tema, por medio de lo que se denomina principio de estabilidad lineal, que reduce el problema de la estabilidad a la resolución de un simple problema lineal.
Tema 3. Una simple teoría cualitativa de bifurcaciones locales de codimensión 1
La descripción de los ejemplos de los dos temas anteriores nos permite abordar de forma muy simple la noción de bifurcación, concepto fundamental en el estudio de los sistemas no lineales. Pasado el punto crítico en el espacio de parámetros del sistema, la observación de una ruptura se traduce, desde un punto de vista matemático, en lo que se denomina una bifurcación. Se trata simplemente de un cambio cualitativo en las soluciones de las ecuaciones. Como la dimensión del espacio de parámetros depende del sistema, hemos de liberarnos de toda restricción derivada de este hecho. Es cuando interviene el concepto de codimensión de una bifurcación. Desarrollaremos el caso más simple de codimensión igual a uno, sistematizando las bifurcaciones posibles y lo que llamaremos sus formas normales.
Tema 4. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales simples
En este tema se realizará una introducción a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP) simples mediante ejemplos y se abordará el problema de la clasificación de las EDP de segundo orden con coeficientes constantes.
Tema 5. Introducción a la ecuación del calor-difusión
En este tema se analizará la ecuación unidimensional del calor-difusión para diferentes condiciones iniciales y de contorno, se estudiará la distribución de equilibrio y posteriormente se generalizará a un número mayor de dimensiones.
Tema 6. Separación de variables y series de Fourier
Se estudia el método de separación de variables, de gran importancia y aplicación en los problemas de electromagnetismo y cuántica. Se estudianlso problemas de contorno y la determinación de los autovalores y las autofunciones que permiten escribir la solución general. A continuación se estudian las soluciones de tipo producto y los casos en los que se puede aplicar el principio de superposición. Para finalizar el tema se cubre el estudio de las funciones ortogonales y las series de Fourier.
Tema 7. Introducción a la ecuación de ondas unidimensional
Este tema cubre el estudio de la ecuación de ondas unidimensional, tratándose el paradigmático caso de la cuerda vibrante con extremos fijos. Para terminar se estudia el método de D'Alembert de resolución de la ecuación de ondas.
Tema 8. El problema de Sturm-Liouville
En este tema se aborda el problema de Sturm-Liouville y sus diferentes variantes, lo que permite detrminar los autovalores y autofunciones que permiten resolver problemas de este tipo.
Tema 9. Ecuaciones en varias dimensiones
En el último tema de la asignatura se generalizan las ecuaciones del calor-difusión y de ondas a dos y tres dimensiones, proporcionándose ejemplos. Se estudia el método de separación de variables multidimensional y el problema de autovalores asociado. Se estudia la ecuación de Bessel y sus soluciones, así como la ecuación de Laplace y sus soluciones y propiedades para concluir con el estudio de los polinomios de Legendre.
Antes de abordar el plan de actividades de la asignatura es conveniente hacer algunas consideraciones para el estudio de esta parte de las matemáticas en general y de esta asignatura en particular.
La metodología de la asignatura está basada en la enseñanza a distancia, en la que juega un papel primordial el trabajo autónomo dado el contexto específico de la UNED.
El sistema fundamental de aprendizaje será el de la lectura y estudio de la bibliografía básica. El alumno contará además con el apoyo de las tutorías y las preguntas al profesor mediante entrevista personal, correo ordinario, electrónico, teléfono, o a través del curso virtual.
Para el trabajo autónomo y la preparación de la asignatura, los alumnos disponen principalmente de una bibliografía básica acorde con el programa de la asignatura, así como materiales de apoyo telemático. De manera general, la docencia se impartirá a través de un curso virtual dentro de la plataforma educativa de la UNED, complementada con la asistencia personalizada del equipo docente y la tutorización presencial en los centros asociados.
Se considera que el trabajo autónomo debe corresponder aproximadamente al 60% del total de créditos de la asignatura. El tiempo dedicado a la lectura y comprensión del material docente debería estar en torno al 20% del total de créditos, y el otro 20% restante se deberá dedicar a la resolución de problemas y ejercicios.
Los estudiantes matriculados en esta asignatura dispondrán de:
1) Guía del curso, donde se establecen los objetivos prioritarios y los puntos básicos
2) Material didáctico complementario.
3) Programa, en el cual se establece la división del contenido de la asignatura por capítulos
4) Ejemplos de exámenes propuestos en cursos anteriores, como orientación sobre las pruebas presenciales que deberán realizar
Todos estos materiales de apoyo se encontrarán accesibles en la web de la UNED, en el espacio virtual de esta asignatura en la plataforma AGORA.
ONSITE TEST
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| Type of exam |
| Type of exam |
Examen de desarrollo |
| Development questions |
| Development questions |
3 |
| Duration of the exam |
| Duration of the exam |
120 (minutes) |
| Material allowed in the exam |
| Material allowed in the exam |
Ninguno |
| Assessment criteria |
| Assessment criteria |
Durante el curso, los alumnos tendrán la posibilidad de optar porque una parte de su evaluación sea continua a través de actividades prácticas que tendrán lugar a lo largo del curso, y otra parte de evaluación asociada a la calificación de una prueba presencial. Las pruebas de evaluación continua tiene carácter voluntario y, si se realizan, podrán tener un peso en la nota final de hasta el 20% de la calificación final. Las Pruebas de Evaluación Continua serán tenidas en cuenta en la calificación final sólo si se obtiene una puntuación igual o superior a 4 sobre 10 en la Prueba Presencial. La prueba presencial constará de un examen que contendrá de entre tres y cuatro problemas a resolver. La puntuación de cada uno de ellos dependerá de su grado de dificultad y extensión. Se valorará la exactitud del procedimiento seguido en la resolución. Las pruebas de evaluación continua no son tenidas en cuenta para la calificación final en el caso de exámenes extraordinarios de fin de carrera (convocatoria de diciembre). |
| % Concerning the final grade |
| % Concerning the final grade |
100 |
| Minimum grade (not including continuas assessment) |
| Minimum grade (not including continuas assessment) |
5 |
| Maximum grade (not including continuas assessment) |
| Maximum grade (not including continuas assessment) |
10 |
| Minimum grade (including continuas assessment) |
| Minimum grade (including continuas assessment) |
4 |
| Coments |
| Coments |
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CONTINUOUS ASSESSMENT TEST (PEC)
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| PEC? |
| PEC? |
Si |
| Description |
| Description |
Se propondrán dos PECs, de realización voluntaria, que constarán de ejercicios similares a los propuestos en las pruebas presenciales. |
| Assessment criteria |
| Assessment criteria |
Se valorará la exactitud del procedimiento seguido en la resolución. |
| Weighting of the PEC in the final grade |
| Weighting of the PEC in the final grade |
20% |
| Approximate submission date |
| Approximate submission date |
|
| Coments |
| Coments |
Las Pruebas de Evaluación Continua serán tenidas en cuenta en la calificación final sólo si se obtiene una puntuación igual o superior a 4 sobre 10 en la Prueba Presencial. |
OTHER GRADEABLE ACTIVITIES
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| Are there other evaluable activities? |
| Are there other evaluable activities? |
No |
| Description |
| Description |
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| Assessment criteria |
| Assessment criteria |
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| Weighting in the final grade |
| Weighting in the final grade |
0 |
| Approximate submission date |
| Approximate submission date |
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| Coments |
| Coments |
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How to obtain the final grade?
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Si se ha obtenido una calificación superior o igual a 4 sobre 10 en la Prueba Presencial, para obtener la calificación final se calcularán la siguientes tres cantidades: 1) Nota de la Prueba Presencial;
2) 0,2*(suma notas 2 PECs) + 0,8*(Nota Prueba Presencial);
3) 0,2*(nota de la PECs) + 0,8*(Nota Prueba Presencial). La nota final será la MAYOR de las tres cifras. En estas fórmulas, las PECs no entregadas calificarán como 0. Obviamente, si no se entrega ninguna PEC, la calificación más alta será la 1) y por construcción, las PECs nunca contribuirán a reducir la calificación obtenida en el examen. En el caso de que el alumno no obtenga una calificación igual o superior a 4 sobre 10 en la Prueba Presencial, la califiación final de la asignatura será la nota de la Prueba Presencial. |
El contenido de los temas de esta asignatura se desarrolla en la primera parte de la obra citada como bibliografía básica.
Todo el temario se puede ver complementado en el libro de H. Weinberger “Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales” de la editorial Reverté.
Por la gran cantidad de ejercicios y ejemplos prácticos sobre problemas relacionados con la física matemática, es conveniente también utilizar el libro de M. R. Spiegel, “Matemáticas Avanzadas para Ingeniería y Ciencias”, de la editorial Mc Graw-Hill.
A través del curso virtual se pondrá a disposición de los alumnos diverso material adicional de apoyo al estudio: coleccion de problemas resueltos, acceso al programa Maple, códigos de cálculo, etc.
