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Contenidos
Bibliografía Básica
Bibliografía  Complementaria
Evaluación
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Cálculo Numérico I

CONTENIDOS

Unidad Didáctica I. Interpolación

TEMA 1. El tratamiento numérico de los problemas matemáticos
Orígenes y objetivos del Cálculo Numérico. Algunos problemas que se estudian en el Cálculo Numérico. El tratamiento numérico de los problemas matemáticos.

TEMA 2. El problema general de interpolación

Introducción a la teoría de la interpolación:
- Función interpoladora de otra. Polinomio de interpolación. Extrapolación.
El problema general de interpolación. Casos particulares:
- Interpolación polinomial clásica, de Taylor, de Hermite y trigonométrica.


TEMA 3. Construcción del polinomio de interpolación: Fórmula de Lagrange Construcción del polinomio de interpolación:
- Polinomio de Lagrange. Fórmula de Lagrange. Interpolación lineal.

Casos particulares:
- Polinomios de Lagrange para los problemas de interpolación de Taylor y Hermite.
- Simplificación de la fórmula de Lagrange cuando los puntos son equidistantes.

TEMA 4. Construcción del polinomio de interpolación por recurrencia: fórmula de Newton y métodos Aitken-Neville
Paso del polinomio de interpolación en n puntos al de n+1 puntos. Definición de diferencias divididas. Propiedades de las diferencias divididas. Fórmula de Newton del polinomio de interpolación. Cálculo de diferencias divididas. Estudio del error de interpolación.
- Relación entre diferencias divididas y derivadas.

Métodos Aitken-Neville.
- Fórmula básica. Estrategias de Aitken y Neville.

TEMA 5. Construcción del polinomio de interpolación usando diferencias finitas  Diferencias finitas:
- Diferencias progresivas, regresivas y centrales y relación entre ellas.
Propiedades de las diferencias finitas: Expresión del polinomio de interpolación usando diferencias finitas.
Fórmula de Newton progresiva y regresiva. Fórmula de Gauss progresiva y regresiva. Fórmula de Stirling. Otras fórmulas.


TEMA 6. Interpolación por funciones splines
Funciones splines. Interpolación por splines cúbicos.
Planteamiento, sistema que define la solución, existencia, unicidad y resolución.

Unidad Didáctica II. Derivación e integración numéricas

TEMA 7. Introducción a los problemas de integración y derivación numérica
Derivación numérica:
- Introducción, fórmula tipo y error.
Integración numérica:
- Introducción, fórmula tipo y error.
Algunas cuestiones sobre diferencias divididas:
- Derivación de diferencias divididas y derivadas sucesivas.

TEMA 8. Fórmulas de tipo interpolatorio
Fórmulas de derivación numérica de tipo interpolatorio. Fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio. Aproximación de derivadas de orden superior. Estudio del error en las fórmulas de tipo interpolatorio.
Simplificación y acotación del error.

TEMA 9. Fómulas usuales de derivación numérica
Derivadas de primer orden.
- Construcción de fórmulas y expresión del error.
Derivadas de orden superior.
- Contrucción de fórmulas y expresión del error.
Otros procedimientos de construcción de fórmulas de derivación numérica.
- Procedimiento basado en los desarrollos de Taylor de las f(xi). Errores de redondeo y truncatura. Cotas de estos errores.

TEMA 10. Fórmulas usuales de integración numérica
Generalidades y primeras fórmulas.
- Rectángulo, punto medio y trapecio. Errores e interpretación geométrica.
Fórmulas de Newton-Cotes.
- Fórmulas cerradas de Simpson y abiertas.
Otras fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio con expresión del error.

TEMA 11. Fórmulas de cuadratura de Gauss
Planteamiento del problema y condiciones para que una fórmula de cuadratura sea exacta para polinomios de grado n+q.
Fórmulas de cuadratura de Gauss.
- Construcción, exactitud, ventajas e inconvenientes y expresión del error.
Fórmulas de Gauss con función de peso. Fórmulas de Gauss-Legendre y Gauss-Chebyshev.

TEMA 12. Fórmulas de cuadratura compuestas
Introducción:
- Planteamiento, definición y obtención de fórmulas.
Fórmulas de cuadratura compuestas:
- Fórmulas del trapecio, rectángulo y Simpson.
Error en las fórmulas de cuadratura compuestas más usuales. Extrapolación de Richardson y método de Romberg.

Unidad Didáctica III: Aproximación de funciones

TEMA 13. Introducción a la teoría de aproximación
Planteamiento del problema. Espacios métricos y vectoriales normados. Seudométrica y seminorma. Aproximación de funciones.
Mejor aproximación en un subconjunto.
- Subconjuntos densos y cualesquiera.
Problemas usuales de aproximación de funciones.
- Aproximación uniforme de funciones continuas. Aproximación por mínimos cuadrados continua y discreta.

TEMA 14. Aproximación en espacios normados
Revisión de algunos conceptos:
- Compacidad. Conjuntos convexos. Espacios prehilbertianos. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Existencia de mejor aproximación en un subespacio de dimensión finita. Unicidad de la mejor aproximación en subespacios de dimensión finita.

TEMA 15. Aproximación en espacios prehilbertianos
Introducción y caracterización de la mejor aproximación en subespacios de dimensión finita.
- Condición necesaria y suficiente para que un elemento sea mejor aproximación de otro en un subespacio de dimensión finita.
Contrucción de la mejor aproximación.
- Sistema de ecuaciones lineales que determina la mejor aproximación en subespacios. Determinante de Gram.
Uso de bases ortogonales.
- Elementos ortogonales. Base ortogonal y ortonormal. Coeficientes y sumas de Fourier. Algoritmo de ortogonalización de Gram-Schmidt. Mejor aproximación en el traslado de un subespacio.

TEMA 16. Aproximación por mínimos cuadrados
Espacios prehilbertianos cualesquiera. Aproximación por mínimos cuadrados. Aproximación por mínimos cuadrados continua. Aproximación por mínimos cuadrados continua ponderada. Polinomios ortogonales.
- Definición, propiedades y relación recurrente. Polinomios de Legendre, Chebyshev, Laguerre y Hermite.
Aproximación por mínimos cuadrados discreta.

TEMA 17. Aproximación uniforme de funciones continuas: el teorema de Weierstrass
Introducción:

- Aproximación en un subconjunto y aproximación uniforme de funciones continuas por polinomios.
Polinomios de Bernstein. Teorema de Weierstrass.

TEMA 18. Aproximación uniforme de funciones continuas por polinomios de grado fijado
Caracterización de la mejor aproximación. Construcción de la mejor aproximación: algoritmo de Rémès. Polinomios de Chebyshev. Aproximación uniforme de funciones continuas por polinomios de bajo grado. Aproximación uniforme de funciones continuas por polinomios de dimensión finita.

Unidad Didáctica IV. Resolución aproximada de ecuaciones

TEMA 19. Métodos iterativos de resolución de ecuaciones: generalidades Planteamiento del problema. Teorema del punto fijo. Métodos iterativos de resolución de ecuaciones.
Estudio de la convergencia.
Estudio del error y orden de convergencia. Interpretación gráfica de los métodos iterativos.

TEMA 20. El método de Newton-Raphson
Deducción del método. Convergencia local y global del método. Caso de ecuaciones con raíces múltiples. Interpretación gráfica. Obtención de la raíz m-ésima positiva de un número positivo como ejemplo de aplicación práctica del método de Newton.

TEMA 21. Otros métodos usuales de resolución de ecuaciones
Método de bisección.
- Acotación del error
-Método de la secante o regula falsi.
- Métodos de Whittaker, regula falsi y de la secante.
- Interpretación gráfica.
- Ventajas e inconvenientes.
Otros métodos.
- Métodos de Müller, interpolación inversa, Aitken y Steffensen.

TEMA 22. Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales
Introducción: Métodos iterativos de resolución de sistemas.
- Convergencia del método.
El método de Newton-Raphson para sistemas.

TEMA 23. Ecuaciones polinómicas: localización de las raíces
Algoritmo de Horner para la evaluación de polinomios y derivadas de polinomios. Acotaciones de raíces: teorema de Sturm. Aproximación de raíces por el método de bisección.

TEMA 24. Ecuaciones polinómicas: su resolución aproximada
Método de Bairstow para la determinación de factores cuadráticos. El método de Graeffe. Estimación de una cota de error relativo de la solución aproximada en un método cualquiera. Caso de raíces coincidentes o muy próximas.

Unidad Didáctica V. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

TEMA 25. Algunas propiedades interesantes de las matrices
Revisión de algunos conceptos.
- Vectores propios, valores propios, polinomios característicos, radio espectral, matriz simétrica, matriz ortogonal, etc,.
Normas matriciales. Sucesiones matriciales.

TEMA 26. Métodos directos de resolución de sistemas lineales: el método de Gauss Métodos directos y métodos iterativos: Coste de los métodos directos.
Resolución de sistemas triangulares: Coste del método
El método de Gauss: Coste del método
Variantes de método de Gauss: elección de pivotes. Método de Jordan.

TEMA 27. Métodos directos. Otros métodos usuales
Descomposición de una matriz como producto de matrices triangulares
- Existencia de una descomposición en matrices no singulares.
Método de Cholesky para matrices simétricas definidas positivas: coste del método.
Otros métodos.
- Método de Givens y de Householder.
Error y acondicionamiento del sistema.

TEMA 28. Métodos iterativos de resolución de sistemas lineales
Limitación de los métodos directos. Métodos iterativos.
Condiciones necesarias y suficientes para la convergencia de métodos iterativos.
Construcción de métodos iterativos.

TEMA 29. Métodos iterativos usuales
El método de Jacobi.
El método de Gauss-Seidel.
- Ventajas sobre el método de Jacobi.
Métodos de relajación.
- Ventaja sobre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel
Convergencia de los métodos.

TEMA 30. Cálculo de valores propios e inversión de matrices
Cálculo de los valores propios
- Métodos directos e iterativos.
Métodos de determinación del polinomio característico
- Método de Krylov. Teorema de Cayley-Hamilton.
- Método de Leverrier modificado.
Métodos de transformación de matrices.
- Tridiagonalización de matrices reales y simétricas. Polinomio característico y valores propios en matrices tridiagonales.
Métodos para el cálculo del valor propio dominante.
- El método de potencias. Convergencia y modificación del método.
Inversión de matrices.
Método para mejorar la aproximación de la matriz inversa.

Unidad Didáctica VI: Resolución aproximada de ecuaciones diferenciales

TEMA 31. Ecuaciones en diferencias lineales
Ecuaciones en diferencias lineales
- Orden de una ecuación
Ecuaciones lineales de coeficientes constantes.
- Ecuación homogénea. Sistema fundamental de soluciones. Solución general de la ecuación homogénea y de la ecuación completa.

TEMA 32. Resolución de las ecuaciones en diferencias lineales de coeficientes constantes
Construcción de soluciones de la ecuación homogénea.
- Ecuación característica con raíces simples o múltiples.
Construcción de soluciones de la ecuación completa.
- Caso en que el segundo miembro es un polinomio o una función exponencial. Método de variación de constantes.
El método de Bernouilli de resolución de ecuaciones polinómicas.

TEMA 33. Métodos de resolución aproximada de problemas de condiciones iniciales en ecuaciones diferenciales ordinarias: el método de Euler
Introducción: El método de Euler.
- Interpretación gráfica.
Estudio del error.

TEMA 34. Otros métodos usuales de un paso para la resolución aproximada de problemas de valores iniciales
Formulación general. El método de Taylor.
- Métodos de Taylor más simples.
Métodos de Runge-Kutta.
- Métodos con una evaluación de función, con dos evaluaciones y métodos de Runge-Kutta clásico o de cuarto orden.

TEMA 35. Métodos de varios pasos lineales
Formulación general.
Métodos lineales de varios pasos usuales.
- Método de Simpson.
- Métodos de Adams-Bashforth y Adams-Moulton.
- Métodos de Nyström y Milne-Simpson.
Métodos predictor-corrector.

TEMA 36. Introducción a la resolución aproximada de problemas de contorno Problemas de contorno. Métodos de diferencias finitas. Métodos de tiro.