Cuneiform tablet, Plimpton 322, Columbia University.

 

  1. Cuneiform tablet, Plimpton 322, Columbia University.

    An old Babylonian tablet (1900 - 1600 BC), shown above, contains the so-called Pythagorean Theorem, except that it predates Pythagoras by a millennium or more. According to Neugebauer and Sachs (1946), the tablet lists in the two middle columns the numbers that satisfy the so-called Pythagorean Theorem. Specifically, from the left, the first column indexes the contents of the table (1, 2, 3, …), the second and the third the hypotenuse c and the leg a of a right triangle all in sexagesimal numbers. The fourth column shows (c/b)2 where b is the basis of the triangle. For instance, the 11th row shows 75, 45, and 1.5625 = (75/60)2. A translation of another Babylonian tablet preserved in the British museum states (John Heise):

    4 is the length and 5 the diagonal. What is the breadth? Its size is not known. 4 times 4 is 16. 5 times 5 is 25. You take 16 from 25 and there remains 9. What times what shall I take in order to get 9? 3 times 3 is 9. 3 is the breadth.
    If the Internet had been available in those days, the unknown Babylonian mathematician would get credit for establishing the Theorem, and Pythagoras (6th century BC, image from MacTutor History) would not be able to publish his theorem. He could still write a paper providing a proof — later Euclid found a more elegant proof which is now used in textbooks — or stating his discovery of irrational numbers, a corollary of the Theorem for which he sacrificed a hundred bulls to the gods. He could not state the same theorem in different words though; its substance is the same as that of the unknown Babylonian mathematician.

    If both "papers" were by the same author, s/he would be able to publish a paper for the Babylonian result, but a second paper may not be publishable if it claims originality of the theorem. A paper claiming the originality of the proof or a corollary, however, would be publishable.

    In short, the two versions should be different in substance. In principle, an author shouldn't be publishing the same result twice in different words.

 

Archivos en Mesopotamia 

 

http://www.arrakis.es/~mcj/p322.htm
Tabla Plimpton 322
El teorema de Pitágoras es, sin duda, el teorema más popular de toda la matemática. Ya se conocía desde tiempo de los babilonios y aparece por primera vez impreso en la tablilla (aprox. 1900-1600 a.C.) denominada Plimpton 322 (por tener ese número de la colección del mismo nombre) que se encuentra en la Columbia University Library (N.Y.). En ella, aparecen cuatro columnas de números entre las que se desprende un aceptable dominio de las ternas pitagóricas.
La tabla fué descifrada por Neugebauer y Sachs (Mathematical Cuneiform Texts -1945-) y ahí están las 6 primeras filas

 
Los números de la columna primera, tercera y cuarta (con fondo amarillo) son ternas pitagóricas. Parece que los babilonios llegaron a calcular estos valores según un elaborado procedimiento algebraico, hecho que no es en absoluto descartable. Pastor y Babini, refiriéndose a los pitagóricos, dicen: ´´[...aunque en el estudio de los tripletes no lograron la generalidad de los babilonios]´´
A partir de la expresión
a 2 + b 2 = c 2
dividiendo ambos miembros por b 2 resulta:
y haciendo el cambio de variable tenemos u 2 + 1 = v 2 expresión equivalente a
(v - u)(v + u) = 1
Haciendo el cambio de variable
obtenemos
De esta forma podemos obtener ternas pitagóricas sin más que dar valores a x e y

 
b a c (c/b) 2 δ x y
120 119 169 1,9834028 45º 14´ 23.038´´ 12 5
3456 3367 4825 1,9491586 45º 44´ 50.389´´ 64 27
4800 4601 6649 1,9188021 46º 12´ 45.553´´ 75 32
13500 12709 18541 1,8862479 46º 43´ 43.28´´ 125 54
72 65 97 1,8150077 47º 55´ 29.921´´ 9 4
360 319 481 1,7851929 47º 39´ 53.962´´ 20 9
2700 2291 3541 1,7199837 --- --- ---
960 799 1249 1,6927094 --- --- ---
600 481 769 1,6426694 --- --- ---
6480 4961 8161 1,5861226 --- --- ---
60 45 75 1,562500 --- --- ---
2400 1679 2929 1,4894168 --- --- ---
240 161 289 1,4500174 --- --- ---
2700 1771 3229 1,4302388 56º 44´ 17.133´´ 50 27
90 56 106 1,3871605 58º 6´ 33.15´´ 9 5
Además de las tres columnas con las ternas pitagóricas, aparece una cuarta columna que es la relación, al cuadrado, que existe entre la hipotenusa y uno de los catetos.
De esta forma podían conocer los ángulos de los triángulos rectágulos considerados. Podemos observar que la tabla parte de un ángulo δ de aproximadamente 45º y va aumentando hasta aproximadamente 60º. Sobre fondo gris están los valores de δ y los de x e y para calcular los lados del triángulo (En la tabla sólo aparecen los valores sobre fondo amarillo)

 
No es probable que los babilonios conocieran estas relaciones trigonométricas, pero pudieron llegar a dicho resultado a partir de los valores de x e y teniendo en cuenta que

 

Nota   Los valores que aparecen en la tabla marcados por --- quedan a cargo del lector interesado
http://www.personal.us.es/cmaza/mesopotamia/plimpton.htm
 

     El teorema de Pitágoras

Es indudable que, como en todas las culturas de la Antigüedad, las relaciones establecidas entre los lados de un triángulo rectángulo eran conocidas con cierto grado de generalidad. Sólo así es posible entender algunas aplicaciones y cálculos efectuados en problemas recogidos sobre diversas tablillas. La cuestión, como en todas estas culturas nuevamente, no consistirá en precisar su aplicabilidad, que suele ser amplia, sino determinar el grado de generalización alcanzado ya que cualquier demostración general parece fuera de su alcance. Las relaciones pitagóricas presentan una naturaleza funcional, son ante todo instrumentos de cálculo para resolver problemas y no relaciones que tengan importancia por sí mismas ante las cuales, en consecuencia, sea preciso determinar mediante criterios de validación abstractos su validez general.

Son tan fragmentarios y escasos los datos encontrados en los restos arqueológicos que cabe tropezar con aplicaciones faltas de cualquier generalización y, por el contrario, otras donde se destacan formas de cálculo sofisticadas para la época. Así, por ejemplo, en una tablilla del período seléucida, ya en el primer milenio, se han encontrado 19 problemas que han sido denominados de "longitud, anchura y diagonal".

"4 es la longitud, 3 la anchura. ¿Cuál es la diagonal?. La magnitud es desconocida".

Se presentan dos soluciones a este problema, en la primera se propone añadir la mitad de la longitud a la anchura
                                                                      ½ L + A = D
mientras que la segunda resuelve el problema sumando la tercera parte de la anchura a la longitud
                                                                     1/3 A + L = D
Evidentemente, estas soluciones sólo son válidas para triángulos rectángulos concretos, en particular el más sencillo donde          A = 3 , L = 4 , D = 5        así como todos los derivados del mismo multiplicando por un entero positivo estas dimensiones:     (3 k , 4k , 5 k) con k 0 Z
+

El período seléucida es muy tardío ya que empieza en el siglo IV a.C. con la ocupación del trono babilónico por el rey de origen griego Seleuco I. Sin embargo, frente a reglas tan concretas y de aplicación tan poco generalizada, se encuentran otros resultados que denotan un conocimiento mayor y anterior. Así, en el período babilónico tardío se encuentra un problema como:

"Sea una caña de 0;30. Desde arriba, desciende 0;06. ¿Cuánto se ha alejado de abajo?".

Considerando que, en su descenso, la caña de longitud 0;30 forma un triángulo rectángulo ABC siendo AB, BC los catetos vertical y horizontal y AC la hipotenusa, la solución propuesta por el escriba denota un conocimiento general de la relación de Pitágoras:

1. "Eleva al cuadrado 0;30, encontrarás 0;15".
                                    AC 2 = 0;302 = 0;15

2. "Resta 0;06 de 0;30, será 0;24".
                                   AB = 0;30 - 0;06 = 0;24

3. "Eleva al cuadrado 0;24, encontrarás 0;09.36".
                                  AB 2 = 0;242 = 0;09.36

4. "Resta 0;09.36 de 0;15, encontrarás 0;05.24".
                                                BC 2 = AC 2 - AB 2 = 0;15 - 0;09.36 = 0;05.24

5. "¿De qué es el cuadrado 0;05.24?. De 0;18. Sobre el suelo, está alejada 0;18".
                                                            BC = %BC 2 = %0;05.24 = 0;18

Se registra así una aplicación general de las relaciones existentes en un triángulo rectángulo que implica, naturalmente, el cálculo de raíces cuadradas. Es indudable que este cálculo es frecuente en la matemática mesopotámica en tanto el área de un campo cuadrado permite determinar la longitud de su lado o en los planteamientos de ecuaciones cuadráticas. Que esta situación estaba presente en la matemática de esta cultura es evidente a partir del ejemplo siguiente, donde se puede encontrar una aproximación numérica muy exacta al valor de %2.

La tablilla muestra un cuadrado atravesado por una diagonal dándose un número (30) que corresponde a un lado y dos números interiores:
                                                     1.24.51.10
                                                       42.25.35

Inmediatamente puede observarse que

30 x 1;24.51.10 = 42;25.35

y que el valor de este factor, cuando se eleva al cuadrado, es
                     1;24.51.10 2 = 1;59.59.59.38.01.40
En otras palabras, este factor es una aproximación a %2, de manera que lo que el escriba refleja en la tablilla es el lado del cuadrado (30) que al multiplicarlo por la aproximación a %2 le permite obtener la longitud de la diagonal (42;25.35).

Vuelve a surgir así la cuestión del cálculo de raíces cuadradas. Existen bastantes tablillas que muestran en dos columnas distintos números y sus cuadrados, resultados que pueden invertirse a la hora de hallar la raíz cuadrada de un número.

Los pequeños errores que se pueden encontrar en estas tablas denotan que son ejercicios para estudiantes en los que estos practicarían la correspondencia entre unos valores y otros. Sin embargo, mientras la relación de números x es correlativa, sus cuadrados dejan, naturalmente, huecos numéricos entre ellos. Caben, entonces, dos procedimientos aproximativos: O bien una interpolación lineal simplemente, lo que dará lugar a un error no despreciable, o un método basado en la media armónica que trabaja explícitamente Diofanto en el siglo III d.C.
Considérese entonces que ha de determinarse el valor de %2. Gracias a la tabla de cuadrados podemos encontrar una primera aproximación algo grosera pero, en todo caso, superior al valor buscado. Sea esta aproximación 1;30. Resulta que es         1;30 2 = 2;15
de manera que %2 < 1;30

Si se divide 2 entre la aproximación postulada:         2 / 1;30 < 2 / %2 = %2      se encuentra entonces una aproximación a %2 por defecto, es decir,      2 / 1;30 = 2 x 0;40 = 1;20 < %2

Pues bien, si 1;20 < %2 < 1;30   una mejor aproximación será:

½ (1;20 + 1;30) = 1;25 donde 1;25 2 = 2;00.25

Nuevamente, a esta aproximación por exceso le corresponderá otra por defecto,

2 / 1;25 = 1;24.42.21...
1;24.42.21

de modo que la media de ambas volverá a constituir una mejor aproximación:

½ (1;25 + 1;24.42.21...) = 1;24.51.10.35...

que coincide con el valor encontrado en la tablilla. La coincidencia del resultado alcanzado con el valor reflejado en la tablilla no es una prueba concluyente de que los mesopotámicos siguieran esta técnica de aproximación pero resulta una hipótesis creíble y coherente con otras formas de aproximación registradas en la época.


                         ¿Cómo es la tablilla Plimpton?

Quizá la más famosa de las tablillas mesopotámicas sea una de 13 x 9 cms aproximadamente, excavada de forma ilegal hacia 1920 en las ruinas de la ciudad de Larsa. Diversos aspectos de la misma, su aspecto tabular, la distribución de sus columnas, el período histórico característico de los documentos administrativos de Larsa permiten datar esta tablilla dentro de los sesenta años anteriores a la captura de la ciudad por Hammurabi en 1762 a.C. Es, por tanto, una tablilla del período babilónico tardío que fue a parar a manos de un editor neoyorquino, George Arthur Plimpton y donada a la universidad de Columbia en 1936, a su muerte, correspondiendo el 322 a su número de catálogo.

Presenta cuatro columnas de números que suelen denominarse, de izquierda a derecha, como I, II, III y IV, mostrándose el encabezamiento de las tres últimas columnas, no así de la primera que presenta, además de una melladura amplia en la parte superior, la ruptura de la tablilla en todo el lado izquierdo, siendo muy probable que la tabla continuara hacia ese lado con nuevas columnas cuya reconstrucción es objeto de todo tipo de discusiones.

La tablilla presenta los datos numéricos presentados en la tabla posterior. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que aparecen diversos errores corregidos según lo presentado por Robson.  Respecto a la tabla de Robson, se ha añadido en negrilla y cursiva, bajo el valor probablemente correcto, el número erróneo que aparece realmente en la tablilla.

Las letras que aparecen junto a los encabezamientos de cada columna son también actuales mientras que el número 1, que aparece entre paréntesis en la columna I, corresponde a una hipótesis que será también discutida. Por último, a la derecha de la columna IV, que señala tan sólo el número de la fila correlativamente, se ha añadido una quinta columna con un dato hipotético que podrá entenderse seguidamente.

I.

(d/l)2 ó (b/l)2

II

b

III

d

IV

 

 

l

(1) 59 00 15

1 59

2 49

1

2

(1) 56 56 58 14 50 06 15

56 07

1 20 25

3.12.01

2

57 36

(1) 55 07 41 15 33 45

1 16 41

1 50 49

3

1 20

(1) 53 10 29 32 52 16

3 31 49

5 09 01

4

3 45

(1) 48 54 01 40

1 05

1 37

5

1 12

(1) 47 06 41 40

5 19

8 01

6

6

(1) 43 11 56 28 26 40

38 11

59 01

7

45

(1) 41 33 45 14 03 45

(1) 41 33 59 03 45

13 19

20 49

8

16

(1) 38 33 36 36

8 01

9 01

12 49

9

10

(1) 35 10 02 28 27 24 26 40

1 22 41

2 16 01

10

1 54

(1) 33 45

45

1 15

11

1

(1) 29 21 54 02 15

27 59

48 49

12

40

(1) 27 00 03 45

(1) 27 03 45

2 41

7 12 01

4 49

13

4

(1) 25 48 51 35 06 40

29 31

53 49

14

45

(1) 23 13 46 40

28

56

53

15

45


                         Una interpretación pitagórica

Aparentemente, los datos numéricos presentes no siguen un modelo reconocible. Tan sólo en la más compleja columna I los números aparecen en forma decreciente. Sin embargo, es posible, en una segunda lectura, reconocer el modelo que subyace a los datos presentes. Para comprobarlo, considérese la fila 1.

Columna II: b = 1.59
Columna III: d = 2.49

Si elevamos al cuadrado ambos números:

b2 = 1.592 = 3.56.01
d2 = 2.492 = 7.56.01

Restando ambas cantidades se obtiene un cuadrado perfecto, a cuya raíz cuadrada podemos dar la denominación de l:

d2 - b2 = 7.56.01 - 3.56.01 = 4.00.00
l = %4.00.00 = 2.00

de forma que se cumpliría la relación pitagórica b2 + l2 = d2. Este hecho se puede comprobar en todos los casos.

Así pues, la tablilla Plimpton parece ser una colección de tripletas pitagóricas donde faltan los valores de uno de los catetos, quizá presentes en otra columna a la izquierda de los anteriores. Este hecho viene refrendado en gran medida por los encabezamientos de las columnas II y III que, respectivamente, vienen a indicar "el cuadrado del lado corto" y "el cuadrado de la diagonal". En acadio, la palabra "cuadrado" puede referirse también al lado de la figura cuadrada.

Sin embargo, no se obtienen tripletas pitagóricas de una forma aleatoria, máxime cuando los valores del cateto hipotético l son relativamente simples pero no así los correspondientes al otro cateto b ni a la hipotenusa d. Además, tampoco se observa ni presencia de relaciones pitagóricas simples (como la más sencilla 3,4,5) ni otras derivadas de las anteriores (para el caso anterior, 6,8,10 ó 9,12,15). Así pues, debe haber un método que permita generar tripletas de este tipo de forma que la tablilla sea una relación de los resultados obtenidos.

Es por este motivo que Neugebauer postula el conocimiento de los escribas mesopotámicos de la relación pitagórica que puede establecerse entre los tres números definidos a partir de otros más básicos p, q siempre que cumplan dos condiciones:

  • 1) p > q > 0.

  • 2) p y q no tienen divisores comunes salvo el 1 siendo, por tanto, primos entre sí.

  • La relación pitagórica sería:

    b = p2 - q2 l = 2 p q d = p2 + q2
    donde b2 + l2 = ( p2 - q2 )2 + ( 2 p q )2 = ( p2 + q2 )2 = d
    2

    A partir de los datos de la tablilla no resulta complicado hallar los valores p, q que corresponden en cada caso. Veamos su deducción para la filas 1

    b = p2 - q2 = 1.59
    d = p2 + q2 = 2.49

    Sumando:                                        2 p2 = 4.48 p2 = 2.24 p = 12

    de donde:                                      2.24 + q2 = 2.49 q2 = 25 q = 5

    De este modo, se puede defender una tabla que diera validez a las columnas II y III a partir de los valores originarios de p y q (tabla inferior). Los valores de p y q resultan sencillos estando todos incluidos en las conocidas tablas de recíprocos que construían en esta época. Sin embargo, no se comprende bien por qué escoger los valores que se presentan o, en otras palabras, qué criterio consideraría el escriba para tomar los valores p y q de la forma en que supuestamente lo hizo.

    A este respecto, se ha sugerido que la razón p/q (columna derecha de la tabla) desciende de forma monótona desde el primer valor (2;24) hasta el último (1;48) pero tampoco es posible justificar la importancia de esta variable p/q, aparentemente no utilizada para formar las tripletas pitagóricas, ni por qué debe oscilar específicamente entre estos valores.

    p

    q

    p2

    q2

    2pq

    II

    p2 - q2

    III

    p2 + q2

    IV

    p / q

    12

    5

    2 24

    25

    2 00

    1 59

    2 49

    1

    2;24

    1 04

    27

    1 08 16

    12 09

    57 36

    56 07

    1 20 25

    2

    2;22 13 20

    1 15

    32

    1 33 45

    17 04

    1 20 00

    1 16 41

    1 50 49

    3

    2;20 37 30

    2 05

    54

    4 20 25

    48 36

    3 45 00

    3 31 49

    5 09 01

    4

    2;18 53 20

    9

    4

    1 21

    16

    1 12

    1 05

    1 37

    5

    2;15

    20

    9

    6 40

    1 21

    6 00

    5 19

    8 01

    6

    2;13 20

    54

    25

    48 36

    10 25

    45 00

    38 11

    59 01

    7

    2;09 36

    32

    15

    17 04

    3 45

    16 00

    13 19

    20 49

    8

    2;08

    25

    12

    10 25

    2 24

    10 00

    8 01

    12 49

    9

    2;05

    1 21

    40

    1 49 21

    26 40

    1 48 00

    1 22 41

    2 16 01

    10

    2:01 30

    2

    1

    4

    1

    4

    3

    5

    11

    2

    48

    25

    38 24

    10 25

    40 00

    27 59

    48 49

    12

    1;55 12

    15

    8

    3 45

    1 04

    4 00

    2 41

    4 49

    13

    1;52 30

    50

    27

    41 10

    12 09

    45 00

    29 31

    53 49

    14

    1;51 06 40

    9

    5

    1 21

    25

    1 30

    56

    1 46

    15

    1;48


                       
         Una interpretación algebraica

    La aparente sencillez de los datos numéricos correspondientes a las columnas II y III junto a la hipotética columna que diera los datos del otro cateto l, contrastan con la misteriosa complejidad que presenta la columna I. Considerando los datos hasta ahora citados, es decir, la presencia de un triángulo rectángulo de catetos l (el mayor) y b (el menor) y de hipotenusa d, los datos de la columna I presentan dos posibilidades:

    1) Pueden corresponder a la operación ( d / l )2 siempre que se considere que falta un uno sistemáticamente (tal como se presenta en la primera tabla). Ello es perfectamente admisible por cuanto esa unidad puede haberse sobreentendido en el momento de escribir los datos de la columna I.
    2) Otra posibilidad es que los datos se ajusten a la operación ( b / l )2, en cuyo caso aparecerían correctamente escritos sin la unidad antecediéndolos.

    La gran extrañeza y el misterio que rodean a esta tablilla Plimpton reside en la necesidad que tuviera un escriba, dedicado aparentemente a escribir una relación de triadas pitagóricas, para calcular esa expresión. Desde el punto de vista trigonométrico, d/l y b/l corresponden a funciones trigonométricas que estaban lejos de los conocimientos mesopotámicos. Por ello, la hipótesis inicial de que la Plimpton fuera una tablilla trigonométrica ha de ser excluido. Ni tales funciones ni siquiera la noción de ángulo como tal pertenecían por entonces al acervo conceptual de la matemática mesopotámica. Otra cuestión sería si las relaciones d/l y b/l fueran importantes por algún motivo, preludiando entonces de una forma primitiva el concepto de dichas funciones trigonométricas.

    Los datos, hay que reconocer, son sugerentes. La razón b/l, en su valor inicial, es casi la unidad (0;59.00.15) correspondiendo entonces a una figura prácticamente cuadrada, de manera que el ángulo α fuera aproximadamente de 45º. El valor final (0;23.13.46.40) correspondería a una relación b/l sobre un ángulo de unos 30º (o 60º tomando la relación contraria entre los catetos), con la importante observación de que la columna I sería entonces la de los valores de esta relación entre catetos expresada de un modo monótono decreciente desde los mencionados 45º hasta los 30º. La regularidad de tal disminución induce a sostener, precisamente, que la columna I es la guía para la obtención de las triadas pitagóricas que le corresponden.

    Pese a ello cabe afirmar que la relación d/l ó b/l pueda tener importancia para definir la tabla, no tanto por la perspectiva anacrónica de que se establezcan unas funciones trigonométricas, sino por motivos distintos que no tienen nada que ver con ellas.

    Friberg plantea la posibilidad de que los datos en ella encerrados correspondan a un triángulo rectángulo "normalizado", entendiendo por tal aquel que se obtiene dividiendo la longitud b, l, d de los lados de un triángulo rectángulo por la longitud de uno de sus catetos (por ejemplo, l).

    De este modo, en el nuevo triángulo deducido del original se cumpliría la relación pitagórica:
    1 + (b/l)2 = (d/l)
    2
    o bien:   (d/l)2 - (b/l)2 = 1

    Ello justificaría el cálculo tanto de (b/l)2 como de (d/l)2 en la columna I por motivos distintos de los trigonométricos. Si lo que se pretendiese, entonces, es determinar las relaciones existentes en el triángulo rectángulo normalizado que puede construirse a partir del más general (l,b,d) de dimensiones presentes en las columnas II y III, habrá entonces que justificar la utilidad de este nuevo triángulo. ¿Para qué les podía servir el establecimiento de datos del triángulo rectángulo original y del normalizado?. ¿Qué aplicaciones se pueden encontrar a los mismos?.

    Hay que tener en cuenta que              (d/l)2 - (b/l)2 = 1           se puede escribir:

    (d/l + b/l) (d/l - b/l) = 1
    (d + b / l) (d - b / l) = 1

    que denota que ambos números son recíprocos:

    x = d + b / l
    1/x = d - b / l

    Ahora, si sustituimos b, l, d por su valor en función de p y q, se encuentra una interesante simplificación:

    x = d + b / l = p2 + q2 + p2 - q2 / 2pq = 2 p2 / 2 pq = p/q
    1/x = d - b / l = p2 + q2 - p2 + q2 / 2pq = 2 q2 / 2 pq = q/p

    Hay que recordar que este valor hipotético de p/q era, al igual que los valores de la columna I, monótonamente decreciente desde 2;24 hasta 1;48.

    Con estos resultados puede deducirse un posible camino de construcción de la tablilla Plimpton.

    1) Se consulta inicialmente la tabla de recíprocos para obtener p y q con p > q > 0. Con ello está garantizada la división tanto por p como por q.
    2) Se han escogido p y q primos entre sí para poder formar p/q (que actuará como x) y su recíproco q/p (que tomará el papel de 1/x).
    3) Se forman, en función de p y q, los valores característicos de las tripletas pitagóricas:
                                                            b = p2 - q2 l = 2 p q d = p2 + q
    2
    4) Se tiene en cuenta cualquiera de las dos siguientes posibilidades:
                                           x + 1/x = p/q + q/p = p2 + q2 / pq = 2 (d / l) = C
                                            x - 1/x = p/q - q/p = p2 - q2 / pq = 2 (b / l) = D
    5) Habiendo llamado C o D al resultado habido, resulta que desarrollando la suma o resta de un término y su recíproco, resulta
                                                             x + 1/x = C x2 + 1 = C x
                                                              x - 1/x = D x2 - 1 = D x

    6) Se tienen así ecuaciones cuadráticas que pueden presentarse a los estudiantes para su resolución. El método que se aplicaba a dicha resolución implicaba el cálculo inicial de (½ C)2 o bien (½ D)2 para luego sumarle la unidad, hallar su raíz cuadrada y, finalmente, sumarle o restarle el mismo término (½ C) o (½ D). Ahora bien, ese valor que debe calcular el estudiante inicialmente es      (½ C)2 = (d / l)2
                
    (½ D)2 = (b / l)2
    que resulta ser el que se presenta en la columna I.

    Desde el planteamiento de la construcción del triángulo rectángulo normalizado, por tanto, se ha podido llegar a postular el hecho de que los valores presentados en la tablilla Plimpton no respondan tan sólo al hecho de constituir triadas pitagóricas, sino que su funcionalidad se basa en servir de referencia para que el maestro de escribas, a partir de una serie de valores de una incógnita x (p/q), pueda construir los términos necesarios (columna I) para la resolución de ecuaciones cuadráticas que proponer a sus estudiantes.

     

     
    Historia de las Matemáticas    http://www.divulgamat.net/weborriak/Historia/HistoriaImagen/Babilonia.asp

    Historia de las Matemáticas a través de la imagen:

    Babilonia

    Desde el tercer milenio antes de Cristo los pueblos que habitaron entre los ríos Tigris y Eúfrates nos han dejado miles de tablillas de arcilla. En más de 500 de ellas apaprecen manifestaciones matemáticas que nos han permitido descubrir desde su sitema de numeración en base 60 a sus conocimientos sobre el teorema de Pitágoras

    De su afición a las observaciones astronómicas acerca de las posiciones de los planetas observables a simple vista Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno conservamos en la actualidad dos vestigios muy populares:

    - El horóscopo. Eran excelentes astrólogos, ellos bautizaron las doce constelaciones del zodíaco, dividiendo cada una de ellas en 30 partes iguales.
    Es decir, dividieron el círculo zodiacal en 12 x 30 = 360 partes.

    - De ellos hemos heredado la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Y la patente de nuestra manera de contar el tiempo también es suya.

    Contaban con un algoritmo para calcular raíces cuadradas, trabajaban con fracciones, resolvían ecuaciones de primer y segundo grado e incluso algunas ecuaciones cúbicas de la forma
    n 3 + n 2 = a

    Tablilla de arcilla con motivos geométricos
    Tablilla con motivos geométricos
     


    A partir del año 2.000 a de C, descubren las ventajas de un sistema posicional, que les permite escribir cualquier número con sólo dos símbolos T para el 1 y < para el 10.
    La base que utilizan es 60.


    Así 24 = <<TTT T
    93 = 60 + 30 + 3 = T<<<TTT
    4103 = 3600 + 480 + 20 + 3 = 602 + 8 x 60 + 2 x 10 + 3 =

      TTTT <  
    T
      <
    TT
      TTTT    

    Y ¡sorpresa!, aunque no contaban con dos herramientas imprescindibles para trabajar con decimales, el cero y la coma, también representaban fracciones de denominador 60 y sus equivalentes. Por ejemplo:

    321 3/4 = 5 x 60 + 21 + 45/60 se escribiría:

    TTT
    <     < <  
    TTT
                T  
    TT
      <     < <
    TT

    Tablilla de arcilla con problemas matemáticos
    Tablilla con 17 problemas matemáticos

    Tablilla Plimpton
    Tablilla Plimpton con las ternas pitagóricas
    La tablilla conocida como Plimpton 322 que se conserva en la Universidad de Columbia, escrita hacia el año 1800 antes de Cristo en la que aparecen cuatro columnas de números distribuidos en 15 filas. En apariencia podía tratarse de algún tipo de anotación contable pero descifrados los números corresponden a la primera relación de ternas pitagóricas de la que se tenga conocimiento.

    I: (a/c)^2 II: b III: a IV: orden c
    1:47.6.41.40 5.19 8.1 6 no aparece
    1,785192901 319 481 6 360
    3192 + 3602 =4812

    De esta tablilla se puede deducir que los babilonios conocían el hecho de que si p y q son dos números enteros entonces los números
    b = p 2 - q 2 ; c = 2pq ; y a = p 2 + q 2

    a, b y c son las medidas de los lados de un triángulo rectángulo,

    La sexta fila corresponde a los valores de
    p = 20 y q = 9

    En las columnas 2ª y 3ª aparecen, escritos en sistema sexagesimal, los valores de b y de a. Y en la primera el cociente a 2 / c 2 . El equivalente a nuestra secante al cuadrado del ángulo C.

    Una tablilla babilónica, conocida por el número de catálogo Plimpton 322 ejemplifica perfectamente lo que queremos decir. La tienen en la ilustración.

    Esta tablilla data del período babilónico antiguo (ca.1900 a 1600 a.C.). Es tan sólo el fragmento de una tabla más grande, ahora perdida para siempre, y demuestra no ser un simple registro de transacciones comerciales como muchas de sus hermanas, sino un texto matemático precusor de ideas trigonométricas muy cercanas a las actuales, con extraordinario grado de exactitud, como vamos a ver.

    La transcripción de las seis primeras filas es la siguiente:

    1,59,0,15_______________________1,59____________2,49____________1
    1,56,56,58,14,50,6,15____________56,7____________1,20,25__________2
    1,55,7,41,15,33,45_______________1,16,41_________1,50,49__________3
    1,53,10,29,32,52,16______________3,31,49_________5,9,1____________4
    1,48,54,1,40____________________1,5_____________1,37_____________5
    1,47,6,41,40____________________5,19____________8,1______________6

    Hemos de tener en cuenta antes de empezar a desentrañar la tablilla que los babilonios utilizaban la numeración sexagesimal, por lo que debemos convertir las cifras a nuestra numeración antes de cualquier intento.

    Tomemos la sexta línea, por ejemplo:

    1,47,6,41,40________5,19______8,1______6

    Tras la conversión en decimal obtenemos:

    1,785192901_______319________481________6

    La conversión se realiza de la siguiente forma:

    1,47,6,41,40=1·600+47·60-1+6·60-2+41·60-3+40·60-4=1,785192901

    y de la misma forma los siguientes números.

    Convendrán conmigo que es una proeza inmensa encontrar la relación entre estos números. Más aún teniendo en cuenta que nuestra tablilla es una más entre un sinnúmero de ellas que recogen cifras sin mayor interés matemático, que bien pudieran ser registros contables de mercancías.

    Pues bien: la relación es la siguiente. Si tenemos un triángulo rectángulo (ver figura) cuya hipotenusa valga 481 y uno de sus catetos 319, entonces el otro cateto, mediante el teorema de Pitágoras vale 360.

    El cociente entre la hipotenusa y este último cateto es 481/360= 1,33611111, y su cuadrado vale 1,785192901; exactamente hasta el noveno decimal la primera cifra de la primera fila de la tablilla.

    Varias cosas hay que comentar llegados a este punto: la primera es que tal exactitud nos sirve para rechazar cualquier procedimiento de medida real de triángulos para llegar al dato: su hallazgo debe ser teórico sin lugar a dudas: no es posible medir hasta la milmillonésima sin error. Por otro lado, el lector habrá observado que el cociente cuyo cuadrado es el número de las primeras columnas es el cociente de dos números, uno de los cuales (la hipotenusa) está en la tablilla, pero el otro no. En efecto, es el cateto restante el que aparece en la tablilla, no el utilizado para el cociente.

    Dicho cociente es el inverso del coseno del ángulo que forma la hipotenusa con el cateto que no aparece en la tabla. Por tanto, la primera columna representa los valores del cuadrado de la secante del ángulo citado.

    Nosotros sabemos encontrar el cateto restante, dadas la hipotenusa y un cateto mediante el Teorema de Pitágoras, pero presumiblemente los babilónicos lo desconocían. También desconocían lo que era un seno, una tangente o una secante. Se puede mantener tal desconocimiento a las luces de esta tablilla?

    Pues sí se puede. Los antiguos eran antiguos, pero no eran idiotas. Esto es algo que repetidamente olvidan los amigos del misterio y de las teorías paranormales, que inducen a creer en conexiones extrañas para explicar desarrollos e invenciones de culturas antiguas, olvidando que la inventiva humana es patrimonio de todas las culturas y de todas las épocas.

    Parece ser que sin conocer el teorema de Pitágoras, se conocían los valores de ciertas ternas pitagóricas: ternas de números enteros a,b,c que cumplían que a2=b2 + c2.

    Los constructores de esta tabla debieron comenzar por dos números sexagesimales p,q , para hallar la terna (p2-q2, 2pq , p2+q2). Un simple ejercicio de álgebra nos convence de que en efecto ésta es una terna pitagórica.

    Limitándose a valores de p menores de 60, y a triángulos rectángulos en los que b= p2-q2es menor que c=2pq, los babilonios debieron descubrir que existían 38 pares posibles de p y q que satisfacen las condiciones, con lo que construyeron las 38 ternas correspondientes.

    En nuestra tablilla aparecen las 15 primeras. Quizás, el escriba prosiguiera en otra tablilla con las restantes.

    El orden de las filas viene dado por los valores de la primera columna, de mayor a menor, y corresponden a ángulos desde 45o hasta 31o.

    Esta que ahora nos ocupa es, a juicio de los investigadores una de las tablillas babilónicas más extraordinarias. Una muestra de la extraordinaria exactitud de los cálculos de esta tablilla nos la proporciona la fila décima. Una simple observación de la ilustración de la tablilla basta para comprobar que el primer número de la décima tablilla tiene más dígitos que los demás; efectivamente representa el cuadrado de la secante del ángulo correspondiente con ocho cifras sexagesimales, lo que corresponde a catorce decimales en nuestra notación decimal. Todos ellos correctos.

    Ni la Nasa necesita ese nivel de exactitud en sus cálculos de órbitas, pues los erroresy las indeterminaciones de todo tipo son de mayor entidad.

    21/02/2004 00:46. Tema: Matemáticas. #. .

    Sobre este punto podemos indicar que existen dos teorías sobre la interpretación de los contenidos en la tablilla Plimpton 322 (1900-1600 a.C.): una, defendida por Neugebauer [6] y otra la de Bruíns [7]. Ambas intentan desvelar la fórmula que daría con las ternas pitagóricas.

    Finalmente, en el año 1954 Neugebauer y Sachs publicaron en Mathematical cuneiform text, el descifre de la tablilla  (Plimpton 322) . En ella aparecen enumerados los triángulos rectángulos con lados cuya medida sea un número entero, o sea, los tríos de números pitagóricos  x2 + y2 = z2. La reconstrucción del método de su elección conduce, aparentemente, a las fórmulas: x = p2 – q2 ; y = 2pq ; z = p2 + q2, conocidas en la Teoría de los Números como diofánticas.[8]

    Retomemos la cuestión y no nos perdamos, estamos en Educación Primaria y/o Secundaria y, evidentemente, estos conocimientos no son necesarios para estas edades, tan sólo intentan ilustrar parte del desarrollo histórico. El razonamiento griego sí que busca el porqué de las cosas e investiga en este misterioso enigma, basándose en los denominados axiomas (postulados indemostrables y universales).

    Cuadro de texto: Pitágoras encontró para un número inicial impar “a”, fórmulas para desarrollar su teorema: “la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado”. ( a2 + b2 = c2 )

     

    Cuadro de texto:
    Su discípulo Platón descubrió la fórmula para los números pares: si “2n” es un número par los tres lados resultarán:

     


    Tablas Babilónicas

    Tablilla nº2 Tablilla de Plimpton 322

          Tablilla Babilónica                       Tablilla de Plimpton 322
     

     


    Calendario Gnomón
     

    Calendario                               Gnomón
    Calendario Babilónico (Irak)            Aparato para medir el tiempo.
    Foto MAGNUM                                Foto GIRANDON
     en "Ciencia y Vida"   nº 2 Abril 1998     en "Ciencia y Vida"   nº 2 Abril 1998

    Cálculo de la superficie de un terreno
    Cálculo de la superficie de un terreno
    Foto E. LESSING-MAGNUM
    en "Ciencia y Vida"   nº 2 Abril 1998

     

    ¿Serían nuestros alumnos capaces de demostrar dicho teorema? Es la pregunta que surge en clase y de nuevo el desánimo cunde en los alumnos. Se imaginan soluciones gráficas, como las que más adelante desarrollamos, pero ahora no les pedimos comprobaciones, sino una demostración matemática precisa.

    Cuadro de texto:  La idea que subyace es que distingan claramente entre demostración y comprobación.

     

    El teorema de Pitágoras, como tal, aparece en la historia sobre el 500 a.C., desarrollado por Pitágoras, o por algún discípulo de su escuela matemática de Crótona, en la actual Italia. Según algunos autores, el mismo Pitágoras conoció la cultura Mesopotámica y la Egipcia, algunos se atreven a pensar que tuvo contactos con China, pues es contemporáneo de Lao-tsé [9] y funda una escuela-secta con características religiosas propias del taoísmo y el budismo. Por cierto, Buda también es contemporáneo de Pitágoras.

    Para explicar su teorema son necesarios cimientos dignos del saber griego: los axiomas. Sobre todo los de su predecesor Tales de Mileto[10]. Los axiomas son cinco, siendo el más relevante el que afirma que “todo ángulo inscrito en un semicírculo mide la mitad del arco que abarca”.

     A partir de este quinto axioma y, utilizando las relaciones entre lados de triángulos semejantes, demostraremos el teorema de Pitágoras, empleando los tres triángulos semejantes de la figura ABC, BPC y ACP.

    Una reflexión sobre este ejercicio nos conduce a descubrir la cantidad de conocimientos esenciales para demostrar este importante teorema.

    1.         Semejanza de triángulos.

    2.Cuadro de texto:         
                                 
 
 
 
             Giros, rotaciones y traslaciones en el espacio bidimensional.

    3.         Axiomas. Dibujo, orden, claridad en el desarrollo razonado del problema.

     

    Como es obvio, esta explicación sólo sería válida para cursos superiores de la educación secundaria obligatoria. Para cursos previos, resultará esencial conocer la importancia que los conocimientos básicos de Geometría poseen para demostrar teoremas de esta relevancia educativa y, ésta, es la finalidad de este ejemplo. Debemos darnos cuenta de la importancia de conceptos que despreciamos habitualmente por considerarlos demasiado sencillos.

    Para explicar este mismo teorema desde otra perspectiva, podemos referirnos al teorema chino de Kay-Ku, que data 1.500 años a.C. y dice: “en todo rectángulo Kay-Ku, es decir con lados Kay y Ku respectivamente, la suma de las áreas de los cuadrados construidos por sus lados es igual al área del cuadrado construido por su diagonal”.

    Estos planteamientos nos conducen a poder desarrollar juegos como el TanGram, que ayudan a nuestros alumnos a adquirir una visión espacial bidimensional necesaria para retos mayores.

    Estas comprobaciones del teorema de Pitágoras no tienen el rango de demostración, tan sólo podemos aludir a una mera comprobación. Pero de todos modos creemos importante el hecho de no haber hablado todavía de ángulos ni de operaciones con ellos, ni de trigonometría, ni del cálculo de áreas complejas, ni del número pi, ...

    Es así porque en la antigüedad, no se hablaba de estos conceptos, pues no se conocían. Han sido posteriores aplicaciones las que, basadas en esos conocimientos, desarrollaron nuevos campos y conceptos. Quizás sea bueno empezar la casa por los cimientos, construir con lentitud,  seguridad, sin permitir que nuevos conceptos entierren campos aún no asimilados.

    En cursos superiores los alumnos tienen grandes dificultades para operar con triángulos girados en el espacio, presentan innumerables dudas sobre la semejanza de triángulos, desconocen el teorema de Tales y su aplicación práctica. Por otro lado, las operaciones con ángulos, apenas son utilizadas y, en cambio, un boceto a mano alzada de un triángulo, representando de forma aproximada sus  ángulos y lados, presenta un problema difícil de resolver.

    El ordenador de esta época pasada fue el compás, su pantalla una pizarra y el que nuestros alumnos descubran sus utilidades es vital para crear estructuras mentales válidas para un futuro. Creemos que sólo con la experimentación personal de cada uno de nuestros alumnos, podemos lograr la adquisición completa de estos conceptos.

    4.- ¿Cómo enseñaban matemáticas en la antigüedad?

     

    ¿Podrías demostrar a qué es igual la suma de un binomio al cuadrado? ¿y una diferencia?

    En este punto pretendemos abordar los temas de medida y el cálculo de superficies. Se puede decir que estos eran los principales problemas geométricos de nuestros antepasados y su estudio y resolución lo hicieron los matemáticos.

    Sobre la medida es necesario que los alumnos comprendan la diferencia entre las tres dimensiones del espacio natural. La primera dimensión, unidimensional, es en la que nos encontramos cuando hablamos de medida de longitudes y no debe confundirse con la bidimensional, medida de superficies; ni con la tridimensional, medida de volúmenes.

    En esta breve historia de las Matemáticas observamos que los pueblos de la antigüedad utilizaban habitualmente las medidas de superficie y volumétricas para los intercambios comerciales. Desde niños, se familiarizaban con estas costumbres y las medidas resultaban esenciales en su vida. En nuestra época, en una sociedad cada vez más tecnificada, las medidas de longitud están constantemente en nuestras conversaciones, pero hablar de superficies y de volúmenes presenta el inconveniente de no tener referencias físicas concretas y, sin ellas, no poseer la idea real del concepto estudiado. Sabemos lo que representa un kilómetro y lo que cuesta hacerlo andando, corriendo o en bicicleta. Sabemos relacionarlo con el tiempo, creando asociaciones espacio-temporales claras y precisas, por ejemplo: cuánto tiempo empleamos en realizar los recorridos anteriores; o en recorrer distancias geográficas en coche.

    Cuadro de texto: En cambio, ¿quiénes disponen de una referencia clara de lo que es una hectárea cuando se habla de superficies calcinadas por el fuego?, ¿o la capacidad en metros cúbicos de un determinado contenedor?

    El tema del cálculo de superficies es un exponente claro de cómo ha evolucionado el razonamiento matemático en la cultura europea y cómo debemos desarrollarlo con los alumnos.

    En Geometría, los egipcios (2000 años a.C.) ya encontraron reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios describen que el área de un cuadrado de lado 8 es igual al área de un círculo de diámetro 9, de esta manera se obtiene un  valor muy cercano al de la constante pi (3,14).

    Llama la atención el hecho de  encontrar inscripciones en las que se calcula el área de figuras cuadrangulares, pertenecientes a campos de cultivo, donde el método empleado es erróneo, y únicamente aproximado en el caso de campos que se aproximan a un rectángulo. Este método, que aparece en los muros del templo de Edfú, consistía en obtener el área de la figura multiplicando entre sí las semisumas de las longitudes de lados opuestos: para calcular el área de un campo de lados (a, b, c, d) siendo (a, b) y (c, d) los lados opuestos se sigue la regla:

    A = [(a+b)/2] * [(c+d)/2]

    ¿Es cierta esta afirmación?

    Lógicamente la fórmula es exacta para figuras rectangulares, pero cuanto más irregular sea la figura más error se comete. Llama la atención que incluso se utiliza para campos triangulares, en los que se afirma que debe tomarse el lado "d" como "nada". No se puede afirmar que tuviesen una geometría muy avanzada, pues todo se basa en aproximaciones muy groseras a las fórmulas reales.

    Boyer[11] nos explica como, en casos concretos, esas aproximaciones se transforman al revés en acercamientos muy próximos a la realidad. Así sucede con la siguiente regla: la razón entre el área de un círculo y la longitud de su circunferencia es la misma que entre el área del cuadrado inscrito al círculo y su perímetro. ¿Es esto real?

    Las razones de semejanza y proporcionalidad también aparecen en el siglo XIII a.C., con los dibujos que aparecen en las paredes de la tumba de Seti I, figuras similares de dimensiones diferentes.

    El encabezado del texto jeroglífico del papiro de Ahmes o de Rhind, comienza con la siguiente sentencia: “Directrices para obtener un conocimiento de todas las cosas, inherentes a todo lo que existe, conocimiento de todos los secretos...” Es un papiro de 0,33 x 5,48 m conservado en el British Museum; algunos fragmentos se encuentran en el museo de Brooklyn y contiene uno de los principales legados Matemáticos de la cultura egipcia. El papiro, comprado en 1858 en Luxor por un joven abogado escocés llamado Henry Rhind, fue escrito por el escriba Ahmes hacia el año 1650 a. C., y exhumado en Tebas en 1855. Contiene ochenta y cinco problemas redactados en escritura hierática, colección que debía de servir como manual práctico para los no iniciados. Este texto, según Ahmes, es una copia de un texto anterior (200-1800) y algunos elementos proceden, quizá, de periodos aún más antiguos.

    En el papiro Ahmes vemos que el cálculo de áreas tiende a emplear la conversión de la figura a analizar en "algo parecido a una figura conocida", que permita llegar al área buscada. Un sistema de cálculos parciales cuya suma resulte el área de la figura inicial. Veremos este método en el cálculo del área del círculo. Sea quizás, un primer paso hacia la demostración geométrica y un intento de encontrar las relaciones mutuas entre figuras geométricas; pero se quedó ahí, en un primer paso al que nunca se le ha dado la importancia que tiene. Por este método se justifica el cálculo del área de un triángulo isósceles.

    Problema 51.

    Cuadro de texto: Según Ahmes debe dividirse la mitad de la base y multiplicarlo por la altura. Lógicamente el escriba no emplea los términos base, altura o isósceles para expresarse, pero por la figura y la explicación que da se trata de un triángulo isósceles. Ahmes justifica este cálculo afirmando que puede considerarse el triángulo de partida formado por dos triángulos rectángulos, de manera que el desplazamiento de uno de ellos da lugar a un rectángulo con lado de base la mitad y la misma altura que el triángulo de partida.

    Curiosamente Ahmes describe el triángulo como "un pedazo de tierra de una cierta anchura en un extremo y que llega a un punto". Realmente resulta difícil, con una definición así, pueda determinarse el área de la figura. Cuando Ahmes habla de altura no emplea mas que un término genérico llamado "linea", afirmando que debe multiplicarse la base por la "linea".

    No tenemos claro si el escriba quería referirse, con este término, a la altura del triángulo o a un lado, aunque por los cálculos que aparecen en otros problemas parece más bien esto último. Pero hay que plantearse qué se podía considerar base y qué era lado. El error es grande si consideramos un triángulo isósceles, pero en el caso de triángulos con todos los lados diferentes, ¿Qué hacia el escriba?.

    El problema 52 del mismo papiro trata sobre el área de un trapecio isósceles de base mayor 6, base menor 4 y distancia 20. Para resolverlo, toma la semisuma de las bases "de forma que se transforme en un rectángulo" y lo multiplica por la distancia 20.

    Cuadro de texto:  
            Problema 52

    Es quizás el cálculo del área del círculo la parte de la geometría de la que más se ha escrito, sin duda por el misterio que rodea al número pi. Según el papiro Rhind  (problema número 50) Ahmes acepta que el área de un círculo, de diámetro 9, es el mismo que el del un cuadrado de lado 8. Esto nos lleva a aceptar un valor para pi de 3.1605 (4(8/9)2). Esta es una muy buena aproximación del valor real de 3.1415926.., la cual siempre ha llamado la atención.

    Cuadro de texto:  
Se ha dicho que los egipcios conocían el valor de pi, pero lo cierto es que aunque la aproximación no es mala, es un valor calculado en base a una geometría muy básica. Además hay que tener en cuenta que los egipcios no empleaban pi como una constante.

    No sabemos cómo se llegó a esta aproximación, pero se ha considerado que el problema 48 del mismo papiro puede ser la respuesta. Ahmes construye un octógono a partir del cuadrado de lado 9 unidades, dividiendo cada lado en 3 partes y uniendo las esquinas, es decir anulando los 4 triángulos formados en las esquinas. Entonces el área del octógono es aproximada al área del círculo de diámetro 9. Luego el problema 48, es una justificación de la resolución del 50. Esta metodología la encontraremos posteriormente en Arquímedes, buscando una aproximación mejor de nuestro misterioso número pi.

    5.- Las Matemáticas desde la perspectiva histórica. Conclusión

     

    Hablar de Matemáticas en nuestros días es referirnos a números, o lo que es lo mismo, aburrimiento, algo poco práctico, miedo, angustia y fracaso. Tal es la devoción que tenemos por este ídolo (las Matemáticas), que al igual que Hades para los griegos, hermano de Zeus y dios del reino subterráneo, su nombre no se pronuncia para no excitar su cólera.

    Lo curioso es que nadie evita pronunciar su nombre en el ámbito de la educación. Incluso aquellos que la odiaron con pasión, la temen hasta tal punto, que la incluyen en su discurso sin saber ni entender sus utilidades y beneficios.

    Pero las Matemáticas no nacieron así. Desde que el hombre comenzó a utilizar su mejor destreza, la inteligencia, la resolución de problemas cotidianos ha sido su principal objetivo. Día a día, ha ido mejorando su calidad de vida aprovechándose del razonamiento del que estaba dotado y, sólo así, ha conseguido escribir su historia. Todos los avances tecnológicos, científicos o artísticos se realizan por alguna razón, no por generación espontánea o por intervención de alguna figura relevante y misteriosa dotada de un don especial.

    La salida helíaca de Sirio, fue la señal que intuyeron los sacerdotes egipcios para anunciar las inundaciones del Nilo; la repartición de los márgenes tras la retirada de las aguas fue un problema fundamental para cimentar una civilización agrícola y, sobre todo, pacífica. El cálculo de los volúmenes cosechados, los intercambios económicos, los préstamos,..., todas las innovaciones que permitieron el desarrollo de las civilizaciones y de nuestra cultura, son obra de nuestra inteligencia, de nuestra capacidad de pensar y razonar, de nuestro sistema deductivo, de nuestra abstracción.

    Es posible que en una sociedad marcada por la tecnología, no entendamos estas aplicaciones más que como recuerdo de un pasado muy lejano, puede que nos enfrentemos al final del desarrollo de esta capacidad por no trabajarla ni valorarla con corrección; incluso que prefiramos vivir en la ignorancia, manejados por entes superiores que dirijan nuestras vidas, en vez de disfrutar con la inmensa emoción sentida al resolver un problema.

    Quizás en este punto esté la clave. ¿Quién recuerda con satisfacción y orgullo haberse enfrentado a una complicación, aparentemente imposible, y acertar con el enigma de su resolución? Esto no se aprende en las escuelas, se siente en el corazón y hay profesores que consiguen en sus alumnos tal sensación. Como dice Apostolos Doxiadis en su novela “El tio Petros y la conjetura de Goldbach”, debe ser algo así como el sentimiento místico.

    Nos afanamos en las escuelas por enseñar valiosas metodologías algebraicas, en las cuales tropiezan nuestros alumnos y, una y otra vez, año tras año, repetimos las mismas lecciones llegando a la conclusión de que la única manera de enseñarles sería abrirles la cabeza y colocar dentro el manual. Un texto que sigue leyes fijas, procedimientos concretos, formas legisladas y coactivas que no dejan ir más allá de lo establecido. Un manual que les lleva por un camino que puede no terminen, pero muy bien estructurado y secuenciado.

    Eso no son Matemáticas, eso no permite que nuestros alumnos sientan lo que pretendemos, pero es muy eficaz para crear un muro infranqueable difícil de derribar. Es lo más nefasto en un proceso educativo, bloquear a un alumno para el resto de su vida, hacerle sentir diferente, privarle del enorme placer que supone hacer trabajar al cerebro.

    Creemos que para enseñar los procedimientos algebraicos básicos, cualquier manual multimedia puede ser suficiente; para emocionar y dejar abierta la puerta del aprendizaje sólo un buen profesional, ilusionado con las Matemáticas, con un inmenso amor y dedicación por sus alumnos, está en disposición de conseguirlo.

    No se necesitan Matemáticas avanzadas, una simple explicación de un teorema clásico como el de Pitágoras puede ser suficiente. Los griegos desarrollaron sin la ayuda del álgebra toda su matemática, los aspectos de sus demostraciones están basados en la geometría. Sus fundamentos sobre el cálculo de áreas y volúmenes fueron suficientes argumentos para iniciarse en este apasionante mundo matemático y, hoy en día, nuestros alumnos no lo saben.

    No estamos por esto en contra de la enseñanza de los modelos algebraicos y, por supuesto, creemos en su absoluta necesidad; tan sólo reflexionamos sobre la conveniencia de captar a nuestros alumnos, no por obligación mercantilista sino por devoción a un proceso mágico, místico, emocionante. La tarea es inmensa, pero el idealismo de la docencia ha de animarnos en este empeño de transmitir, al menos en algún momento del curso, la emoción, el gusto por las Matemáticas.

    6.- Bibliografía recomendada.

     

    COLERUS, EGMONT, Breve historia de las Matemáticas, Doncel, Madrid, 1972.

    Dos volúmenes editados en una colección denominada, “El libro joven de bolsillo”. El primer volumen hace el número 16 de la colección y es el que nos interesa. Una objeción, comienza desde Grecia sin hacer referencias anteriores.

    ARGÜELLES RODRÍGUEZ, JUAN, Historia de las Matemáticas, AKAL, Madrid, 1989.

    Libro bien ilustrado y muy completo, abarca desde la matemática egipcia y mesopotámica hasta nuestros días. Muy fácil de leer y ameno en sus explicaciones, presenta un conjunto de preguntas al final de cada tema, que bajo el título de “Piensa y responde”, interrogan al lector sobre la comprensión de los principales conceptos del desarrollo. Muy recomendable y con mucha aplicación para el aula.

    DOXIADIS, APÓSTOLOS, El tío Petros y la conjetura de Goldbach, Ediciones B, Barcelona, 2000.

    Hermosa novela, digna provocadora de emociones y sentimientos hacia las Matemáticas. Lectura recomendada a profesores y alumnos con inquietudes científicas en cursos de bachillerato.

    REY PASTOR, JULIO, Historia de la Matemática, Gedisa, Barcelona, 2000.

    De nuevo publicada esta interesante obra, sencilla y práctica. Muy condensada y propia de un maestro de esta categoría.

    B. BOYER, CARL, Historia de la Matemática, Alianza Editorial, Madrid, 1999.

    Como texto universitario, una referencia obligada por su profundidad y corrección. Muy amplio con 800 páginas.

    IFRAH, GEORGE, Historia Universal de Las Cifras, Espasa Calpe S.A., Madrid, 1997.

    Capítulo 22. "Sorprendentes realizaciones de la civilización Maya". Este capítulo contiene 60 páginas en las que el autor describe profusamente las formas de numeración de esta civilización centroamericana. En el resto del libro se atiende a la misma dinámica y resulta más que un libro de consulta un completo manual para especialistas, pues sus 2000 páginas son aptas sólo para enamorados de los números.

    7.- Notas


     

    [1] LOMBARDO RADICE, LUCIO, La Matemática de Pitágoras a Newton, Laia, Barcelona, 1983, p. 58-59.

    [2] COLERUS, EGMONT, Breve historia de las Matemáticas, Doncel,

     Madrid, 1972, 1ª edición, p. 36

    [3] Sirio (del griego seirios, 'cruel'), también llamada Estrella Can, es la estrella más brillante del cielo, situada en la constelación Can Mayor. Muchos templos egipcios se construyeron de forma que la luz de Sirio iluminara las cámaras interiores. La época más calurosa del verano coincide con la salida helíaca de Sirio; por esto se le dio el nombre de canícula a este periodo. La distancia de Sirio a la Tierra es de 8.7 años luz y es, por tanto, una de las estrellas más cercanas. Su brillo se debe, en gran medida, a esta relativa cercanía. Se puede ver desde casi cualquier punto de la Tierra. Su masa es 2.4 veces la del Sol, y la temperatura de su superficie también es superior.

     

    [4] Agrimensura, técnica que se basa en la medición de la superficie de las tierras. La invención de la agrimensura se atribuye a los egipcios. Su práctica requiere conocimientos específicos, como jalonar una línea, medir un ángulo, medir distancias entre dos puntos y levantar perpendiculares a lo largo de una línea jalonada. Se ejecuta con ayuda de instrumentos apropiados, tales como jalones, escuadra, cadena de agrimensor, grafómetro y brújula topográfica o declinatoria. Se suelen considerar tres casos principales: 1) terrenos poligonales rectilíneos, que se descomponen en superficies conocidas, como trapecios o triángulos, para poder hallar la superficie total; 2) terrenos poligonales curvilíneos, que se descomponen en figuras pequeñas para poder medir las curvas, como si fueran rectas con un error pequeño; 3) superficies en pendiente, que hay que medirlas referidas a un plano horizontal.

     

    [5] Esta tabla forma parte de la colección Plimpton de la Biblioteca Butler de la Universidad de Columbia.
    [6] Neugebauer, Otto, “Babylonian mathematics”, Scripta Mathematica, 2, 1939, pp. 312-15.

     

    [7] BRUINS, E. M., “Apercu sur les mathématiques babyloniennes”, Revue d’Histoire des Sciences et Leur Applications, 3, 1950, pp. 301-14.

     

    [8] RÍBNIKOV, K., Historia de las Matemáticas, Moscú, Editorial Mir, 1987, p. 30.

     

    [9] Lao-tsé o Laozi (c. 570-c. 490 a.C.), filósofo chino considerado el fundador del taoísmo. La confusión en torno a su fecha de nacimiento radica en la leyenda según la cual instruyó a Confucio; en realidad, si Lao-tsé existió fue en la persona de un filósofo anónimo del siglo IV a.C. que atribuyó su trabajo a este sabio legendario.

    Según la leyenda, Lao-tsé nació en la provincia de Henan y fue un bibliotecario de la corte. Se supone que dejó escrito el Tao Tê-King (o Daodejing, Libro de la Vía y de la Virtud), el gran tratado filosófico chino, cuando abandonó China para irse a vivir a un lugar desconocido de Occidente. Con mucho, el Tao Tê-King es la obra literaria más traducida del chino y tuvo una enorme influencia en el pensamiento y la cultura orientales. Este libro, que cuenta con tan sólo 10.000 caracteres, fue redactado hacia el año 300 a.C. y parece ser una antología que recoge antiguas enseñanzas, aunque la densidad de su estilo sugiere que es obra de un único autor.

     

    [10] Tales de Mileto (c. 625-c. 546 a.C.), filósofo griego nacido en Mileto (Asia Menor). Fue el fundador de la filosofía griega, y está considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia. Tales llegó a ser famoso por sus conocimientos de astronomía después de predecir el eclipse de sol que ocurrió el 28 de mayo del 585 a.C. Se dice también que introdujo la geometría en Grecia. Según Tales, el principio original de todas las cosas es el agua, de la que todo procede y a la que todo vuelve otra vez. Antes de Tales, las explicaciones del universo eran mitológicas, y su interés por la sustancia física básica del mundo marca el nacimiento del pensamiento científico. Tales no dejó escritos; el conocimiento que se tiene de él procede de lo que se cuenta en la Metafísica de Aristóteles.

           

    [11] BOYER, CARL B., Historia de la Matemática. Alianza Editorial, Barcelona, 1999.

    http://www.cesdonbosco.com/revista/revistas/revista%20ed%20futuro/EF4/Art%EDculos/explicacion_pasado.htm

     

    aportaciones de los babilonios al desarrollo de las Matemáticas.
    Escritura cuneiforme

     

    Derecha: Tablilla con escritura precuneiforme. Parece hecha con un estilete cilíndrico.

    Izquierda: ejemplo de escritura cuneiforme. El estilete utilizado es un prisma triangular.

    Teoría de números

     

    Álgebra
    • Ecuaciones lineales
    • Sistemas de ecuaciones lineales
    • Ecuaciones de segundo grado
    • Algunas ecuaciones cúbicas

     

    Geometría
    • Áreas de figuras planas
    • Volumen del tronco de cono o de la pirámide
    • Triángulos rectángulos
    • La altura de un triángulo isósceles divide a la base en dos partes iguales
    • Obtención del apotema a partir de la cuerda y el radio de la circunferencia

     



     
    2.ESCRITURA CUNEIFORME Tablilla Plimpton 322 de la Universidad de Columbia: incluye listas de

     números de interpretación 

    variada

    (1900 a 1600aC)

    Los babilonios nos han dejado muestras de su escritura en muchas tablillas de barro, como la de la foto. Mediante una herramienta con forma de prisma triangular dejaban marcas en forma de cuña en la arcilla blanda. Posteriormente la tablilla se dejaba secar al sol o se cocía en hornos. Dependiendo de la posición del prisma se obtenían marcas diferentes y, combinándolas en distintas posiciones, daban origen a palabras o números.

     Este material ha resistido muy bien el paso del tiempo y miles de tablillas se han ido encontrando en las distintas excavaciones arqueológicas. A finales del siglo XIX se localiza una crónica de guerra escrita en tres lenguas, persa, elamita y babilonio que permitirá empezar a traducir esta escritura.  Sin embargo, hasta el siglo XX y gracias a Thureau en Francia y a Neugebauer en Alemania y Estados Unidos, no se descifra el significado de las de contenido matemático. 

    Arriba: Ilustración de la mano del 

    escriba tallando una tablilla con una caña


    3. TEORÍA DE NÚMEROS     

    Derecha: un número en notación sexagesimal.

    Antes del 1.700 aC los babilonios idearon un sistema de numeración posicional (las cifras valen según su posición dentro del número) y sexagesimal (en base 60 cada unidad grande está formada por 60 unidades más pequeñas). El sistema utiliza dos signos básicos, la unidad , una  cuña en posición vertical, y la decena , una cuña en posición horizontal. Combinando éstas adecuadamente, escriben los 59 primeros números. No utilizaron el cero hasta el 400 aC, utilizando dos cuñas oblícuas. Como ejemplo puedes ver el 59. Si el número es mayor que 60, como 116.503 del que puedes ver su escritura en la ilustración superior, obtenían mediante divisiones sucesivas entre 60 los restos de cada división. El número lo escribían con esos restos.
    116503 60  
      565 1941 60
       250   141 32
         103     21  
          43 116503=32·602+21·60+43
    Los babilonios usaban este mismo sistema para representar las fracciones sexagesimales, es decir con potencias de 60 en el denominador. Cumplían la misma función que nuestras unidades decimales y así manejaban expresiones como 2·60-1+3·60-2 En una de las tablillas de la colección Yale, que data del periodo babilónico antiguo, se incluye el cálculo de la raíz cuadrada de 2 con tres cifras "decimales" sexagesimales. Con nuestros dígitos se escribe 1;24,51,10 y equivale a 1+24/60+51/3600+10/216000=1.4144028, es decir las tres primeras cifras decimales son exactas.
    Para el cálculo de la raíz cuadrada de un número "a" ingeniaron un proceso que se repite indefinidamente y consiste en:

    Se elige una primera aproximación a1.

    A partir de ella se obtiene una segunda aproximación hallando la media aritmética de a1 y el cociente a/a1=b1, es decir a2=(a1+b1)/2 y es una aproximación mejor.  

    Se trata de un algoritmo iterativo que puede prolongarse indefinidamente. En cada etapa el valor obtenido mejora al anterior.

    Sin embargo, los babilonios, o al menos sus escribas, eran muy aficionados a confeccionar tablas con los valores que debían utilizar. De ellos nos han llegado tablas de multiplicar, de inversos, de cuadrados y cubos, de raíces cuadradas y cúbicas, de potencias sucesivas de un número... 
    Para la división utilizaban la multiplicación por el inverso.
    Entre las listas de números halladas aparecen unas ternas que se ajustan a las fórmulas p2-q2, 2pq y p2+q2 . Estas ternas permiten construir triángulos rectángulos con distintos números y encontraron 38 pares siendo p menor que 60 (ternas pitagóricas ). En la tablilla 322 aparecen las 15 primeras.
    Hay constancia de la existencia de tablas con las potencias sucesivas de algunos números, por ej de 9-16-1;40 y 3;45 ( 9, 16, 100, y 225 con numeración decimal). Para los números que no son cuadrados perfectos utilizaban la interpolación lineal con la que estaban muy familiarizados. Así, hay constancia de un problema en el que se pide el tiempo que tardará en doblarse un capital con un interés del 20% anual. La respuesta es 3;47,13,20 años y puede obtenerse de esta forma:

    Nosotros usamos la fórmula C=Co·(1+r)t y diríamos 2=1·(1+20/100)t y por tanto 2=1'2t. Para hallar t usamos los logaritmos y decimos t=log 2/log 1'2=3'801784. Ten en cuenta que t es el exponente al que hay que elevar 1'2 para obtener 2 como resultado (definición de logaritmo de 2 en base 1'2).

    En Mesopotamia  (1+20/100) corresponde al número cuneiforme 1;12. Se trata de hallar el exponente al que hay que elevar este número para obtener 2 como resultado. Buscamos dos potencias, una mayor y otra menor que 2, y serán (1;12)3 = 1;43,40 y (1;12)4=2;4,25. Mediante una regla de tres el escriba obtiene el número 3;47,13,20 años, es decir 3'787. Nosotros tomaríamos con los logaritmos de nuestras calculadoras 3'802. 

     

     

    5. GEOMETRÍA
     Los babilonios utilizaban para calcular áreas y volúmenes muchas fórmulas más o menos exactas. Para calcular el área del cuadrilátero hacían el producto de las medias aritméticas de los pares de lados opuestos. El volumen del tronco de cono o pirámide lo hallaban tomando el producto de la altura por la media aritmética de las áreas de las bases. Para el tronco de pirámide utilizaban también una fórmula que es correcta:

    Ya hemos hablado del uso del teorema de Pitágoras en las tablillas Plimpton. En la colección hallada en Susa aparecen resultados en los que se manejan semejanzas de figuras.

      1.- En la escena puedes ver el círculo de radio 6 y los perímetros de los polígonos inscritos. Los babilonios calculaban el área del círculo multiplicando el cuadrado del radio por 3 ()

    2.-En la tabla aparecen unos datos que pertenecen a las tablillas halladas en Susa, a 300 km de Babilonia, en notación sexagesimal

     

    http://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/Historia/Mesopotamia.htm

     

    Razón de las áreas y los cuadrados de los lados
    polígono razón
    pentágono 1;40
    hexágono 2;37,30
    heptágono 3;41
    Razón del perímetro del hexágono regular y la circunferencia circunscrita
    razón=0;57,36
    Compara las razones de los babilónicos con las actuales y verás su grado de aproximación Esto da una aproximación


    4. ÁLGEBRA
    Los babilonios manejaban con soltura los cálculos algebraicos.

     Eran capaces de resolver cualquier ecuación de segundo grado que tuviera soluciones positivas y esto hace 4.000 años. Hay que tener en cuenta que hasta la edad moderna no se contemplan soluciones negativas. Hasta esa época estas ecuaciones se clasifican en tres tipos y ellos ya sabían resolverlas todas mediante transformaciones como multiplicar la ecuación por un número. Estos cálculos aparecen dentro de problemas como: halla el lado de un cuadrado si su área menos el lado es igual a 14;30. La solución que figura es:

    " Toma la mitad de 1, que es 0;30, y multiplica 0;30 por 0;30, que es 0;15; suma este número a 14;30, lo que da 14,30;15; éste es el cuadrado de 29;30; ahora suma 0;30 a 29;30, cuyo resultado es 30, que es el lado del cuadrado"

    Para hallar la raíz de 14,30;15 usan sus tablas de cuadrados o de raíces. 

    Si la ecuación era del tipo ax2+bx=c, la resolvían multiplicando por "a" para convertirla en (ax)2+b(ax)=c y hallando "ax" en primer lugar. Este es el primer ejemplo de sustitución de la incógnita para resolver ecuaciones y un gran hallazgo para los primitivos babilónicos.

    Una de las tablas de uso más frecuente en el álgebra babilónica es la de los valores de n3+n2  siendo "n"un número natural. Utilizaban estas tablas para resolver ecuaciones cúbicas del tipo x3+x2=a . Si en la ecuación aparecían coeficientes distintos de 1 la transformaban para completar el cubo y sustituían la incógnita igual que en las de 2º grado. Así, para la ecuación ax3+bx2=c multiplicaban por a2/b y hallaban ax/b.

    El uso de la sustitución de la incógnita les permitió resolver algunas ecuaciones de 4º o 8º grado, las que hoy llamamos bicuadradas.

     
    Puedes cambiar los valores de p y q desplegando el menú y obtener todas las ternas que cumplen

                        

    En la tabla 322 de la foto superior aparecen ordenadas en columnas unas listas de números que parecen ajustarse a los posibles lados de triángulos rectángulos (ternas pitagóricas) y elementos de esos triángulos. Los números que figuran se ajustan a las fórmulas 

    Las filas están ordenadas en sentido decreciente según la expresión a/b, para nosotros la razón trigonométrica secante de C; la primera columna de la izquierda está formada por números que coinciden con sec2 A empezando con sec2 45º y terminando en sec2 31º. Sin embargo, no existe nada parecido a la medida de ángulos que se utiliza hoy y es más probable que siguieran criterios basados en proporcionalidad de segmentos

    Parece razonable suponer que las utilizaran para construir triángulos rectángulos de formas variadas. 

    Utiliza el cambio de escala o mueve los ejes cuando lo necesites.

           
               
      Rosa Jiménez Iraundegui
     
    © Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001
     
     
    Desde el tercer milenio antes de Cristo los pueblos que habitaron entre los ríos Tigris y Eúfrates nos han dejado miles de tablillas de arcilla. En más de 500 de ellas apaprecen manifestaciones matemáticas que nos han permitido descubrir desde su sitema de numeración en base 60 a sus conocimientos sobre el teorema de Pitágoras

    De su afición a las observaciones astronómicas acerca de las posiciones de los planetas observables a simple vista Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno conservamos en la actualidad dos vestigios muy populares:

    - El horóscopo. Eran excelentes astrólogos, ellos bautizaron las doce constelaciones del zodíaco, dividiendo cada una de ellas en 30 partes iguales.
    Es decir, dividieron el círculo zodiacal en 12 x 30 = 360 partes.

    - De ellos hemos heredado la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.  Y la patente de nuestra manera de contar el tiempo también es suya.
     
     

    Contaban con un algoritmo para calcular raíces cuadradas, trabajaban con fracciones, resolvían ecuaciones de primer y segundo grado e incluso algunas ecuaciones cúbicas de la forma
    n3 + n2 = a
     
     
     


    Tablilla con motivos geométricos

    A partir del año 2.000 a de C, descubren las ventajas de un sistema posicional, que les permite escribir cualquier número con sólo dos símbolos T para el 1 y < para el 10.
    La base que utilizan es 60.

    Así 24 = <<TTTT

    93 = 60 + 30 + 3 = T<<<TTT

    4103 = 3600 + 480 + 20 + 3 = 602  + 8 x 60 + 2 x 10 + 3 =
        TTTT   <
    T                     TT
        TTTT   <

    Y ¡sorpresa!, aunque no contaban con dos herramientas imprescindibles para trabajar con decimales, el cero y la coma, también representaban fracciones de denominador 60 y sus equivalentes. Por ejemplo:

    321 3/4 = 5 x 60 + 21 + 45/60 se escribiría:

    TTT  <         <<   TTT
                  T
     TT    <         <<   TT
     
     


    Tablilla con 17 problemas matemáticos
     


    Tablilla Plimpton con las ternas pitagóricas
     

    La tablilla conocida como Plimpton 322 que se conserva en la Universidad de Columbia, escrita hacia el año 1800 antes de Cristo  en la que aparecen cuatro columnas de números distribuidos en 15 filas. En apariencia podía tratarse de algún tipo de anotación contable pero descifrados los números corresponden a la primera relación de ternas pitagóricas de la que se tenga conocimiento.
     


    Fila sexta

    I: (a/c)^2
    II: b
    III: a
    IV: orden
    c
    1:47.6.41.40
    5.19
    8.1
    6
    no aparece
    1,785192901
    319
    481
    6
    360

     
    3192 + 3602 =4812
     

    De esta tablilla se puede deducir que los babilonios conocían el hecho de que si p y q son dos números enteros entonces los números

    b = p2 - q2 ; c = 2pq ; y a = p2 + q2

    a, b y c son las medidas de los lados de un triángulo rectángulo,

    La sexta fila corresponde a los valores de
    p = 20 y q = 9

    En las columnas 2ª y 3ª aparecen, escritos en sistema sexagesimal,  los valores de b y de a. Y en la primera el cociente a2 / c2.  El equivalente a nuestra secante al cuadrado del ángulo C.

     

    Una de las de contenido más sorprendente es la Tablilla Plimpton 322 que tenemos aquí.

     

    Sistema de numeración

                representa la unidad 1 y lo repiten hasta nueve veces para representar el 9

    representa 10 y se repite, combinándolo con la unidad para representar los números desde el 11 al 59. A partir del 60 se usan las mismas combinaciones de esos números pero teniendo en cuenta el principio de posición en base de numeración 60. Para distinguir un grupo de símbolos de otro se deja espacio entre ellos

     
     
           
       
           
       
        27  (27)                   2x60 + 19 =139  (2 , 19)                   11 x 602 +3 x 60 + 33 =39813  (11,3,33)

    La notación entre paréntesis es una notación simplificada de un número en base 60.

    Solamente el contexto nos dice si detrás del último símbolo hay un espacio, dos o incluso si se trata de un número decimal. Es decir si se trata de (2,19,0) = 2 x 602 +19 x 60 = 8340  ,  (2,19) = 139 , (2;19) = 2 + 19/60 = 2'31666.... o incluso (0;2,19) = 2x60-1 + 19x60-2

    Este sistema de numeración es el primero conocido de tipo posicional.  Facilitaba la expresión de fracciones. De hecho, en una tablilla de la época antigua existe un cálculo de raíz de 2 con una aproximación del orden de las millonésimas.

    En la época seleúcida utilizan un símbolo especial para el 0, pero no se pone casi nunca al final de un número. 

    Inventaron algunos algoritmos para el cálculo, por ejemplo para aproximar raíces cuadradas. Pero parece ser que utilizaban las operaciones elementales de una forma parecida a como hacemos ahora. Hace pensar esto la cantidad de tablillas que contienen tablas: de inversos, de cubos, de cuadrados, de potencias  sucesivas, que vendría a ser una tabla de logaritmos actual. Para dividir, simplemente multiplicaban por el inverso del divisor.


     



     
     
     
    Egipto

    Según Herodoto los egipcios son los padres de la Geometría, pero gracias a sus monumentos y sus papiros también sabemos hoy que disponían de un sistema de numeración adicional que les permitía trabajar con fracciones de una forma muy especial ya que el numerador siempre era la unidad.

    El papiro egipcio es menos resistente al paso del tiempo que las tablillas babilónicas.

    Sin embargo alguno ha llegado hasta nosotros. Los más populares el papiro de Rhind y el de Moscú. En ellos aparece una colección de más de 100 problemas que nos brindan una valiosa información de las matemáticas egipcias.

    Su sistema de numeración era de base diez, como el nuestro. Los símbolos para representar las potencias de 10 eran estos:
     
     
     
     


    Notaciones numéricas en piedra
     

    Fórmulas de avituallamiento en un monumento funerario
     

    Papiro de Moscú
     
     
     
     
     
     


    Papiro de Rhind  http://www.egiptologia.org/fuentes/papiros/rhind/

    http://www.egiptologia.org/fuentes/

    http://www.egiptologia.com/sociedad/inclinacion_caras/grupo_05/grupo_05.htm

    Los egipcios, como los babilonios, también trabajaban con fracciones, con partes de la unidad.

    Pero lo curioso es que  sólo utilizaban fracciones con numerador la unidad, es decir de la forma: 1/2, 1/3, 1/4, 1/7, 1/15, 1/47...

    Cualquier parte de la unidad la expresaban como suma de fracciones de este tipo.

    El papiro de Rhind contiene una tabla de conversión de partes de la unidad a estas fracciones. Es el equivalente con más de 3.000 años de antigüedad de nuestras tablas de multiplicar, sólo que para trabajar con fracciones.


    SU GEOMETRÍA

    La pirámide de Keops tiene esta extraña propiedad, según recoge Herodoto:
    El cuadrado de la altura coincide con el área de una de sus caras

    Este hecho implica la presencia ¿casual? del número de oro